狭义相对论基础

1、第五章狭义相对论基础内容：1 .经典力学的时空观；迈克耳逊 莫雷实验，长度收缩，时间延缓，同时的相对性，狭义相 对论的时空观。质量与速度的关系；相对论动力学基本方程；相对论动量和能量。2 .狭义相对论的基本原理；3 .洛仑兹坐标变换式；4 .相对运动； 重点与难点：1 .经典力学的时空观2,迈克耳逊-莫雷实验。3,狭义相对论的基本原理；3,质量与速度的关系；4 .相对论动量和能量。5 .相对论动力学基本方程 要求：1. 了解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。2. 了解洛伦兹坐标变换。了解狭义相对论中同时的相对性以及长度收缩和时间延缓。了解 伽利略的绝对时空观和爱因斯坦狭义相对论的时空观及其二者

2、的差异。3. 理解狭义相对论中质量和速度的关系、质量和能量的关系。相对论包括狭义相对论和广义相对论两部分内容.狭义相对论提出了新的时空观，建立了物体高速运动所遵循的规律，揭示了时间和空间、质量和能量的内在联系.广义相 对论提出了新的引力理论，开始了有关引力本质的探索.本章仅介绍狭义相对论的运动学 以及相对论动力学的主要结论.§5-1伽利略变换与力学相对性原理为了理解相对论时空观的变革，首先回顾一下牛顿力学的时空观.一、伽利略变换与绝对时空观要描述某一个事件，应该说明事件发生的地点和时间.这就需要确定一个参考系，并 在其中使用一定的尺和钟，用以确定事件发生的空间坐标和时间坐标，即用x、

3、y、z来表示事件发生的空间位置，用t来表示事件发生的时刻.设有分别固定在两个惯性参考系上的两个直角坐标系S和S ,如图5-1所示，相应的坐标轴相互平行，S系相对于S系以恒定速度v沿x轴正方向运动.现在要讨论的问题是： 如果在S系上的观测者测得某一事件P发生的位置和时刻分别为 x、y、z和t,而在S系上观测者测得同一事件 P发生的位置和时刻分别为 x、y、z和t ,那么x、y、z、t 和x、y、z、t之间的关系如何呢？Px.y.zti) (S：门图5-1讨论这一问题时，两个观测者所使用的尺和钟应当完全相同.即把它们放在同一参考系的同一位置时，两把尺子的长度是相同的，两个钟的快慢也是相同的.为了讨

4、论简单起见，令两坐标系的原点 。与。重合的时刻为两个坐标系计时的起点，即这时 t t 0.从图5-1分析，并把时间的量度也考虑进去，便可得到x x vt(5-1)(5-2)y y z z t t这组关系式称为伽利略时空变换式.同样还可以得到x x vty yz z通常把（5-1）式称为正变换，把（5-2）式称为逆变换.此两式就是一个事件在两个 相对运动的惯性系中测得的时空坐标的关系.以U和U分别表示同一质点在 S和S系中的速度，由（5-1）式的前三式对时间t求 导数，并考虑到t t ,得到dx dx v dt dtdy dy dt dt dz dz dt dt按速度的定义，即有ux ux vU

5、y Uy（5-3）Uz Uz或写成矢量式U U v（5-4）（5-3）式和（5-4）式称为伽利略速度变换公式.在导出伽利略变换时，已经隐含着牛顿的时空观.这种时空观认为，空间是一个与物 质运动无关的、永恒不变的、固定不动的独立存在的框架，因此，长度测量是绝对的，与 参考系无关；时间单向永远地流逝着，因此，时间间隔的量度也是绝对的， 与参考系无关.时 间、空间和物质客体三者是彼此独立、相互无关的.正是以绝对时空观为前提，事件P发生的空间位置到 Oyz平面的距离，在 S系和S系来量度，所得的量值是相等的，即 x x vt；由to to 0,可以得到在S系和S系测量事件P发生的时刻是相同的，即 t

6、t .由此可以推论：如果有两个事件在S系看来同时发生，在 S系看来也必定同时发生.也就是说同时性是绝对的，与参考系无关.绝对时空观与日常生活经验是一致的，因 而长期被人们认为是普遍正确的.伽利略变换就是绝对时空观的数学表述.二、力学相对性原理现在研究由S系和S系测量同一质点运动的加速度 a和a的关系.由（5-4）式对时 间求导数，考虑到t t,以及两惯性系之间的相对速度 v与时间无关，即得du du dt dt 即a a上式表明，同一质点的加速度在S系和S系测得的量是相同的.在牛顿力学中，一个质点的质量是不因其运动而改变的，因此，在 S系和S系测量同 一质点的质量的量值 m和m应相等，即 m

7、m .牛顿力学中的力只跟质点的相对位置或 相对运动有关，也是和参考系无关的，因此，在两惯性系中测量同一力所得的F和F是相同的，即F F .综上所述，若对于S系有F ma ,则对于S系必然有F ma .这 表明经过伽利略变换，牛顿第二定律的形式不变.也就是说，力学规律在一切惯性系中都 具有相同的形式.这个结论称为力学相对性原理.历史上，早在牛顿定律建立之前，伽利 略就通过观察和实验，论证了力学规律在所有惯性系中都是相同的，亦即从力学的观点看 来所有惯性系都是等价的.因此，力学相对性原理也称为伽利略相对性原理.§5-2狭义相对论的基本假设与洛仑兹变换一、狭义相对论的基本假设在物体低速运动

8、的范围内，伽利略变换和力学相对性原理是符合实际的.然而，在19世纪下半叶，随着电磁理论的发展，电磁现象与经典力学理论产生了许多矛盾.特别是人 们确认光就是电磁波，并证明了在真空中光沿各个方向传播的速度都相同.光速（用c表示）是相对于哪个惯性系而言的呢？当时的物理学家普遍认为，光是在所谓光以太这种特 殊介质中传播的.根据伽利略变换，相对于光以太运动的不同惯性系，光速是不同的.如 果有一个惯性系 S相对于光以太沿光的传播方向以速度v运动，那么，在S系测得的光速应该为c c v;如果有一个惯性系 S相对于光以太沿光的传播相反的方向以速度v运动，那么，在 S系测得的光速应为 c c v.由此看来，似乎

9、可以通过测定光速的实验 来发现物体（例如地球）相对光以太的速度.光以太本身就可以当作特殊的静止参考系， 其他所有物体相对它运动.然而，人们在绝对静止的光以太这个观点的基础上，对大量实 验和观察的结果进行讨论研究，出现了许多矛盾.力学相对性原理和伽利略变换遇到了不可克服的困难.这里不去叙述和解释那一系列矛盾的历史，而直接介绍爱因斯坦 1905年在论动体的电动力学这一具有划时代意义的论文中提出的新的理论.爱因斯坦在前人，特别是洛仑兹和庞加勒工作的基础上分析了经典力学与电磁现象之 间的矛盾，重新审视了人们头脑中根深蒂固的伽利略变换所蕴含的绝对时空观，提出了两 个新的假设.这就是狭义相对性原理和光速不

10、变原理，创立了狭义相对论，建立了崭新的 相对论的时空观.这两个假设表述如下：(1)狭义相对性原理：一切物理定律在相对作匀速直线运动的所有惯性系内均成立.这是对伽利略相对性原理的推广.它指出，相对性原理不仅适用于力学现象，而且适用于一 切物理现象.因此，不论是力学实验还是其他任何物理实验，都不能判定一个惯性系比另 一个惯性系更优越，光以太的假设是多余的.(2)光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为C,并与光源的运动无关.一个世纪以来，人们进行了大量相关的实验，这些实验事实只能用相对论来解释和预见.只能在有了这些牢固的实验基础以后，人们才能回过头来说这两个假设是反映客观实 际的基

11、本原理.二、洛仑兹坐标变换式爱因斯坦依据光速不变原理结合狭义相对性原理，得到了狭义相对论的坐标变换式， 即洛仑兹坐标变换式.洛仑兹坐标变换式是关于一个“点”事件在两个惯性系中的时空坐标之间的变换关系.所谓“点”事件，是指某一时刻发生在空间某点上的事件.我们仍采取导出伽利略变设某一事件在惯性系S中的时空坐标为(x、y、x、y、z、t ),洛仑兹坐标变换式为换时的两个惯性坐标系 S和S系(图5-1所示)，相应的坐标轴彼此平行， S系相对于S系 以恒定速度v沿x轴正方向运动.规定两惯性坐标系中观测者所使用的尺和钟完全相同.同 样规定，两坐标系原点重合时为计时起点.z、t),在惯性系S中的时空坐标为(

12、x(5-5)其逆变换为x vty2y-y(5-6)必须注意，洛仑兹变换讨论的不是一个抽象的空间点或某一抽象的时刻，而是一个真 实存在的物理事件.一个真实存在的物理事件不能只有空间坐标或时间坐标，而必须同时 具有空间坐标和时间坐标.所以在应用洛仑兹变换处理问题时，要特别注意两组时空坐标 是否代表同一物理事件的坐标.从（5-5）和（5-6）式可以看到，C是自然界的一个极限速度.为了使 X和t保持为 实数，V不能大于C.这表明两个参考系的相对速度不可能大于光速.由于参考系总是借 助于一定的物体而确定的，所以任何物体的速度都不可超过光速.从（5-5）和（5-6）式还可以看到，当 S系相对S系的速度VC

13、时，洛仑兹变换就过渡到伽利略变换.§5-3狭义相对论的时空观从洛仑兹变换可以得出四个主要结论，它们标志着相对论时空观区别于绝对时空观的 特点之所在.一、时间作为“第四维”从洛仑兹变换公式中可以看到，我们必须改变绝对的、普遍的时间概念.由（5-5)组式中的第四式可知，S系的观测者测得某事件发生的时刻t不但与S系的观测者测得的时刻t有关，而且与位置 x有关，因而，我们不能把空间和时间作为彼此分离的概念，用三 个空间坐标和一个独立的时间坐标来表征一个事件，而应用洛仑兹变换“混合在一起”的 四个时空坐标来代替.在数学上，时刻可当作第四个空间坐标来看待，因此，有时将时间 称为“第四维”.二、同

14、时的相对性按照伽利略变换，S系中的观测者测到两事件同时发生，则在S系中的观测者亦测到两事件同时发生，即同时是绝对的.现在讨论洛仑兹变换的情况.设有两个事件P1 和 P2,S系中的观测者测得其时空坐标分别为（、,丫1,4,3）和（X2, y2,Z2,t2）;在S系中的观测者测得其时空坐标分别为（X1, y1, z1,t1）和（t *Xt12 X1tlc X2, y2,Z2,t2 ) .按照洛仑兹变换，有t工xt22 X2c1c21 5在S系和S系测得的时间间隔分别为（t2 t1 ）和（t2 t1）,它们之间的关系为t2tiI_v_.(t2ti)-2 (X2Xi)cC2(5-7)由此可见，在两个相

15、对作匀速直线运动的惯性系中测得的时间间隔，一般说来是不相同的.若两个事件P,和P2在S系中的观测者看来是同时发生的，即t2 ti,由(5-7)可得ti由上式可以看出，当 Xi X2时，t2 t)(X2 Xi) c 11r0 .这一结果表明，在一个惯性系中不同地点同时发生的事件，在相对它运动的任一其他惯性系中的观测者看来，并不同时发生.只有在 一个惯性系中同一地点、同一时间发生的两个事件，在相对它运动的另一惯性系看来，才 会同时发生.同时是相对的.三、时间间隔的相对性设在S系中某点X处先后发生了两个事件 Pi和P2,其时刻分别为ti,t2 ,时间间隔为t2 ti ,注意到P和P2在S系中的空间坐

16、标相同，由(t2 X5-6)式有vtiti-v2 X由此可得S系中的观测者测得其时间间隔,上式表明，在 S系中同一地点先后发生的两个事件，在比在S系中的观测者测得其时间间隔长.通常，把在某一惯性系中同一地点先后发生的两个事件的时间间隔称为固有时间间隔，用 的另一惯性系中测得的这两事件的时间间隔为to表示.一般地说，在与该惯性系有相对运动(5-8)t总是大于to,这个效应叫做时间膨胀效应.时间膨胀效应表明了时间间隔是相对的.仅当两惯性系的相对速度 v c时，t t0 ,绝对时空观中的时间间隔不变，才是 近似正确的.如果用钟走的快慢来说明，S系中的观测者把固定在 S系中的钟和固定在相对它运动的S系

17、中的钟相对比，将会发现S系中的钟走慢了.所以这个效应也叫做运动的时钟变慢.应当特别指出，时间膨胀是相对的.S系中的观测者把固定在 S系中的钟和固定在相对它运动的S系中的钟对比时，会发现 S系中的钟走慢了.四、长度的相对性如图5-2所示，在S系中沿x轴放置一刚性杆 AB,此杆在S系中静止，但相对S系则沿x轴正方向以速度 v运动.在伽利略变换下，从两 参考系中测得杆的长度相同.现在根据洛仑兹变换重新 研究这个问题.在S系测量这一运动的杆的长度时，不能让度量的尺子也具有速度 v相对杆静止地度量，因 为尺在运动时长度也可能会变化.正确的测量方法是同 时测定杆两端在S系中的坐标x1和x2 ,杆的长度lX

18、2 4.图 5-2设在S系，在时刻t测得杆的两端点 A、B的坐标为x1、x2,即端点A和S系x轴 的坐标xi重合的这一事件的时空坐标为（xi,ti）,端点B和S系x轴的坐标x2重合这一事件的时空坐标为（x2,t2）,而且t1 12t.这两个事件在 S系的观测者看来，其时空坐 标分别为（为，t1 ）和（x2,t2）.由（5-5）式x1vt1x2 vt2由此可得由ti12t得l总小于lo ,这个效应称为长度缩短或洛仑兹收缩. 相对的，可因在不同的惯性系中测量而不同.仅当 长度不变才是近似正确的.长度缩短效应说明空间间隔（长度）是 v c的时候，l 10,绝对时空观中的上式表明，固定在 S系的杆，在

19、S系的观测者测得的长度，比在 S系观测者测得的长度 短.一般地说，从与杆有相对运动的惯性系中测得的沿速度方向的杆的长度，比与杆相对 静止的惯性系中测得的长度短.通常把与杆相对静止的惯性系中测得的杆的长度称为固有 长度，记作lo .在其他沿杆长方向运动的惯性系中测得的长度为(5-9)应当指出，由（5-5）式y y, z z,可以看到，如果杆沿 y轴或z轴放置，杆长 不会缩短.长度缩短也是相对的.两把相同的尺子分别固定于S系和S系中，在两个参考系的观测者看来，固定在自己所在的参考系的尺子的长度应为固有长度，因而固定在另一参考系 中的尺子应比自己的尺子短些.两个观测者的结论都是正确的.例题5-1 原

20、长为50m的火箭以v 9 103 m/s的速度相对于地面匀速飞行.在地面上的观测者测得飞行中的火箭的长度是多少？l0 50 m ,用l表示地面上观测者测得飞行中的火19 103 2;3 108_ 5 210 )49.99999998 m解 由题意可知，火箭的固有长度 箭长度，按（5-9）式有l lo j501501一（32结果表明，对火箭这样大的速度，长度缩短效应是微乎其微的.例题5-2 在h0 6000 m的高层大气中产生了一个子， 子以0.998c的速度竖直向地面飞来，静止的子的平均寿命为2 10 6 s,问 子在衰变以前能否到达地面？解 地面上的观测者，按经典理论计算，粒子走过的距离为d

21、1 v t0 （0.998 3 108） （2 10 6） 598.8md1 h0 ,因此，它似乎不可能到达地面.实际上， 子的速度与光速c可以比拟，必须考虑相对论效应.子相对地面运动，在地面的观测者看来，它的平均寿命为地面上的观测者所计算的31.6 10 6s子可飞行的距离为d2 v t(0.998 3 108) (31.6 10 6) 9461md2 ho,因此，按 子的平均寿命，它能到达地面.五、相对论的速度变换公式利用洛仑兹变换可以得到相对论的速度变换公式.用(x, y,z,t)和(x,y,Z , t )分别表示运动质点 P在S系和S系中的时空坐标，用(Ux, Uy,Uz)和(Ux,U

22、y, Uz) 分别表示质点P在S系和S系中的速度分量.对(5-5)式的4个分式两边取微分，并考虑到惯性系S和S之间的相对速度 v是常数，则有dy dydz dz按速度定义和Uxdxdt ,Uydz dtUxdx,Uy dtdy一,Uzdtdzdt即可得到uxuyuzdxux Vdtdy dtdz dtuxv-2 c1uy2uxV-2(5-10)上式就是相对论的速度变换公式.其逆运算可根据相对性原理，将 不带撇的量互换而得到v换成v ,带撇的量和uxux v/uxv1-x2c(5-11)应当注意，相对论的速度变换关系中虽然S系和S系相对速度的方向沿 x轴方向，但不仅速度的x分量要变换，速度的 y

23、分量和z分量也要变换.当v c时，（5-10）和（5-11）式将过渡到速度变换式.例题5-3 飞船A和飞船B各以0.8c和0.6c的速度相对于地面分别向右和向左飞行.由飞船B测得飞船A的速度多大？解 现在涉及三个客体，选飞船 A为运动物体，飞船 B为S系，地球为S系.飞船A 相对地面的速度为Ux 0.8c, S系相对S系的速度为v 0.6c （式中负号表示S系相 对于S系的速度沿x轴的负方向），飞船A相对于飞船B的速度为Ux,根据（5-10）式，有uxux v,UxV0.8c ( 0.6c)八 c 1 c，、0.946c0.8 ( 0.6c)§5-4 相对论质量、动量和能量一、相对论

24、质量动量守恒定律是自然界的普遍规律之一.在相对论力学中，我们仍把动量守恒定律作 为一条基本定律，而且定量仍用 p mv的形式定义.可以证明，要使动量守恒定律在洛仑 兹变换下保持不变，则质点的质量 m不再是一个与其速率 v无关的常量，而是随速率增大 而增大，即(5-12)式中m0是由相对质点静止的观测者测得的质量，称为静止质量.（5-12）式表明，当质点以一定速率相对观测者运动时，观测者测得该质点的质量m大于静止质量 m0 .因此，质点的质量也是相对的. （5-12）式称为相对论的质速关系式.若物体的运动速度 v c时，m mO,即物体低速运动时，其质量与速率无关，等 于静止质量.这就是经典力学

25、中的质量概念.二、相对论质点动力学方程由质点相对论动量的定义和（5-12）式可得质点的相对论动量p与其速度v的关系为m。P mv -yv1 I?(5-13)可以证明，对洛仑兹变换保持形式不变的相对论动力学方程为F dP 1dt dtm0v2 Vl(5-14)显然，因为m随v而改变，所以不能像经典力学那样，把质点动力学方程写成 F ma的形式.但在v c的情况下，（5-13）和（5-14）式都与静电力学中对应的关系相同，说 明经典力学是相对论力学在低速条件下的近似.三、质能关系式在相对论力学中，我们仍把力定义为动量的时间变化率，即_ dp d(mv)F - dt dt而且，我们仍定义物体的动能为

26、在合外力F作用下，使物体由静止到达末速度为v时，合外力所作的功.由此可导出相对论的动能表达式.设物体在力F的作用下沿曲线s运动，在元位移ds上物体动能的增量为d(mv)dEKF dsmv dvds v d(mv)dt2v vdm mvdv v dm由(5-12)式可得,movdvdm 2T2 v 9 c2(1 -2)2 c代入上式并化简，即得 2 , dEK c dm当物体的速度由零增加到 v,质量由m0增加到m ,物体的动能 -m 2EK dEK c dm K 0Kmo 22、EK mc m0c(5-15)这就是相对论的动能表达式.容易证明，当 v c时，即当物体的速度远小于光速时，则 有1 E 2EK - mov2这就是经典力学中的动能表达式.(5-15)式可以写成为_22mc EK m°c(5-16)爱因斯坦把mc2称为物体的总能量，moc2称为物体的静止能量(简称静能).(5-16)式表明，物体的总能量等于物体的静能与动能