空间向量专题练习答案

1、空间向量专题练习、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1.平面a的法向量为(1, 0, -1),平面3的法向量为(0, -1, 1),则平面面3所成二面角的大小为【答案】?. 2? 一或一 33【解析】解：设平面a的法向量为? = (1, 0, -1),平面3的法向量为？(0,-11),1 x 0+0 x (-1)+(-1) XI 1?> = ZZ=-.v2?v22，2?. < 新?> 二 _，3平面a与平面3所成的角与V 软 ?相等或互补,. .? . 2?1' a与3所成的角为不或于.33 ?. 2?故答案为：3或可.利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出.本题

2、考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题.2.平面a经过三点 A (-1 , 0, 1), B (1 , 1 , 2) , C (2, -1 , 0),则平面 a的法向量？可以是 (写出一个即可)【答案】(0, 1, -1)【解析】解：?(2, 1 , 1), ?=? (3, -1 , -1),设平面a的法向量？= (x, y, z),?=?2?+ ?+?= 0,则，令 z=-1 , y=1 , x=0 .?= 3? ? ?= 0?= (0, 1, -1).故答案为：(0, 1,-1).0,解出即可.0?:?2?+ ?+ ?=设平面a的法向量？= (x, y, z),

3、则 f?= 3?- ? ?=本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题.3 .已知？?？(1, 0, 2), ? (2, 1, 1),则平面 ABC 的一个法向量为 : 【答案】(-2, 3, 1)【解析】解：?(1, 0, 2), ?=? (2, 1 , 1),贝 U ?=? 0?= 0设平面ABC的法向量为？? (x, y, z),一?+ 2?= 0，即“="2 a 取 x=-2 ,则 z=1 , y=3 . 2?+ ?+ ? = 0. . ?= (-2, 3, 1).故答案为：(-2, 3, 1).设平面ABC的法向量为? (x, y, z),则?=? 0,解出

4、即可.? 0本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题.4 .在三角形 ABC 中，A (1, -2, -1), B (0, -3, 1), C (2,-2, 1),若向量？芍平面ABC垂直，且|?= 百,则？酌坐标为 ;【答案】(2, -4, -1)或(-2, 4, 1)【解析】解：设平面ABC的法向量为? = (x, v, z),贝U 密？?？,且至?0 ,.?(-1, -1, 2),9(1, 0, 2),.-?- ?+ 2?= 0. T?+ 2?= 0，即?= -2?= 4?'令 z=1 ,贝U x=-2 , y=4 ,即密=(-2 , 4, 1),若向量？巧平面

5、ABC垂直，向量?室，设？=入雷=(-2入，4入，入)，1?1=国，v21 ?1 入 |= v21，即|入|二1 ,解得入=± 1 ,?的坐标为(2, -4, -1)或(-2, 4, 1),故答案为：(2, -4, -1)或(-2, 4, 1)根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论.本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本 题的关键.二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)B5.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为菱形, / BAD=60 ° , Q 为 AD 的中点.(1)若PA=PD,求证：平面 PQBL平

6、面 PAD;(2)点M在线段PC上，?= 1?若平面3PAD,平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2 ,求二面角 M- BQ-C的大小.【答案】解：(1)证明：由题意知： PQXAD, BQXAD, PQA BQ=Q , .AD,平面 PQB,又 AD?平面PAD,平面 PQBL平面 PAD.(2) PA=PD=AD , Q 为 AD 的中点，PQ± AD, 平面 PAD,平面 ABCD,平面PADn平面 ABCD=AD , PQ,平面 ABCD,以Q这坐标原点，分别以 QA, QB, QP为x, v, z轴， 建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q (0, 0, 0), A

7、(1, 0, 0),P (0, 0,，B (0, v3, 0), C (-2, v3, 0)晒?= 2?3?( -2,京 ?),设?1是平面MBQ的一个法向量，则? ?= 0 ,留？?=0,.- 3?+-33?+233?=°' v3?= 0又丁鳖=(0, 0, 1)平面BQC的一个法向量,1 .cosv 鬻,扉 > =2, 二面角 M-BQ-C的大小是60° .【解析】(1)由题设条件推导出 PQ±AD, BQXAD,从而得到ADL平面PQB,由此能够证明 平面PQBL平面PAD.(2)以Q这坐标原点，分别以 QA, QB, QP为x, y, z轴，

8、建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出二面角 M-BQ-C的大小.本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注 意向量法的合理运用.6 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧 棱PDL底面 ABCD, PD=DC=2，点E是PC的中点，F 在直线PA上.?.(1)若EFLPA,求羲值；(2)求二面角 P-BD-E的大小.解：(1)二.在四棱锥 P-ABCD中，底 面ABCD是正方形，侧棱 PD，底面 ABCD,，以D为原点，DA为x轴，DC为y 轴，DP为z轴，建立空间直角坐标 系，PD=DC=2，点 E 是 PC 的中点，F 在直线PA上,P

9、 (0, 0, 2), A (2, 0, 0), C (0, 2, 0), E (0, 1, 1), 设 F (a, 0, c), ?= ?断?则 (a, 0, c-2)=入(2, 0, -2)= (2 入，0, -2 入)，a=2 入,c=2-2 入，F (2 入，0, 2-2 入)， ?炳(2 入，-1, 1-2 入)，？?？(2, 0,-2),1. . EFXPA,? ?=4 入-2+4 入=0 ,解得？?= 4,? 1,=一 ?4E (0, 1, 1),(2) P (0, 0, 2), B (2, 2, 0), D (0, 0, 0), ? (0, 0, 2), ? (2, 2, 0)

10、, ? (0, 1, 1),设平面BDP的法向量？ (x, y, z),？s?W?2 2?+ 2?= 0 b,口则 0,取 x=1 ,得? (1 , -1 , 0),?=? 2?= 0设平面BDE的法向量 索二(x, v, z),初?2 2?+ 2?= 0 H则 0,取 x=1 ,得室=(1 , -1, 1),蜜？豁？ ?+ ?± 0设二面角P-BD-E的大小为0 ,一，| ? 2 忘则c°s0 =而?而?r=T-'.二面角P-BD-E的大小为arccos笆.3【解析】(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出?升值.

11、(2)求出平面BDP的法向量和设平面 BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小.本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审 题，注意向量法的合理运用.7 .如图所示的几何体是由棱台ABC-A1 BiCi和棱车B D-AAiCiC拼接而成的组合体，其底面四 边形ABCD是边长为2的菱形，且 /BAD=60 ° , BB平面 ABCD,BBi=2A iBi=2 .(I)求证：平面 ABiC,平面BBiD;(n)求二面角 Ai-BD-Ci的余弦值.【答案】(I)证明：.BB平面 ABCD, BBiXAC,. ABCD 是菱形，BDXAC,又 BDAB

12、Bi=B, . AC,平面 BBiD, .AC?平面ABiC, .平面ABC平面 BBiD;(n)设BD、AC交于点O,以。为坐标原 点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图 所示空间直角坐标系.则？Q - i, 0) , ?(0, i, 0), ?(0,-_ _ 丁_ _3i -、，i , 2), ?(v3, 0,0), ?(2，-2，2)，2).2,2) , ?)?= (0 , '苕2,0), ?(-:由?=白仔 2?=?= 2?= 00，取 z=A/3,得？?= (-4 ,0,v3),设平面 DCF的法向量 索=(?,? ?)? ?= 2?= 0由 ? ? - %设二面角Ai-BD-Ci为i?+20,则?1?11?1i3i9设平面AiBD的法向量？?= (? ? ?)【解析】(I )由 BBi,平面 ABCD直的判定可得 AC,平面BBiD,BBiXAC,再由ABCD是菱形，