行列式的性质

1、行列式的性质基本性质性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式。推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 j列的元素都是两数之和性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去,行列式不变。般利用行列式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性

2、质，为行列式的计算做准备aiia2iIIIania12a22kkan2lbaina2nannDTaiial2I IIaina2ia22bPa2nan2Ianilb称行列式DT为D的转置行列式.DT可以看成是D的元素沿着主对角线旋转i80所得,亦可看成是将 D的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）性质i. i行列式的值与其转置行列式的值相等，即aiia2iIain a2nani an2annaiiai2IIIainIIIanian2ipiann证明将等式两端的行列式分别记作D和DT ,对行列式的阶数用数学归纳法当n2时，可以直接计算出DDT成立，假设结论对小于 n阶的行列式都成

3、立，下面考虑n阶的情况.根据定义D aiiAi ai2A2 I”alnAin ,Da11 A|1a21A21Illan1 An1根据归纳假设aTa12a32an2Da11 A111 2a21由归纳假设，可以把上面在一起，其值恰好等于a12 Al22a21al2a13ana33an320122a12IIIannai2a22a42an2a12其中余子式a31a13Iannan1a23a43an3IIIa2na4nlbanna)2a)3ama22a23IIIan 12an 13an 1 n1阶行列式都按第1列展开，并将含a12的项合并IIIIIIan3anna233a31a12a4n01HIan3a

4、nn1na21a31ama23a2na33an3I" annT12a12a310ida43a4nM是M12的行、列互换后的行列式，他们都是an3annIIIa23an 13am0a2n IDan 1nn 1阶行列式，根据归纳假设1 21 M1 21 M12a12A2 ，M12 M12 .类似地，把含43的项合并后其值等于 43A13,1|,把含ain的项合并后其值等于 aAm 因此D DT .由该性质，行列式中关于行所具有的性质，关于列也同样具有.因而，下面关于行列式的性质将仅对行叙述.性质1.2对行列式（1.3）中的任一行按下式展开，其值相等，即等于行列式的值其中Ajaia2ian

5、i(i)ia)2aina22IIIannaiiAiiai2A2 ain An ,i i,2,|H，n) (i.4)j Mij , Mij为D中划掉第i行和第j列的全部元素后,按原顺序排成的n 1阶行列式aiiIIIaij iaiji IIIainMja iia ij iai i j iai inai iiai ij iai ij iai in并称Mj为元素ani I" anj ianj i111annaj的余子式，Aj为元素两的代数余子式.证明对行列式的阶数用数学归纳法当n 2时，可以直接计算出结论成立假设结论对小于n阶的行列式都成立，下面考虑n阶的情况.根据定义DaiiAiiai2

6、 A2 I" ain Ainaiia22a23a2na2ia23a2na2a3nai2a3ia33a3nan2an3IIIannanian3|lanna21a22a24a2na31a32a34a3nlb根据归纳假设Aj可以按照第i1行展开,式都按第i 1行展开，并将含i 2)2ai2a21a33IIIan3Hl1 naina2ian22a21ai20a33Ia12a13a32Ia33Ia21an2an32 11 M21类似地，把含 a22a2nA2n ,因此，DaiiAnan4anna21a22a2n 1aina31国1a32a3n 1an2 10ann 1于是由归纳假设,把上面n个

7、n 1阶行列aii的项合并在一起，其值恰好等于aiAi,事实上（不妨取a3nanna32IIIan2 HIIIIIII1 3a13a21an4ana3nIanna21A21,的项合并后其值等于ai2A2 I" ain Ain性质1.5 行列式两行相同值为零，即a32a3401a3nan2an4HIannIIIa34a3nannIIIa32ta3n 19ain0a22A22JM ,把含an2IIIann 1a2 n的项合并后其值等于a21A21a22 A22 I0a2nA2n.a1nIII aknIII alnHl ann(1 k l n)证明 利用数学归纳法，对于二阶行列式,(1.7

8、)式显然成立all a12Hl blak1 ak2Hl blall al 2Hl blanl an2(1.7)其中 akiaii (i 1,2,U|, n).= i + 伽 一1)土3 k1假设(1.7 )式对于n 1阶行列式成立，即如果 n 1阶行列式两行相同，则值为零在n阶的情况下，对行列式D按第j行展开(j k,l ),aj1Aj1aj2 Aj2|ajnAjn .由于Aji( 1)i jMji ( i 1,2,|n),且Mji为n 1阶行列式且两行相同，因此Aji0.所以，D 0.例.计算匚 解：由于该行列式的所有列加到一起得同一个数a+(n-1)x,我们就根据这一特点，用行列式的性质6,将