数学竞赛典型题目

1、数学竞赛典型题目(一)1.(2004美国数学竞赛)设ai,a2,，an是整数列，并且他们的最大公因子是1.令 S是一一个整数集，具有性质：(1) ai wS(i =1,2,，n)(2) ai -aj wS(i,jw1,2,，n),其中 i,j 可以相同(3) 对于 x, ywS,若 x + ywS,则 x ywS证明：S为全体整数的集合。2. (2004美国数学竞赛)a,b,c是正实数，证明：5252523(a -a3)(b -b 3)(c -c3) _(a b c)3. (2004加拿大数学竞赛)T为2004100的所有正约数的集合，求集合 T的子集S中的最大可能的元素个数。其中 S中没有两

2、个元素，一个是另一个的倍数。4. (2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数n满足下列条件：(1) n的二进制表达式中恰好有 2004个1和2004个0;(2) 2004能整除n.5. (2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为0.ae2的实数x满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，akak书ak电003(1 k E2004), 证明：x是有理数。6. (2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集 S,满足：如果m,n w S ,则口上w S(m, n)7. (2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S为通过 任何两点的直线的集合。证

3、明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当 S中有奇数条直线分离这两点。8. (2004亚太地区数学竞赛)证明：.|2二1!N*)是 偶数。_nn9. (2004亚太地区数学竞赛)x,y,z是正实数，证明：(x2 2)(y2 2)(z2 2) _9(xy yz zx)10. (2003 越南数学竞赛)函数 f 满足 f (cot x) = cos2x+sin 2x(0 < x c n),令g(x) = f (x)f (1 -x)( -1 <x<1),求 g(x)在区间1,1的上最值。11. .(2003 越 南 数 学 竞 赛)定 义p(x) =4x3 -2x2 -15x

4、+9,q(x) =12x3 +6x2 -7x +1 ,证明：(1)每个多项式都有三个不同的实根；(2)令A为p(x)的最大实根，B为q(x)的最大实根，证明：A2+3B2=412. (2003越南数学竞赛)令F为所有满足f : r+t R+且f (3x)之f f (2x) +x对任意xWR+成立的函数f的集合。求最大实数A使得f(x)之Ax对所有f亡F,xw R帝B成立。13. (2003美国数学竞赛)证明：对于每个 n,我们可以找到一个n位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被5n整除。14. (2003美国数学竞赛)一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数， 连接所有的对角线将多边形分成若

5、干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。15. (2003巴尔干数学竞赛)一个矩形 ABCD勺边AB =m,AD =n,其中m,n是互质的奇数。矩形被分成了 mn个单位正方形，对角线 AC交单位正方形于点nACAi = A, A2, A3, , An C ,证明：A1A2 - A2A3 + A3A4 III + (_1) An 二An =mn16. (2002美国数学竞赛)S为含有2002个元素的集合，并且P是S所有子集的集合，证明：对于任意n(0WnWP),我们可以将P的n个元素染成白色，其余染成黑色，使得P的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。17. (2002美国数学竞赛

6、)求所有定义在实数集上的实值函数满足：22f (x - y ) =xf (x)-yf (y)对于任忠头数x,y成立。18. (2001美国数学竞赛)非负实数x,y,z满足x2+y2+z2+xyz = 4,证明：xyz < xy yz zx 三 xyz 219. （2002巴尔干数学竞赛）数列an: ai =20,a2 =30, an平=3an -an，求所有n使5anan中+1是完全平方数。20. （2002巴尔干数学竞赛）N为正整数的集合，求所有 f:NT N使得 f （f（n） f （n） =2n 2001 或 2n 200221. （2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数

7、的长方体，使其满足 每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。22. （2001巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且5个角相等, 证明：它是正五边形。23. . （ 200 1巴尔干 数学 竞赛）正实数a,b, c满足abc Ea+b+c,证明：222 ,La b c _、. 3abc24. （2001加拿大数学竞赛） Ao,A,A2位于半径为1的圆上，并且 A1A2不是 直径，点列An定义如下：An是AAnJn/An的外心，证明：儿出5,%,人3 共线，并求所有的A,A2使得A1A1001是一个整数的5 0次幕。A1001 A200125. . （ 2002年越

8、南数学竞赛）n为正整数，证明：方程 1111,+ + += 一有唯一的解 xn A1 ,且 nT g 时 xn T 4x -1 2 x -1 n x-1226. （2001年越南）对于实数 a,b定义如下数列：x。, x2，.由x0 = a ,xn+ =xn +bsin xn 确定（1）若b=1.证明：对于任何a,数列有极限；（2）若b >2.证明：对于某些a,数列没有极限.27. . （ 2000年越南）定义一个正实数序列：x0,x1,x2f1 . x0 =b , xn十7c -7czMT.求所有实数c,使得对所有bW（Qc）,数列存在极限.28. （2002 波兰数学竞赛）k 是正整

9、数，数列an：a1 =k+1,an+=an2 - kan+k, 证明：数列中的任两项互质。29. （2001 波兰数学竞赛）数列xn : x1 = a, x2 = b,xnH2 = xn¥ + xn , 一个数 c 如果在数列中出现的次数超过1次，就称它是“重复的"，证明：我们可以选择a,b 使数列中有超过2 0 0 0个重复值，但没有无穷多个重复值。30. （2001波兰数学竞赛）a,b都是整数，使得2na+b对所有非负整数n都是 完全平方数，证明：a = 031. （2001波兰数学竞赛）数列an定义如下：ai和a2为素数，a0为am+an/ +2000的最大素因子。证

10、明：数列an有界.32. . （ 2001波兰数学竞赛）p（x）是一个多项式，次数为奇次，满足p（x2 -1） = p2（x） -1 对所有 x成立。证明：p（x） = x33. （1978年国际数学竞赛）将集合 S =1,2,3，,1978分成六个不同的集合Ai（i =1,2,3,4,5,6）,即 S = A1 = A2U" = A6 且 A c Aj =0 ,求证：在某个 Ai 中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的2倍。34. （1999年国际数学竞赛）设n是一个固定的正偶数.考虑一块n黑n的正方板，它被分成n2个单位正方格.板上两个不同的正方格，如果有一条

11、公共边，就称它们为相邻的.将板上N个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻.确定N的最小值.35. 一个9 M 9方格能否被15个2 M 2方格和6个L型方格（由3个小方格组成） 和3个单位方格覆盖？36. 已知边长为n的正方形及其内部的（n+1）2个点，其中无3点共线，证明：1必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积不大于 -o237. 已知x是循环节为p的纯循环小数，y是无限小数，其小数点后的第n位 与数x小数点后的第nn位的数字相同，问：y是否是有理数?38. 求所有的正整数a,b使得ab2+b+1,ba2 +a+139.

12、Xn : Xo =1,Xi =3,Xn4 =6Xn -Xn，证明：除第一项外，Xn中无完全平 方数。40. f(X)=aX2 +bX+c是实系数多项式，且对于任何整数Xo, f(Xo)是完全平方数，证明：f (X) =(eX+d)2,其中e,d是整数。41. 能否找到含有1990个正整数的集合S ,使(1) S中任意两个数互质；(2) S中任意k(k22)个数的和是合数。42. (1998年越南数学竞赛)是否存在a(0<1),使得有一个无穷的正数列anN两足：1 十an由 Wan 十一an, (n =1,2,).n43. 一个整数有限序列ao,a1,，an称为一个二次序列，如果对于每个一

13、，-2i Y12 ,n, ai -a» =i ;(1)证明：对于任何两个整数 b,c,都存在一个正整数n和一个二次序列使a0 = b, an = c ；(2)求满足下列条件的最小正整数n ,使a0 =0,an =199644. x, y, z是正实数，求证:(Xy yz zx)(1(x y)21197272) -(y z) (z x) 445. 用16个1父3矩形和一个 俨1正方形拼成一个7M7正方形，求证：1父1正 方形要么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。46. 环形公路上有n个加油站，每个加油站有汽油若干桶，n个站的总存油量 够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从该站起，

14、汽车逆时针行驶(每到 一站装上所有汽油)可回到原站。47.正实数a,b,c满足abc = 1 ,求证:a3(b c)-b (c a)-c (a b)21 ra(c -b) 一4 c bb(c - a)2c ac(b - a)2b a48. xi R、i =1,2,，n),证明:X1x11 x121 x12 xf+HI +xn1 - x2 - lir x2149数列3 : a1=万自12下义一，证明:an -an 1 50.求方程x!+y!= xy的正整数解51 .求所有三次多项式p(x)使得对任意的非负实数x, y有P(x y) - p(x) p(y)52 . S =x2 +2y2 | x,

15、y w z,对于整数 a ,若 3a w S ,证明：a S53 . xn :% =1,xn书=3xn +xnY5已知 x = 5-= 26/ = 136/ = 712 ,求 x200754 .(波兰)数列a。由a。=-1,an +况+曳+ 旦 =0(n之1)确定，证明:2 n n 1an 0( n 0)55 .非负实数 x, y,z满足 x2 +y2 +z2 =1 ,证明：1W+ mV2 1 yz 1 zx 1 xy56 .圆周上有7个点，将他们两两连线，求这些直线在圆内部交点个数的最小 值。57 .是否存在一个能被103整除的正整数n ,满足2n七三2(mod n)58正实数 x, y,

16、z 满足 xy + yz + zx = x + y + z,1111-22 ' -22 ' -2x y 1 y z 1 z x 159 . (2009塞尔维亚数学竞赛)求能被20。9整除且数字和是2009的最小的正 整数。60 .对2007 M 2007方格染色，使得任意2父2方格中最多有2个方格被染色， 问：最多可以将多少个方格染色？61 .空间中有9个点，其中任意4点不共面。在这9个点间连接若干条线段， 但图中不存在四面体，问：图中三角形最多多少个？62 . (2009加拿大数学竞赛)由一个纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再 分成200个相等的扇形，且每个圆的个扇形涂成白

17、色的，另个扇形涂成 黑色的。将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合。求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有1。个扇形位于大圆的同色扇形上。63 . (2009年印度尼西亚数学竞赛)n是大于1的奇数，证明：8n+ 4|C：64 . ( 2009年英国数学竞赛)求定义在实数集上的函数使一 3 一 3一 22f(x ) f(y ) =(x y)(f(x ) - f(xy) f(y )65 . (2009年英国数学竞赛)将不大于2 5 0 0的正整数写成二进制，其中以1开头的数字用所表示的整数的不同个数记为b(n),求证：nM 2500时,b(n)<39,并确定取等条

18、件。66 . 一个圆桌周围有n个位置，第一个人任意坐下，第二个人从第一个人逆时 针开始数2个位置坐下，即第二个人坐在第一个人旁边，第k十1人从第k个人 逆时针开始数k十1个位置坐下。如果按照这种坐法，n个人恰好坐满n个位置， 求n得所有可能值。67 . (2009加拿大数学竞赛)已知3口47”为完全平方数，求所有的有序整数 对回她68 .求所有的质数p,q使pq |(5P+5q)69 .求所有的质数 p,q使 pq|(5P -2P)(5q -2q)70 .数列an : a1 =k,a2 =5k 2,ant=3an+ -2an ,其中 k是常数。(1)求所有k使数列收敛;(2)若 k=1,求证：

19、%也=a2，-8anan书 1+an +an中 _71 .数列 yn: yi = y2 =1, yn* =(4k 5)yn书yn +4 - 2k ,求所有的正整数 k , 使得数列中的每一项都是完全平方数。72 .求证：数列a。=:2】中有无穷多个完全平方数。73 . an = ' (n -1)2 n2 '(1)证明：存在无穷多个m使彳4 am书-am >1;(2)证明：存在无穷多个m使彳4 am书-am=1。74 .( 2006 全国高中数学联赛)设f(x) = x2+a,记f 1(x) = f(x), f n(x) = f(f n,(x), n =2,3，M =aw

20、R| f n(0) <2,Vne N*1证明：M =-2,-4175 .实数列an(n=0,1,2-)潴足 an* 工 a2 + (n=0,1,2 ),证明: 届151a2 576 . P为边长为1的正四面体内一点，证明：P到各个顶点的距离和至多为 3。77. x > y >1 ,证明:X+ y+/_ ；. ：y_+tx_ ：；一x y y 1. 1 x x y x 1 y 178. xa R节=1,2,，n)是否一定有*2 x2x3 . xnan x。X. x1 x2xnx3x4x1x279. 证明：a5n +an +1(a,n N*)是合数。80. f1 = f2 =1,

21、 fn = fn4+ fn4(n >2),若正整数 a,b满足min-,-1 < a < maX -,-, 证明： b 2 fn由fn4 fn bfn/ fn,证明：对于给81 .把一个实数用与它相岭的两个整数之一代替称为“整化” 定的n个实数，存在一种整化方式，使得这些数中任意若干个数的和与这些数 整化后对应的和之差不大于收1。482. （1997美国数学竞赛）求证：存在无穷多个正整数n ,使得n19+n99可以用两种不同的方式表示为两个平方数的和。83. （1996年保加利亚）数列an：4=1 , 2口书=包+口，（n =1,2,）证明： n ann 之4时，a2 =n.

22、84. 在正三角形三个顶点上各放置一个整数使得： 三个数的和是整数，若某个 顶点上的数x < 0,三个顶点上的数x, y, z相应变换为-x,y + x, z + x,只要有 负数，操作就一直进行下去。问：操作能否在有限步之后停止？85. （2003年德国数学竞赛）数列an： a1=1,1a2 =1e3 =2,an 书(an+an -2 7)，证明：an TH 正正效.an86. （2004年克罗地亚数学竞赛）求使数列：cos。，cos2久，cos22a,，cos2 nB 每一项均为负数的所有实数：87. （2003瑞典数学竞赛）求所有实数x满足方程x2-2*】+2k='288.

23、 . （ 2004俄罗斯数学竞赛）求所有的正整数n使得不等式 s i nA+s i nB +s i nC <0对于任何锐角三角形的三个内角 A, B,C都成立。89. . （ 2004台湾数学竞赛）正实数a,b,c满足abc至29 ,证明：1 o. 1 _ 31a 1b 1 c 1 3 abc90 . （2003克罗地亚数学竞赛）对于大于2的整数n ,证明：（仔1）：下二1 _ 4n - 2 . IL 4191 .数列an（n=0,1,2）潴足 am+ +am. =1 （a2m +a2n）（m,n = 0,1,2），若2a1 =1 ,求 a200392 .数列an定义如下：a1=2, a

24、n书=2a2-1.证明：对所有n有（n,an）=1.93 .求整数c,使2007ECM2007.且存在xw N ,使x1 99 . （ 2002 年芬兰数学克赛）xn：x1 =- ,xn +=x2 +xn ,令 + c是2 2007整数倍.94 . （2003年德国竞赛）证明：存在无穷多个正整数a,b使22（1） a|b -5, （2） b|a -5, （3） （a,b）=1.95.已知射线y =（4+屈）x（x至0）.现将该射线绕O点逆时针转动a角，形成一个区域D ,试证：无论久多么小，区域D中总存在无穷多个格点（m,n）满足：（1） 1 +6mn与1 +10mn均为完全平方数；（2） n

25、| m2 -1 , m | n2 -1 .96. （2003保加利亚数学竞赛）求实数a,使得等式4 Bn】=n + 6 Ian 口对于任意 的正整数n成立。97. （2002芬兰数学竞赛）设n是大于2的整数，a0是最大的n位数，满足其 既不是两个数的平方和也不是两个数的平方差。（D 求 an；（2）求n的最小值，使a。的各位数字的平方和是一个完全平方数。98. 设a,b,c是一个三角形的三边长，且a+b+c = 1,若n2,证明：1 | 1 n1 on.an bn -n-.bn -cn - - an < 1 2S = Xi1 X21X20021，求Si100.设正数 a,b,c, x,

26、y, z满足 cy +bz =a,az +cx = b,bx + ay = c ,求 求 函 数222f (x, y, z) = y +的最/、值.1 x 1 y 1 - z1n -1a11n -1 a2n -1 an101 .正实数 ai(i =1,2,3，n)满足：a1a2a3an =1,证明:102 . a,b,c是正实数，证明：a'3c +一竺8c 的最小值.a 2b c a b 2c a b 3c103.S是至少有4个元素的实数集，对任意x, ywS（x#y）,有S,求证: x- y对于所有这样的集合S,存在xS使2001 cx <2002104 .在 AABC 中，求

27、 f =sin A+sin B +5sinC 的最大值105 .已知正整数a,b,x,y满足ax+by是a2 +b2的倍数，若p = x2 +y2是质数，证明：pa2 +b22.22106 .正实数 a,b,c满足 a + b +c =1,证明：+一 + > 3（a2 +b2 +c2） bca107 .在一个m Mn的方格表中填上互不相等的 mn个数，并且把每列数值交大的前a（三m）个数作上标记，在把每行数值交大的前b（W n）个数作上标记，证明：至少有ab个数作了两次标记.108 .在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字 '则称它“好 数码”（如3887, 243S086等），则长度不超过整为正整数）的所有“好数 码”有多少个？109 .（2008罗马尼亚数学竞赛）存在无穷个71使也“+”川，存在无穷多个区使1不能整除川.110 .设n之4是一个给定的正整数，S=P1,P2,，Pn是平面上的n个点，无三 点共线，无四点共圆，设出是使APi Pj Pk的外接圆包含Pt的APjPjPk的个数，记 m(s) =a +a2 +an,证明：存在一个仅依赖