?k代数复习题

1、矩阵填空题1 .矩阵A与B的乘积AB有意义，则必须满足的条件是 。2 .设矩阵AB与BA都有意义，问 A与B的关系为;又 若AB与BA为同级方阵，问A与B的关系为。3 .设 是一个列向量，k是一个数，分析k与k的意义A AATAATA 22,两者是否相等？答：。6、方阵A满足A2A,则A E或A 0三、解答题，一 2 141.已知矩阵A, B113131012,计算 AB , AB ABT。13 12.设A1110110 1 ,B0 0 2 0试用矩阵分块方法求BT,AB0行列式的计算一、填空题1.0 0 0 a0 0 b 00 c 0 0d 0 0 0。(三阶以上的行列式没有对角线法则)2

2、.试写出n阶行列式按第一列展开的定义 。3 .已知四阶行列式D中第三列元素依次为1,2, 0,1 ,它们的代数余子式依次分别为5, 3, 7, 4 ,贝U D =1 234.设矩阵A 2 35 ,试写出行列式|A中(2,1)-元的代数余子式 ,|A4 71中第三行元素的代数余子式之和5.设 A (aj )3 3,| A |2, Aj表示| A|中元素a j的代数余子式(i, j 1,2,3),则(an A21a12 A22a13 A23)(a21 A21a22 A22a23 A23)(a31A21a32 A22a33 A23)6、 已知D=A41 A422428A7441436478A8498

3、44A41, A42, A43, A44为D中第4行元素的代数余子式，则7.设A是矩阵A . . * * 的伴随矩阵，则AA A A8 .设n阶矩阵A可逆，则A*9 .若A都是n阶方阵，则| A10 .设A*是n阶方阵A的伴随矩阵，A d,则|AA A)11 .若A, B都是n阶方阵，A 1,|B3,则3A*B1 12 .设矩阵A113、已知11231 x是关于x的一次多项式，该式中x的系数为11、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1、设A是n阶矩阵，则kA kA。2、若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零）3、设A是n阶方阵，且A a 0,则A*

4、二1。 IAI a三、解答题1 .计算下列行列式（常规方法将行列式化为上三角形行列式，不熟练的话一定要一步步化才不容易出错）32511031112032040 11112 302 3 411 2 4112 130114B23 412 1302 11112 11D0112 11112（注：此行列式为列等和行列式（每一列的和都相等），也是行等和行列式，方法从第2行开始到第n行都加到第1行，这样第一行的元素都相等，可以提取公因式，这样第一行的 元素就都是1 了)a b a b2 .求 D b a b a 。a b a b3.计算4阶行列式D4.计算n阶行列式Dn1 a 11111x a a a x

5、a a a x11a 111 a 1 a.（列等和彳r列式）（列等和行列式）85.计算n阶行列式1 x 1 L（列等和行列式）11 x LDnMMO11 Lao111a106.计算 Dn 110a2100100(ai0,i0,1, ,n)an（三线型行列式，要利用列变换把第一列除了a11的元素都化为0）xa a L7.计算Dnax20La0x3LMMMa00La00M(xi 0,i 1,2,L ,n)(三线型行列式)8.计算行列式D1 a bx 1 0y 0 1z 0 0xnc001（三线型行列式）9.设3阶方阵A的伴随矩阵为A,且|A1,、1_-,求(4A) 1 2A22 310 .设 A

6、121 22 311 .设 3A 121 22123112 1821 231311134 2 ,求 A。3 2134 2 ,求 A3 2，求 BTA、儿 10012.设 A,1 1 113.设A是n阶方阵，且2,求 3A 12A，其中A是A的伴随矩阵逆矩阵一、填空题1 .试写出n阶方阵A可逆的几个充分必要条件（越多越好） 2002 .设矩阵A012,则A001022.矩阵030,010可逆，且其逆为其本身。0010013.若方阵A可逆，则其伴随矩阵A*也可逆。4.设A, B都是n阶方阵，若A, B都可逆，则A B可逆。5. n阶方阵A满足A2 A 2E 0,则E A可逆。0353.设A12 0

7、 0，贝U A14 .已知矩阵 A满足 A2 2A 3E 0,则A1 。5 .已知A,B,C为同阶方阵，且C可逆，若C 1AC B,则C 1AmC 整数）。6 .设 A, B, C, D 均为 n 阶方阵，且 ABCD E ,则（BC）T（DA）T7 .设A, B, C均为n阶方阵，且ABC E,则BT（CA）T 、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）0 1 01 .矩阵1 0 0可逆，且其逆为其本身。0 0 1解答题10 101.已知AA1。11112 .设A3 .用两种方法求下列矩阵的逆A 2 3 4 ,B4 2 34.已知矩阵A和B满足关系式：AB 2A B,其中B 110,求矩

8、阵A。1 2 3矩阵的秩一、填空题1.试写出矩阵秩的定义：1 232 .设矩阵A 4 56,则A的秩R(A) 。7 89 233.矩阵A2 3 5的秩为, A的伴随矩阵A*=4 714.设A是3阶可逆方阵，B是3 4矩阵且R(B) 2 ,则R(AB) 。1 0 25.设 A 0 4 0 , B 是 3 4 矩阵且 R(B) 2,则 R(AB) 。 0 36.设B是3 4矩阵且R(B) 2,则B的等价标准形为 7.设R(Am n) n ,则A的等价标准形为 。 1 2 018.设A 2 0 1 3 ,则A的等价标准形为 2 2 5、判别说理题(错误的请举例说明，正确的请证明)1 .若矩阵A的秩为

9、r ,则A中必有某一个r 1阶子式不等于零。2 .若n阶方阵A的秩R(A) n 1,则其伴随阵A* 0。三、解答题1 .写出下列矩阵的等价标准形2 1111 1214622,374313 2 13 110 11，1110 213 12 0 k1111k11(对k讨论)11k22.设矩阵1112A 31 2的秩为2,求，。5 36线性方程组一、填空题1 .试写出线性方程组有解的一个充分必要条件 。2 .设A是n阶方阵，且秩(A) r n,则齐次线性方程组Ax 0的基础解系中含 个解向量。3 .方程组2X1 3X2 3X3 2X4 0的基础解系中含 个解向量。7x1 2x2 x3 3x4 04 .

10、设1,2是n(n 3)元齐次线性方程组Ax 0的基础解系，则秩(A尸。5 .矩阵Am n的秩为r ,则AX 0的基础解系一定由 个线性无关的解向量构成。6 .设A是n阶方阵，RA n 2 ,则线性方程组AX 0的基础解系所含向量的个数是010Xi07 .若方程组 111X20有非零解，则 0或 02X308 .设A是n阶方阵，若线性方程组AX 0有非零解，则必有| A X1 2x2 6x309 .已知齐次线性方程组X1X2 3X3 0有无穷多解，则必有 2x1 X2 3X30二、判别说理题(错误的请举例说明，正确的请证明)1 . n元线性方程组Ax b(b 0)当R(A) n时有无穷多解2 .

11、设A是n阶方阵，若方程组AX b满足R(A) R(A,b),则AX b有唯一解。3 .对于线性方程组Ax b (这里A为n阶方阵),如果该方程组有解，则必有R(A) n4 .设1,2是方程组AX的解，则12是AX 的解。5 .设1,2是方程组AX的解，则12是AX0的解。6 .设1, 2是线性方程组AX 0的解，则12是AX 0的解的解，k是任意常数7 .设1, 2是线性方程组AX 的解，则k 1 (1 k) 2是AX三、解答题X1X22x3X42/2x12x2X32X45(2)0X12x23x34x423x1X27X35x4171.求解线性方程组2x1 x2 3x32(1)2 X2 3x31

12、 ;2 为 x2 4x392.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系X1X2X3X41X1x25X1X2X3X40 ；(2)2x1 X2X3 2x41x1 x2 2x32x415x1 3x22x3 2x4 32x1 x2 2x46X1 X2 X3 X4 1X1X2X3xx2 x3x403.求齐次线性方程组x1x2x33x4 0的基础解系与其通解。x x2 2x33x40x x2x3x4 14.已知线性方程组xux1 x3x1 ux2x x3向量组的线形相关性填空题 3x2 5x3x4 3，求k,使得上述方程组有解，并求出所有x x2 3x35x4 3x1 5x2 11

13、x312x4 k的解kx1 (k 1)x2 x315.讨论方程组 kxi kx2 X3 2,当k取何值时2kxi 2(k 1)x2 kx32(1)方程组无解？(2)方程组有无穷多解？并求出通解.(3)方程组有唯一解？6.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。xx2x3x3x1 x2 x3 u2x1 x2 x3 1 ;X vx301x3 1v1.(1,3,5),(1,1,3),3 (1,a,6)线性相关，则a的值为2.若向量(2,3,1,0,1)与(4, 6, 2, a, 2)线性相关，则a的取值为3.设向量组(1,2,3) ,2(2,1,3) ,3( 1,1,0)，则向量组3的秩是4.设向量

14、组1,L , r的秩为p ,向量组II :1,L , s秩为q ,且向量组I能由向量组II线性表出，则p与q的大小关系是5.设向量组I：1,L , s线性无关，而1, 2都能由I线性表出，则秩(1, L , s, 1 , 2 尸。6.已知一个向量组含有两个或两个以上的极大线性无关组，则各个极大线性无关组所含向量的个数必定。、判别说理题(错误的请举例说明，正确的请证明)1. 3维向量组4必线性相关。2 .若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。3 .如果向量组1, 2,L , s线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。4 .包含零向量的向量组是线性相关的。5 . n维向量组1,L

15、 , s与n维向量组1,L , s秩相等，则这两个向量组必能互相线性表6 .若两个向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。解答题1.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示(0, 1, 1)T,2(1,1,2)T, 3(1,0,1)T；(3,3,1,2)T,2(0,1,1,2)T(3,2,0, 0)T(1,1,1,1)T ；T1,1, 2,121,2,1,51,1,0,43, 1, 2,T1,0,1,222,4,0,33,4,3,541, 2,2,T2,10, 1,02.判断下列向量组的等价性T11,0,10,1,01,1,1 T 与T1, 1,11,0,03 .设

16、矩阵A214311661229112724 , , 1 一、 一,求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属49于极大无关组的列向量用该极大无关组线性表示。4.设 1(6,a 1,3)t, 2(a, 2, 2)T, 3(a,1, 0)T ,求a 为何值时，(1)1, 2, 3 线性相关？ (2)1, 2, 3线性无关？方阵的特征值与特征向量一、填空题1 .设1, 2,L , n是n阶矩阵A的n个特征值，则A 。2 . 3阶方阵A的特征值为3, 1,2 ,则A 。3 .若3是可逆方阵A的一个特征值，则A 1必有一个特征值为 <4 .设1, 2是分别属于方阵A的不同特征值1, 2的特征向量

17、，则1, 2必线5.实对称矩阵A23勺两个特征值为E的某个特征值6 .设实数 是实矩阵A的某个特征值，则可知矩阵 B A3 2A207 .若已知n阶万阵A的行列式|A 2 ,2是矩阵A的一个特征值，则其伴随矩阵A必有一个特征值为。8 .已知3阶矩阵A的特征值为1, 1,2,则矩阵B A3 2A2的特征值为9 .设A是幕零矩阵，即存在正整数k ,使得Ak 0 ,则A的特征值为。10 .设A为n阶方阵，且A2 5A 6E O,则A的特征值只能是 。1111 .设向量11和2 0都是矩阵A对应特征值2的特征向量，且向量011 2 2 ,则向量A 。12 .已知2是A的一个特征值，则| A2 A 6E

18、|。二、判别说理题(错误的请举例说明，正确的请证明)1 .可逆矩阵的特征值一定不为零。2 .若 是n阶矩阵A的特征值，则2是A2的特征值。3 .设A为n阶方阵，则A与AT有相同的特征值。4 .设A为n阶方阵，则A与AT有相同的特征多项式。5 .设1, 2是矩阵A的两个不同的特征值,1, 2是对应的特征向量，则12也是A的特征向量。三、解答题1 .求下列矩阵的特征值、特征向量：2 1 1(1) . A 02 0;4 1 3310(2) . B 410;4823 11(3) . C 3 53;0 0 20 0 1(4) . D 0 10。1 0 02.已知3阶方阵A的特征值为1,2, 3,试求A

19、3A 2E12123.已知 1是矩阵A 5 a 3的一个特征向量，试确定参数a, b及特征向量11 b 2所对应的特征值。相似矩阵一、填空题1 .若n阶方阵A与B相似，且|A 2,则BA 。 ,23,12. 一2 .若2 3与1 相似，则x, y。y x 3 43 .与n阶单位矩阵E相似的矩阵是 。二、判别说理题(错误的请举例说明，正确的请证明)1 .相似矩阵的行列式相等。2 .设矩阵A相似于矩阵B,则A2与B2也必相似。3 .设A, B都是n阶方阵，若A与B相似，则A与B有相同的特征值。4 .设A, B都是n阶方阵，若A, B有相同的特征值，则A与B相似。5 .设A, B, C都是n阶方阵，

20、若A与B相似，B与C相似，则A与C相似。三、解答题2 001.设矩阵A1 21,(1)求A的特征值和特征向量;1 01(2)试求一可逆矩阵P ,使得P 1AP为对角阵。3 02.设 A 0 41 010(1) A是否能对角化？说明理由。3(2)若能，试求可逆矩阵P ,使P 1AP为对角阵。3.三阶方阵A的特征值为1,0, 1,对应特征向量分别为i1001, 21, 30,求111A88o4.设A2 0 00 3 2(1)求A的特征值和特征向量;0 2 3(2)A是否可对角化？若可对角化，试求矩阵 P ,使得P 1AP成为对角形实对称矩阵的正交对角化一、填空题1 .设向量(1,5,k, 1)T与

21、向量 (2k,3, 2,k)T相互正交， 则k = 。2 .向量 (1,2,3)T 与 (1,2,b)T 正交，则 b 3 .已知 (1,1,0, 1),( 1, 2,0,1) o 则内积3, 。4 .设 1,2,a,4,4,b, 2,1 ,若 与 正交，则a,b应满足的关系为 5 .设A为n阶正交阵，则A必可逆，且A 1 o6 .设向量，分别为实对称阵A的两个不同特征值1, 2所对应的特征向量，则,=12.，一，17.已知矩阵A -j=1.31,313a为正交矩阵，则矩阵元素a,b分别为二、判别说理题(错误的请举例说明，正确的请证明)1 .设A为正交阵，则矩阵A的实特征值 满足等式：2 12 .若A是正交方阵，则A 1 AT也是正交阵，且