大学物理静电场练习题及答案

1、练习题7-1两个点电荷所带电荷之和为 Q,它们各带电荷为多少时，相互间的作 用力最大？解：这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q,则另一个点电荷带电Q q ,两点电荷之间的库仑力为由极值条件dF/dq 0 ,得2Q又因为d2F dq21屋下54 / 11这表明两电荷平分电荷Q时，它们之间的相互作用力最大。7-2两个相同的小球，质量都是m,带等值同 号的电荷q,各用长为l的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角 证平衡时有下列的近似等式成立:1q2l3x 2 0mg式中x为两球平衡时的距离。(2)如果 l= 1.20 m, m=10 g, 小球上的电荷量q是多少？(3)如果每

2、个球以1.0 10 9C2很小。(1)试x=5.0 cm,则每个s-1的变化率失去电图7-43练习题7-2图F mg荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率 dx/dt是多少？ 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有TsinTcos由此二式可得tanmg因为 很小，可有tan * 2l ,再考虑到2q4 x2可解得q2l2 mg(2)由上式解出3mgx2.38 10 8C(3)由于dx dt0 mg2 -q313 dq 2x dqdt 3q dt带入数据解得1.4010 3m-1s合力的大小为Fxcl-12F1cos2 4令 dF/dx 0,2e2即有232e2x0 4x22 3 2d2

3、8e2199 3 24x2 d28x 4x2o 5 2d2由此解得粒子受力最大的位置为图7-45练习题7-4用图7-4由相距较近的等量异号电荷 组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及 土壤颗粒表面的双电层可视为许多电 偶极子的集合。因此，电偶极子是一个 十分重要的物理模型。图7-45所示的 电荷体系称电四极子，它由两个电偶极 子组合而成，其中的q和l均为已知， 对图7-44中的P点（OP平行于正方形 的一边），证明当x ?l时63/11Ep3pl4 ox4其中，p=ql称电偶极矩。解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。 设左边和右边两个电偶极子在 点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题7-3可知

4、E左 p3 方向向下40 X 2E右 p3方向向上40x2其中，p=qLP点处的合场强为EE 右E 左4 0x2pp 3x2l 2 j:3r4 o x 240 x22由于x ?l上式可简化为E口1方向向上4 0x证毕。7-5如图7-46所示，长为l的细直线OA带电线密度为,求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点 O点为b的P点的电场强度：(1)为常量，且0; (2) =kx, k为大于零的常量，(0 x 1)。POAx图7-46 练习题7-5用图dx解：(1)将带电直线分割成无数个长度元 dx, dx的坐标是X。它所带的电荷 元dq= dx, dq在P点产生的电场强度的大小为dE因为所有电荷

5、元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法 相加。于是带电直线在P点产生的电场强度为11dx11lE 2 二1； 二二04 0 x b 40bbi 4 0bbi方向沿x轴的负方向。同样取电荷微元dq= dx=kxdxdE1 kxdx4 0 x b同理1 1 kxdx k b 11c 2 in0 40 x b 4 0 b 1 b方向沿x轴的负方向7-6 一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷 Q,求环心处的电场强度。解：分析在求环心处的电场强度时， 不能 将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电 半圆弧线.在弧线上取线元dl,其电荷 dq dl ,此电荷元可视为点电荷，它在R点的电场

6、强度为OdE1 dq41菽ExLdEx 0点O的合电场强度为习题7-6用图因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有1 dq .EEy- dEy- dEsin SinLLL40 R2其中，负号表示场强方向与y方向相反。Q .将dq dl , dl Rd ,带入上式，积分得 R-2Sin 0R2Q2 2 0R2负号表示场强方向与y方向相反7-7 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为 ，求：（1）圆盘轴线上距盘 心为x处的任一点P的电场强度；（2）当R-oo时，P点的电场强度为多少？（3） 当x?R时，P点的电场强度又为多少？练习题7-7用图解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径

7、为r、外半径为r+dr的细圆环, 如图所示。利用教材中例题7-5的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场 强为dE4x dS22 3 20 x rx 2 rdr于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为x rdrx22 1 2x2R2(1)当 R时，R ?x此时,上式可化为即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。（3）当x ?R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为4 R220xq40x27-8图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为R和R2的球壳上分别带有电荷Q1和Q2,求：（1） I、II、III三个区域中的场强；（2）若Qi =- Q2,各区域的电场强度又为多少？画出此

8、时的电场强度分布曲线 （即E r关系曲线）。解：（1）在区域I,做半径为rR2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为 Q1+Q2, 由高斯定理可得1E3 dS = - qi5 0 iE34 r2Q1Q2E3 =Q1Q220（2）当Qi =Q2时，根据以上结果 易知区域I的场强为区域II的场强为E2Qi4 0r2区域III的场强为E3= 0根据上述结果可画出如图所示 Er关系曲线。7-12水分子的电偶极矩为6.1310-30C m ,如果这个电偶极矩是由一对点电荷士 e引起的（e为电子电量），那么，它们的距离是多少？如果电偶极矩的取向与强度为106N C-1的电场方向一致, 需要多少能量（用eV表

9、示）？解：（1）由电偶极矩的定义要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向PeqlI Pe l q（2）若使电偶极矩倒转6.1310 301.6 10 19需要能量为 A,3.83 10 11 (m)A q E l q E l2 1.6 10 19则2eEl106 3.83 10 111.6 10 197.66 10 5(eV)7-13计算练习题7-8中I、H、田区域中的电势。解：(1)根据题7-8所得I、H、田区域中的电场分布,U1E10; E24 ir2 ; E340r可得区域I的电势为E drrR1E1dr rR2RQ140r21 QiQ2R2E2drE3drR1 2R2 3drQR2 4d

10、r111由此解得U11 Q1Q24 0 RR2区域11的电势分布为U2 r E?drr&E2drR2E3dr 上 Q区域in的电势分布为U3 r E?drE3drQ1Q24 0r(2)若Q Q2 ,则区域I的电势为U1 E dr r wR2r E1dr% E2drdr%Q1w 4 r2 0rQ1区域H的电势为U2E?drrR2rE2drQ11工4 0rR2区域III的电势为U3 E?drE3dr 0rr7-14“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R,单位长度上带电量为+ 。试求其电势分布。(提示：选取距带电圆柱面轴线为 R的P0点为电势零点)解：由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯定 理很容易求出电场强度分布为00( r v R )E二J E ( r R )20r电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向。选某一距带电直线为R的P0点为电势零点，如本题解图所示。当r R时P。RRU E dr Edr drPrr 20rInr InR In 202020 r图7-49练习题7-16用图7-16同轴电缆是由两个很长且彼 此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图 7 49所示。设内圆柱体的电势为U1 , 半径为R;外圆柱体的电势为U2，外 圆柱体的内