含参不等式的解法举例

1、含参不等式专题(淮阳中学)编写：孙宜俊当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式， 那么此 时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等 式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。 解参数不等式一直是高考所考查 的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下 四种情况：(1)二次项的系数；(2)判别式；(

2、3)不等号方向(4)根的大小。一、含参数的一元二次不等式的解法：1.二次项系数为常数(能分解因式先分解因式，不能得先考虑0)例1、解关于x的不等式x2 (a 1)x a 0。解：(x2 a)(x 1) 0令(x a)(x 1) 0 x a,x 1为方程的两个根(因为a与1的大小关系不知，所以要分类讨论)(1)当a 1时，不等式的解集为x|x 1或x a(2)当a 1时，不等式的解集为x|x a或x 1(3)当a 1时，不等式的解集为x|x 1综上所述：(1)当a 1时，不等式的解集为x|x 1或x a(2)当a 1时，不等式的解集为x|x a或x 1(3)当a 1时，不等式的解集为x|x 1变

3、题1、解不等式x2 (a 1)x a 0 ;2、解不等式 x2 (a2 a)x a3 0。小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题 2中2个根都有参数的要加强讨论例2、解关于x的不等式2x2 kx k 0分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别 式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解 k2 8k k(k 8)(1)当0,既k喊k 0日t方程2x2 kx k 0有两个不相等的实根。所以不等式2x2 kx k 0的解集是：k <k(k 8) k Jk(k 8)x x 44(2)当0即k8或k 0时，方程2x2 kx k 0有两个相等的实根，. c.k所以不等式2x2

4、kx k 0的解集是-,即2,0;4(3)当 0,即8 k 0时，方程2x2 kx k 0无实根所以不等式2x2 kx k 0的解集为 。说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要 注意数形结合研究问题。小结：讨论，即讨论方程根的情况。2.二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于0,然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑0)例3、解关于x的不等式：ax2 (a 1)x 1 0.解：若a 0,原不等式 x 1 0 x 1.11 .右a 0,原不等式(x )(x 1) 0 x 一或x 1.aaWord资料1右a 0,原不等式(x )(x 1) 0.a, 1一

5、，、一其解的情况应由，与1的大小关系决定，故 a(1)当a 1时，式()的解集为；一 一 ,、1(2)当 a 1 时，式()x 1 ；a一一 ,、1(3)当 0 a 1 时，式()1 x .a1综上所述，当a 0时，解集为xx 1或x 1; a当a 0时，解集为xx 1;1当0 a 1时，解集为x1 x -；a1当a 1时，解集为；当2 1时，解集为x x 1. a例4、解关于x的不等式：ax2 ax 1 0.解：ax2 ax 1 0.(D a 0时，()(2) a 0时，则此时两根为x1()1 0 x R.a24a0a 0或 a4,aa24aaa24a当a 0时， 0,()22a a 4a

6、a a 4a x 2a2a当 4 a 0时， 0,( ) x R;1当a 4时，0, ( ) x R且x - ；22当a 4时，0, () x =*4a或x2aa ., a2 4a2a综上,可知当a °时,解集为(ya'TP"当4 a 0时，解集为R;1 1当a 4时，解集为(，1)(1,)；2 2a a当m=3时，原不等式的斛集为 x| x 一； 当m>3时，原不等式的解集为小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解,也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值(如取 0、取正

7、值、取负值) 对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于x的不等式ax2 2(a 1)x 4 0, (a 0)思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集 具体解答请同学们自己完成。 4a aa2 4a当 a4 时，解集为(，)(,).2a2a例5、解关于的x不等式(m 1)x2 4x 1 0(m R)分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当 m+11时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类 讨论：当m< 1时，/ =4 (3m) >0,图象开口向下，与 x轴有两个不同 交点，不等式的解集取两边。

8、当一1<m<3时，=4 (3-m) >0,图象开口向 上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当m=3时，=4 (3-m) =0,图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程4x2 4x 1 0的 根。当m>3时，=4 (3-m) <0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式 的解集为 。解：当m1时，原不等式的解集为x|x -4当 m1 时,(m 1)x2 4x 1 0勺判别式=4(3 m);2 .3 mm 1则当m 1时，原不等式的解集为当1 m 3时，原不等式的解集为2.3 m或xm 1,2 .3 m 23 mx | x m 1m 1二、含参数的

9、分式不等式的解法：例1 :解关于x的不等式2ax 10x x 2分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax-1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于(ax 1)(x 2)(x 1) 0当a =0时，原不等式等价于(x 2)(x 1) 0解得1x2,此时原不等式得解集为x| 1x2;1当a>0时，原不等式等价于(x -)(x 2)( x 1) 0,a则：当a 1时，原不等式的解集为x|x1且x 2 ；2当0<a时，原不等式的解集为x|x 1或1 x 2 ;2a当a工时，原不等式的解集为 x| 1 x 1或x 2 ;2a1当a<0时，原不等式等

10、价于(x -)(x 2)( x 1) 0, a则当a 1时，原不等式的解集为x|x 2Mx1 ;当1 a 0时，原不等式的解集为x|x3或1 x 2 ;a当a 1时，原不等式的解集为x|x 1或1 x 2 ; a小结：本题在分类讨论中容易忽略 a=0的情况以及对1和2的大小a进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。解含参数不等式时，一要 考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。对任何分式不等式都是通过移Word资料项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0,再转化为乘积不等式来解决。牛刀小试：解关于x的不等式a(x " 1,(a 1)x 2思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数 a分两级讨论：先按a >1a 2 .和a<1分为两类，再在a<1的情况下，又要按两根 与2的大小关系分为a 1a 0,a 0和0 a 1三种情况。有很多同