大学物理习题精选-答案——第2章-质点动力学

1、大学物理习题精选-答案一一第 2章-质点动力学质点动力学习题答案2-1 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾 角为）上以初速度匕运动，义的方向与斜面 底边的水平线AB平行，如图所示，求这质 点的运动轨道.解：物体置于斜面上受到重力mg）斜面支持力 N.建立坐标：取V0方向为X轴，平行斜面 与X轴垂直方向为Y轴.如图2-1.图2-1Fx 0Fy mg sinmay由、式消去t,得X方向：xVotY方向:Vy 0y 1gsin t y -gsin2v 02 质量为m的物体被竖直上抛，初速度为V0 , 物体受到的空气阻力数值为f K K为常数. 求物体升高到最高点时所用时间及上升的 最大高度.解

2、：斑究对象：m 一受力分析：m受两个力）重力P及 空气阻力f牛顿第二定律:合力：F P fP f may分量:mg KVmdVmg KVdtmgdV mdtdVmgKVIdt mvv0 mg1dVKV-dt m一 InKKVmg KVmg KV0Kte m (mgKVo)、，1，V K(mg2KtKVo)e m物体达到了最高点,tom .InKmg KVomg可有觊11Kmgto为KVo) mgdy dtyodytVdt o dy1 ,(mg KVdtKVo)eKt mi7mgdtmK2(mgKVo)i . KmgtKmt 12 (mg KVo) 1 emgtK2Kt to 时,y ymax)

3、m /ymax 2 (mgKKVo) 1K m, KVo ln(1 ° m Kmge1 m KVo、Kmg 7ln(1 k)m / 2(mgKKVo) 11mg KV022 g ln(1KKVo) mgm / KT (mgKVo)mgKVomg KVom2K7gln(1KVo) mgmVoK2-3一条质量为m2“ KV。、2gln(1 )Kmgm,长为l的匀质链条)放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的 一段长度被推出桌子边缘，在重力作用 下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时 的速度.解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为 fxg,根据牛顿定律，有mF

4、-pxg ma通过变量替换有dvmv一 dxx o,v o, 积分 01mxgvmvdv o由上式可得链条刚离开桌面时的速度为2-5升降机内有两物体，质量分别为mi和m2,且m2 = 2mi.用细绳连接，跨过滑轮，绳子不可伸 长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升 降机以匀加速a = 2g上升时，求：（1） m,和m2 相对升降机的加速度.（2）在地面上观察m, 和m2的加速度各为多少？解：分别以mi, m2为研究对象，其受力图如图所 示.（1）设m2相对滑轮（即升降机）的加速度为a ,则 m2对地加速度a2 a a；因绳不可伸长，故mi对 滑轮的加速度亦为a ,又mi在水平方向上没 有受牵连

5、运动的影响，所以mi在水平方向对 地加速度亦为a ,由牛顿定律，有m2g T m2 （a a）T mia题2-5图联立，解得ag方向向下(2) m2对地加速度为 a2 a a g 方向向上mi在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度)即a绝aai2 g2.5g 4Tg* a x 1 arctanarctana226.6。，左偏上.2-6 一物体受合力为F 2t (SI),做直线运动)试 问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲 量之比及动量增量之比各为多少？ 解：设物体沿+x方向运动，Il :Fdt ：2tdt 25NS(Ii 沿 i 方向)I2 fFdt 502tdt 75N 6 (I2沿

6、 i 方向)I2/I13 I2( P)2Ii ( P)1，3(P)i2-7 一弹性球)质量为m 0.020kg)速率v 5m/s) 与墙壁碰撞后跳回.设跳回时速率不变，碰 撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60)求碰撞过程中小球受到的冲量I ?设碰撞时间为t 0.05S)求碰撞过程中小球 受到的平均冲力F ?解：I x mv2x mv1x mvcos ( mvcos ) 2mvcosI y mv2y m.y mvsin mvsin 0I Ixi 2mvcos i 2 0.020 5 cos60 i 0.10iNS2-9一颗子弹由枪口射出时速率为V°ms1,当子弹在枪筒内被加速时，它所

7、受的合力为F=（a bt）N（ a,b为常数），其中t以秒为单位：（1） 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零， 试计算 子弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受 的冲量.（3）求子弹的质量.解：（1）由题意，子弹到枪口时，有F （a bt） 0,得 t a b（2）子弹所受的冲量i(a1 2 bt)dt at -bt2a代入，得 b2aI2bIim 一Vo由动量定理可求得子弹的质量2bvo2 a2-10木块B静止置于水平台面上）小木块A放在B板的一端上）如图所示.已知mA 0.25kg）mB=0.75kg,小木块A与木块B之间的摩擦因数1 = 0.5,木板B与台面 间的摩擦因数2 = 0.1.

8、现在给小木块A一向 右的水平初速度v° = 40m/s,问经过多长时间 A、B恰好具有相同的速度？(设B板足够长)图解：当小木块A以初速度vo向右开始运动时， 它将受到木板B的摩擦阻力的作用，木板B 则在A给予的摩擦力及台面给予的摩擦力 的共同作用下向右运动.如果将木板B与小 木块A视为一个系统，A、B之间的摩擦力 是内力，不改变系统的总动量，只有台面与 木板B之间的摩擦力才是系统所受的外力， 改变系统的总动量.设经过t时间，A、B具 有相同的速度，根据质点系的动量定理Fk t (mA m)B)v miAVoFk 2(mA mB)g再对小木块A单独予以考虑，A受到B给予 的摩擦阻力F

9、k,应用质点的动量定理 _ 'Fk t m)AV miBVo以及 FkimAg解得/ mA iv (mAmB2)一, tVo Vig代入数据得v 2.5m/s2-11 一粒子弹水平地穿过并排静止 放置在光滑水平面上的木块，如 图2-11所示.已知两木块的质量t=7.65s分别为h和m2 ,子弹穿过两木块的时图间各为t1和，2,设子弹在木块中所受的阻力为 恒力F,求子弹穿过后，两木块各以多大速度运动.解：子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为V1,初始两木块静止，由动量定理，于是有F t1 (m1 m2)v1 0设子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为V2 对第二块木块，由动量定理有F

10、t2 m2V2 m1v1解以上方程可得F t1F t1 F t2V1 ,V2 m1 m2 m1 m2 m22-12 一端均匀的软链铅直地挂着，链的下端刚好 触到桌面.如果把链的上端放开，证明在链下落的任一时刻，作用于桌面上的压力三倍 于已落到桌面上那部分链条的重量.解：设开始下落时t 0,在任意时刻t落到桌面 上的链长为x,链未接触桌面的部分下落速度 为v,在dt时间内又有质量dm dx （为链的线 密度）的链落到桌面上而静止.根据动量定 理，桌面给予dm的冲量等于dm的动量增量，即I Fdt vdm vdx所以 F vdx v2dt由自由落体的速度v2 2gx得F 2 gx这是t时刻桌面给予

11、链的冲力.根据牛顿第三定 律，链对桌面的冲力F, F , F方向向下，t时刻桌 面受的总压力等于冲力F,和t时刻已落到桌面上 的那部分链的重力之和，所以_ _'_N F xg 3 xg所以43xg即链条作用于桌面上的压力3倍于落在桌面上那部分链条的重量.2-13 质量为50kg的人站在质量为100kg的停在静水中的小船上，船长为 5m,问当人从 船头走到船尾时，船头移动的距离.解:以人和船为系统，整个系统水平方向上动量守恒设人的质量为m,船的质量为-,应用动量守恒得mv+M V = 0其中v,V分别为人和小船相对于静水的速度，人相对于船的速度为vM mv VvMl,则有可得V=-mv设

12、人在t时间内走完船长.t t M m Mm、* l v dtvdtvdt00 MM 0在这段时间内，人相对于地面走了所以x篙tx vdt0船头移动的距离为x' l x -m- j 32-14质量为m的木块静止在光滑的水平桌面上, 质量为m ,速度vo的子弹水平地射入木块, 并陷在木块内与木块一起运动.求：(1)子弹相对木块静止后，木块的速度和动 量；(2)子弹相对木块静止后，子弹的动量；(3)在这个过程中，子弹施于木块的冲量.解：子弹相对木块静止后，其共同速度设为u,子弹和木块组成系统动量守恒(1)mv0 (m M )u所以uPmMumv。m MMmv0(2)子弹的动量Pmmu2m V

13、om M(3)针对木块，由动量守恒知，子弹施于木块的冲量为I Pm 0"。M m2-15质量均为m的两辆小车沿着一直线停在光 滑的地面上，质量为m的人自一辆车跳入另 一辆车，接着又以相同的速率跳回来.试求 两辆车的速率之比.解：质量为m的人，以相对于地面的速度v从 车A跳到车B,此时车A得到速度U1,由于 车是在光滑的地面上，沿水平方向不受外 力，因此，由动量守恒得mv Mu1人到达车B时，共同得速度为U2,由动量守 恒得(M m)u2 mv人再由车B以相对于地面的速度v跳回到车A,则车B的速度为U2,而车A与人的共同速 度为ui',如图所示，由动量守恒'Mu2 mv

14、 (M m)u2 彳(M m)u1 mv Mu1联立方程解得：u2 2mvM2m u1 v M m所以车B和车A得速率之比为u2 M m '.ui M2-16体重为p的人拿着重为p的物体跳远，起跳 仰角为，初速度为vo.到达最高点时，该人 将手中的物体以水平向后的相对速度u抛出，问跳远成绩因此增加多少？解：人和物体组成系统在最高点抛出物体前后 沿水平方向动量守恒，注意到对地面这个惯性参 考系(m m)v0cos mv m(v u) m v v0 cos ' um m从最高点到落地，人做平抛运动所需时间t型 跳远距离增加为 ' m s (vo cos -u)t Vo co

15、s tm m m , p vosin ut u m m P p g2-17铁路上有一平板车，其质量为m ,设平板车 可无摩擦地在水平轨道上运动.现有n个人 从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m, 相对平板车的速度均为u.问在下述两种情 况下，平板车的末速度是多少？ (1) N个人同时跳离；(2) 一个人、一个人的跳离.所 得结果是否相同.解：取平板车和N个人为研究对象，由于在水 平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量 守恒.取平板车运动方向为坐标轴正方向，设 最初平板车静止，则有Mv Nm(v u) 0所以N个人同时跑步跳车时，车速为M NmNm v u(2)若一个人、一个人地跳车，情况就

16、不同了 第一个跳车时，由动量守恒定律可得M (N 1)mv1 m(v1 u) 0第二个人跳车时，有M (N 2)mv2 m(v2 u) M (N 1)mv1muV2 V1M (N 1)m以此类推，第Mvn m(VNVnVn所以u) (MmuI m1mu(M mN个人跳车时, m)VN 11M 2mN mun 1M nm因为京M1 NmN Nmio-0 -1216 一jf(m11m M 2m112m M NmVn V2-18质量为10kg的物体 作直线运动，受力TO与空标关系如图2-18所示。若x。时）v 1m/s, 试求x 16m时）v ?解：在x 0到x 16m过程中）外力功为力曲线与x轴所

17、围的面积代数图2-18和 =40J由动能定理为：1A/1212W - mv2 mv1 22即 40 1 10v； 1 10 122v23m/ s2-19在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半 圆形屏障.有一质量为m的滑块以彳也 初速度V0沿切线方向进入屏障一，工端，如图2-19所示，设滑块与屏障Vk间的摩擦因数为，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力作功为122Wf mv0 （e 1） 2解：滑块做圆周运动，依牛顿定律，有:法向:2 mvR切向：fdv m dtdv d mv dv md dt R d由以上两式，可得 dv d v对上式两边积分，有IS 0 d vv0 v0可彳导v v

18、76;e由动能定理可得摩擦力做功为 1212122Wf -mv -mv0 -mv0 （e 1）2-20质量为m的木块静止于光滑水平面上，一质 量为m ,速率为v的子弹水平射入木块后嵌在 木块内，并于木块一起运动，求：（1）木块 施于子弹的力所做的功；（2）子弹施于木块 的力所做的功；（3）木块和子弹系统耗散的 机械能.解：把子弹和木块当作一个系统，动量守恒(M m)u mv因而求得子弹和木块共同速度u/v(1 ) A 1 mu2 - mv22_M 2Mm,12、2 ( mv )(Mm) 2(2)(3)12Mm 12A Mu 02( mv )2(M m) 21 一 2 12. 1 2M/1 一

19、2、E (-mu - Mu ) - mv (mv )222 (M m) 22-21 一质量m 10kg的物体放在光滑的水平桌面 上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的劲度系 数k 1oooN/m.今有一质量m = 1kg的小球以 水平速度v0 = 4m/s飞来)与物体m相撞后以v1 = 2m/s的速度弹回，试问：(1)弹簧被压缩的长度为多少？(2)小球m和物体M的碰撞是完全弹性碰撞吗？(3)如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与m粘在一起，则(1), (2)所问的结果又如何？解：碰撞过程中物体、弹簧、小球组成系统的动 量守恒mv0 mv1 Muu m(v0 v1) 1212-kx2 0 (M m)u2

20、(4 2) 0.6m/s M10小球与弹簧碰撞，弹簧被压缩，对物体 M有作用 力，对物体M ,由动能定理(1 )1 kx2此时弹簧被压缩的长度x' -n=mv0=0.04 mJk(M m)2-22 一根劲度系数为k-的轻弹簧a的下端，挂一 根劲度系数为k2的轻弹簧B, B的下 端一重物C , C的质量为M ,如2-22 图.求这一系统静止时两弹簧的伸 长量之比和弹性势能之比. 0 -Mu222弹簧被压缩的长度1000 0.6 0.06m(2) Ek -Mu2 二mv2mv02= 4.2J 222(3)小球与物体M碰撞后粘在一起，设其共同 速度为u,根据动量守恒及动量定理 一 一'

21、; mv0 (M m)u解：弹簧a、b及重物c受力如2-22图所示平 衡时，有Fa Fb Mg乂Fa ki XiF B k2 X2所以静止时两弹簧伸长量之比为Xik2x2k1弹性势能之比为1 12EP1 2k1 x 生耳 Tk212 k122-23如题2-23图所示，一物体质量为2kg,以初 速度v° = 3mr s-1从斜面a点处6下滑，它与斜面的摩擦力为藤圮岁8N,到达b点后压缩弹簧20cm 谴二一 后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数 和物体最后能回到的高度.解：取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有frs 1kx2212-mv

22、 mgssin 372一 mv2mgssin 37frs1kx2式中s 4.8 0.2 5 m , x 0.2m 5再代入有关数据,解得 k 1390 N m-1再次运用功能原理，求木块弹回的高度hfr s mgs sin37o 1 kx2代入有关数据，得 s 1.4 m,则木块弹回高度h s sin 37o 0.84 m2-24铅直平面内有一光滑的轨道，轨道的BCDE部分是半径为R的、三 圆.若物体从A处由静止下滑，:求h应为多大才恰好能使物体,沿圆周BCDE运动？图解：木块如能通过D点，就可以绕整个圆周运动 设木块质量为m,它在D点的法向运动方程为2 vN mg m 式中N为圆环给木块的法

23、向推力.显然N=0时， 木块刚好能通过D点，所以木块刚好能绕圆周运 动的条件为V2 Rg选木块和地球为系统，系统的机械能守恒，所以 可得C -12.2mgR -mv mgh联立求解得h 2.5R即高度为h 2.5R时木块刚好能绕圆周运动2-25两个质量分别为m,和m2的木块A和B ,用一个 质量忽略不计、倔强系数为k的弹簧连接起 来，放置在光滑水平面上，是 A紧靠墙壁， 如图示.用力推木块B使弹簧压缩”,然后 释放.已知 m1 m, m2 3m ) 求(1)释放后，A、B两木块速度相等时的瞬时速度的大小；A C/vAAAA/V' B(2)释放后，子弹的最大仰 长量.解：释放后，子弹恢复

24、到原长时A将要离开墙壁, 2kx0设此时B的速度为由机械能守恒，由3mv2/2得 v xoY 3mA离开墙壁后，系统在光滑水平面上运动，系 统动量守恒，机械能守恒，有m1vl m2v2 m2v12m2v2(1)121,212m1v1kxm2 v2222当v1 v2时，求得:v1v2(2)(2)弹簧有最大伸长量时)v1 v2 ：v,由式(2)1 xmax 二 X0 22-26两块质量各为mi和m2的木块，用劲度系数为k 的轻弹簧连在一起，放置在地面上，如图示，问至少要用多大的匚力F压缩上面的木块，才能在该力 撤去后因上面的木板升高而将下 面的木板提起？解：将dm2和弹簧和地球视为一个系统，该系统

25、在压 力撤离后，只有保守力作用，所以机械能守恒 设压力撤离时刻为初态，m2恰好提离地面时为末 态，初态、末态时动能均为零.设弹簧原长时为 坐标原点和势能零点，则m1gx -kx2 m1gx0 -kx02 22式中xo为压力F作用时弹簧的压缩量，则m1g F kx0 0式中x为m2恰好能提离地面时弹簧的伸长量，此 时要求kx m2g联立以上几个方程解得F (mi m?)g故能使m2提离地面的最小压力为小 (mi m2)g2-27 一质量为m'的三角形木块放在光滑的水平面上，另一质量为m的立方木块由斜面最低处沿斜 "3面向上运动，相对于斜面的初速度为v0,如 图所示，如果不考虑木

26、块接触面上的摩擦， 问立方木块能沿斜面上滑多高？图解：三角形木块与立方木块组成的系统在水平方向不受外力作用，水平方向动量守恒初始时，立方木块速度为v0,其水平方向分量 为vocos ,三角形木块静止；当立方木块达最高 点时，相对于三角形木块静止，设二者共同的 速度为v ,则mvo cos(m m )v在运动过程中，两木块和地球组成的系统只有重力做功，机械能守恒，得1 22mvo,1 ,、mgh -(m m )v由以上两式得立方木块沿斜面上滑的高度为2222 一, v0 - mcos 、 v0 msin mh -(1 )2g m m 2gmm2-28两个形状完全相同、质量都为M的弧形导轨A和B,

27、工火 川 放在地板上，今有一质量为m 的小物体，从静止状态由 A的顶端下滑，A顶 端的高度为 ,所有接触面均光滑.试求小物体 在B轨上上升的最大高度（设A、B导轨与地面 相切）图解：设小物体沿A轨下滑至地板时的速度为v 对小物体与A组成的系统，应用机械能守恒定(2)(1)律及沿水平方向动量守恒定律，有MvA mv 01212mgh0 MvA mv 22解得 v j2Mg%/(Mm)(3)当小物体以初速v沿B轨上升到最大高度H时， 此时小物体相对B的速度为零，设小物体与 B 相对地沿水平方向的共同速度为u,根据动量守 恒与机械能守恒，有"Mv (M m)u(4)(5)1212mv -(M m)u mgH22联立(3) (5)解得Mv2M 2H () ho2(M m)g M m2-29 一质量为200g的祛码盘悬挂在劲度系数k 196 N/m的弹簧下，现有质 _ $ 量为100g的祛码自30