中值定理及导数的应用(一)

1、(一一)(xfy若函数若函数满足条件：满足条件：1、在、在, ba上连续；上连续；2、在、在),( ba内可导；内可导；3、)()(bfaf0)(f则在区间则在区间),( ba内至少内至少存在一点存在一点使得使得函数曲线函数曲线 上至少存在一点使得上至少存在一点使得)(xfy过该点的切线平行过该点的切线平行 轴轴x0 xy12ab 它是拉格朗日定理的特殊情形，它是拉格朗日定理的特殊情形，也是证明拉格朗日定理和柯西定理也是证明拉格朗日定理和柯西定理的依据。应明确定理的条件和结论的依据。应明确定理的条件和结论)(xfy若函数若函数满足条件：满足条件：1、在、在, ba上连续；上连续；2、在、在),

2、( ba内可导；内可导；则在区间则在区间),( ba内至少内至少存在一点存在一点使得使得)()()(abfafbf函数曲线函数曲线 上至少存在一点使得上至少存在一点使得)(xfy过该点的切线平行于过该点的切线平行于)(,),(,bfbbafaa两点弦两点弦)(,bfbb0 xy12ab)(,afaa拉格朗日定理有以下两个重要推论：拉格朗日定理有以下两个重要推论：如果函数如果函数)(xfy在区间在区间),(ba内任一内任一)(xf点的导数点的导数都等于零，则都等于零，则)(xf在区间在区间),(ba内是一个常数。内是一个常数。设函数设函数和和),( ba)(xg在在内可导，且内可导，且)(xf它

3、们的导数处处它们的导数处处),()(xgxf相等，即相等，即则则和和)(xg相差一个常数，即相差一个常数，即)(xfcxgxf)()(对于两个定理中的对于两个定理中的 ，只知道其存在，只知道其存在性，除了简单的函数外，一般情况下性，除了简单的函数外，一般情况下不易求得不易求得 ，也无此必要，也无此必要下列函数中，在区间下列函数中，在区间 满足罗尔满足罗尔xya1、中值定理条件的是中值定理条件的是 xyb、21 xyc、1xyd、 1 , 1应选应选c,)(xxf已知函数已知函数拉格朗日公式，求出拉格朗日公式，求出 的值的值在区间在区间 上写出上写出4 , 1 ) 1 (f由于由于, 12)4(

4、f)(xf,21x所以拉格朗日公式为所以拉格朗日公式为21141231如果如果和和)(xg)(xf, ba在在上连续，上连续，),( ba在在内可导，而且在内可导，而且在),( ba内内, 0)( xg则在区间则在区间),( ba内至少存在一点内至少存在一点,使得使得)()()()()()(gfagbgafbf即即23) 4 , 1 (,49 使用洛比塔法则求极限应注意：使用洛比塔法则求极限应注意：1、可连续使用；、可连续使用；2、每次使用都必须检查是否为、每次使用都必须检查是否为00型或型或. 3、洛比塔法则失效时并不说明极限、洛比塔法则失效时并不说明极限不存在，这时需要别的方法求极限。不存

5、在，这时需要别的方法求极限。设函数设函数 在区间在区间 内可导内可导 )(xf),( ba1、若在、若在),( ba内内, 0)( xf则函数则函数)(xf在在),( ba内是单调增加的。内是单调增加的。2、若在、若在),( ba内内, 0)( xf则函数则函数)(xf在在),( ba内是单调减少的。内是单调减少的。 1、确定函数、确定函数)(xf的定义域的定义域fd 2、求导数、求导数).(xf令令, 0)( xf在定义在定义不存在的点。不存在的点。fd内求导数为零的点和导数内求导数为零的点和导数域域 3、列表讨论、列表讨论用上面的点把定义域用上面的点把定义域fd分成若分成若干个区间，判断干

6、个区间，判断)(xf在每个区在每个区间内的符号，确定间内的符号，确定)(xf在每个区间在每个区间内的增减性。内的增减性。 4、写出、写出)(xf的单调区间。的单调区间。 列表如下：列表如下：)(xf)(xfxx行行区间区间)(xf行行“+”号或号或“-”号号)(xf行行xxyarctan函数函数在在 内是内是( ),(a、单调增加、单调增加b、单调减少、单调减少c、不单调、不单调d、不连续、不连续)arctan(xxy2111x221xx0y单调增加单调增加 ， 应选应选axxy4函数函数单调减少区间是单调减少区间是( ), 2(),2,(a、d、)2 , 0)(0 , 2(b、)2,2(c、

7、), 0(),0 ,(xxy4的定义域是的定义域是), 0() 0 ,(,412xy令令, 0 y得得2x)(xf)(xfx列表列表)2,()0 , 2()2 , 0(), 2( xxy4故函数故函数 的单调区间是的单调区间是)2 , 0(),0 , 2(应选应选d 用函数的单调性证明不等式是一种用函数的单调性证明不等式是一种假设证明假设证明)()(dxxgxf成立。成立。1、设、设)()()(xgxfxf 2、求导数、求导数)(xf并根据已知条件并根据已知条件)(xf的正负。的正负。判断判断从而判断从而判断)(xf的增减性。的增减性。常用的方法。常用的方法。 3、根据已知条件及、根据已知条件

8、及)(xf的增减的增减 4、写出结论、写出结论0)(xf性得到性得到例例3331arctanxxx证明当证明当 时，时， 0 x证明：证明：)31(arctan)(3xxxxf令令 )(xf则则211x)1 (2x)(xf在在), 0(内是单调增函数。内是单调增函数。241xx0) 0( f而而)31(arctan)(3xxxxf00arctan 00 x)(xf) 0(f0即即0)31(arctan3xxx331arctanxxx证明下列不等式证明下列不等式)0( ,1)1ln(1xxxx、) 0( ,1)1ln(1222xxxxx、提示：提示：xxxxf1)1ln()(1、令、令2)1 (

9、)(xxxf00) 0(f) 0( x221)1ln(1)(xxxxxf2、令、令)11 (1)1ln()(222xxxxxxxxf21 xx22211)1ln(xxxxxx)1ln(2xx00) 0(f) 0( x设函数设函数)(xfy在点在点0 x的某个邻域的某个邻域1、若对于该邻域内任意的、若对于该邻域内任意的)(0 xxx总有总有).()(0 xfxf则称则称)(0 xf为函数为函数的极大值，并称点的极大值，并称点 是是)(xf0 x)(xf的极大值点的极大值点内有定义内有定义2、若对于该邻域内任意的、若对于该邻域内任意的)(0 xxx总有总有).()(0 xfxf则称则称)(0 xf

10、为函数为函数的极小值，并称点的极小值，并称点 是是)(xf0 x)(xf的极小值点的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点。称为函数的极值点。若若)(xf在点在点0 x处取得极值且在点处取得极值且在点0 x处可导，则处可导，则0)(0 xf1、这个定理的两个条件缺一不可、这个定理的两个条件缺一不可在在 处有极小值处有极小值0，如：如：xy 0 x但在但在 处处 不可导不可导0 xy在在 处可导，处可导，3xy 0 x但在但在 处处0 x有无极值有无极值2、使导数为零的点、使导数为零的点0)(

11、 xf(即方程即方程的实根的实根)，)(xf的驻点。的驻点。叫做函数叫做函数若若 在点在点 处取得极值且在点处取得极值且在点)(xf0 x0 x的某个邻域的某个邻域 内连续内连续且且) 0)(,(00 xx)(0 xf可导可导(允许允许 不存在不存在)1、若当、若当),(00 xxx时，时，, 0)( xf),(00 xxx时，时， 则函数则函数, 0)( xf)(xf0 x在点在点 处取得极大值处取得极大值);(0 xf2、若当、若当),(00 xxx时，时，, 0)( xf),(00 xxx时，时， 则函数则函数, 0)( xf)(xf0 x在点在点 处取得极小值处取得极小值);(0 xf

12、3、若当、若当 和和),(00 xxx),(00 xxx在点在点 处不取得极值处不取得极值0 x时，时， 的符号相同，则函数的符号相同，则函数)(xf)(xf设函数设函数 在点在点 处有二阶导数，处有二阶导数，)(xf0 x且且 存在存在, 0)(0 xf)(0 xf 1、若、若 则函数则函数 在点在点, 0)(0 xf)(xf0 x处取得极大值处取得极大值2、若、若 则函数则函数 在点在点, 0)(0 xf)(xf0 x处取得极小值处取得极小值3、若、若 不能判断不能判断 是否是否, 0)(0 xf)(0 xf有极值有极值 1、确定函数、确定函数)(xf的定义域，并求其的定义域，并求其)(x

13、f导数导数令令 求出求出 的所有驻点和不的所有驻点和不0)( xf)(xf可导点可导点), 2 , 1( ,ixi则利用极值的第一充分条件判定。则利用极值的第一充分条件判定。 2、若、若 在在 的的(去心去心)邻域内可导邻域内可导)(xfyix3、若函数的二阶导数、若函数的二阶导数 容易求，容易求，)(xf 即当即当 在在 的两侧异号时，的两侧异号时， 为为)(xfix)(ixf极值，极值， 为极值点；为极值点；ix若若 在在 的两的两)(xfix侧同号时，侧同号时， 为极值，为极值， 为极值点为极值点ix)(ixf且且 存在则利用极值的第二充分存在则利用极值的第二充分)(xf 条件来判定条件

14、来判定 是否为极值点。是否为极值点。ix若若 则则 为极小值，为极小值，, 0)( ixf)(ixfix为极大值，为极大值， 为极大值点；若为极大值点；若ix, 0)(ixf极值第二充分条件不能极值第二充分条件不能为极小值点；若为极小值点；若 则则, 0)(ixf)(ixf判断判断 是否为极值点，此时仍应是否为极值点，此时仍应ix改用极值的第一充分条件来判断改用极值的第一充分条件来判断131232)(23xxxxf求：函数求：函数的极大值和极小值的极大值和极小值 )(xf131232)(23xxxxf12662 xx) 2( 62xx令令, 0) 2( 6)(2xxxf解得：解得：2, 1xx

15、)(xf)(xfx列表如下：列表如下：) 1,(1)2 , 1(2), 2( 0极大值极大值20) 1(f0极小值极小值9) 2(f从表中可知：从表中可知：极大值为：极大值为：,20) 1(f极小值为：极小值为：9)2(f131232)(23xxxxf )(xf12662 xx )(xf612 x令令, 0) 2( 6)(2xxxf解得：解得：2, 1xx612)( xxf ) 1(f018为极大值为极大值20) 1( f ) 2(f018为极小值为极小值9)2( f函数函数 在在 处的一阶导数处的一阶导数)(xf0 x, 0)(0 xf二阶导数二阶导数, 0)(0 xf则则 是是 的极的极

16、值值 )(0 xf)(xf以下结论正确的是以下结论正确的是a、函数、函数 的导数不存在的点，一的导数不存在的点，一)(xf)(xf定不是定不是 的极值点的极值点b、若、若 为函数为函数 的驻点，则的驻点，则 必必0 x)(xf0 x 的极值点的极值点)(xfc、若函数、若函数 在点在点 处有极值，且处有极值，且)(xf0 x存在，则必有存在，则必有)(0 xf0)(0 xfd、若函数、若函数 在点在点 连续，则连续，则)(xf0 x)(0 xf一定存在一定存在 设函数设函数)(xfy在闭区间在闭区间 上有定上有定, ba义，设义，设 若对于任意若对于任意,0bax , bax恒有恒有 或或 ，

17、则称，则称)()(0 xfxf)(0 xf)()(0 xfxf为函数为函数 在闭区间在闭区间 上的最大上的最大(小小)(xf, ba值。称值。称 为为 在闭区间在闭区间 上的最上的最0 x)(xf, ba大大(小小)值点值点极值是一个局部的概念。极值是一个局部的概念。 它指函数它指函数在小范围内的最大值或最小值。在小范围内的最大值或最小值。最值是一个全局的概念。最值是一个全局的概念。 它是整个它是整个定义区间上函数值中最大者或最小者定义区间上函数值中最大者或最小者 最大值和最小值是函数在定义区最大值和最小值是函数在定义区 间上所有极大值和极小值与端点函数间上所有极大值和极小值与端点函数 值比较

18、后所取的最大值和最小值。值比较后所取的最大值和最小值。 1、求函数的驻点和导数不存在点、求函数的驻点和导数不存在点2、算出驻点、导数不存在点和区间、算出驻点、导数不存在点和区间端点的函数值端点的函数值3、比较上述函数值，其中最大、比较上述函数值，其中最大(最小最小)者就是函数者就是函数在在)(xf,ba上的最大上的最大(最小最小)值。值。在在 上的上的2 , 2a. 极小值点，但不是最小值点极小值点，但不是最小值点 设函数设函数 则则 是是 ,31)(3xxxf1x)(xfb. 极小值点，也是最小值点极小值点，也是最小值点 c. 极大值点，但不是最大值点极大值点，但不是最大值点 d. 极大值点

19、，也是最大值点极大值点，也是最大值点 故故 是极小值点是极小值点1xxxxf331)(,2)(xxf 1)(2xxf令令 , 0)( xf1, 121xx得驻点得驻点 , 02) 1 ( f,32)2(f,32)2(f,32) 1(f32) 1 (f1x也是最小值点也是最小值点应选应选b设函数设函数)(xfy在区间在区间),( ba内可导内可导(即即曲线曲线)(xf在每点处的切线存在且切线在每点处的切线存在且切线每一点处的切线都位于该曲线的下方每一点处的切线都位于该曲线的下方不垂直于不垂直于x轴轴)，如果曲线，如果曲线)(xfy上每上每(或上方或上方)，则曲线，则曲线)(xfy在区间在区间),

20、( ba内是内是凹凹(或凸或凸)的的.xy0)(xfy)(a在在),( ba内是凹的内是凹的)(xfyxy0)(xfyab)(b在在),( ba内是凸的内是凸的)(xfyba设函数设函数)(xfy在区间在区间),(ba内二阶导数内二阶导数存在，存在，在区间在区间),(ba内是凹的；内是凹的；，则曲线，则曲线)(xfy),(ba内内0)( xf若在若在在区间在区间),(ba内是凸的；内是凸的；，则曲线，则曲线)(xfy),(ba内内0)( xf若在若在一般地，一般地，“”表示曲线是凸的；表示曲线是凸的；“”表示曲线是凹的。表示曲线是凹的。 1、确定函数、确定函数)(xf的定义域的定义域fd2、求

21、导数、求导数)(xf 令令, 0)( xf在定义域在定义域fd内求导数内求导数为零的点和导数不为零的点和导数不存在的点存在的点)(xf)(xf x3、列表讨论、列表讨论4、写出、写出)(xf的凹凸性。的凹凸性。设设 则在区则在区 , 0)(, 0)(, xfxfbxa间间 内曲线弧内曲线弧 的图形（的图形（ ）),(ba)(xfy沿沿 轴正向下降且是凹的轴正向下降且是凹的 (a)、x沿沿 轴正向下降且是凸的轴正向下降且是凸的 (b)、x沿沿 轴正向上升且是凹的轴正向上升且是凹的 (c)、x沿沿 轴正向上升且是凸的轴正向上升且是凸的 (d)、x, 0)( xf)(xf是沿是沿 轴下降的轴下降的x

22、又又0)( xf曲线曲线 是凸的是凸的 )(xf应选应选b若曲线若曲线)(xfy上有这样的点上有这样的点)(,(00 xfx使得曲线在此点的一边为凹，而在另使得曲线在此点的一边为凹，而在另拐点。拐点。一边为凸，则称点一边为凸，则称点)(,(00 xfx为曲线的为曲线的1、确定曲线的定义域、确定曲线的定义域d，及二阶，及二阶2、在、在d内，求二阶导数为零的点内，求二阶导数为零的点)(xf 导数导数, 0)( xf(令令解这个方程在区间解这个方程在区间d内的实根内的实根)及二阶导数不存在点及二阶导数不存在点3、列表：、列表： 用上面的点把用上面的点把d分成若干分成若干个小区间，确定二阶导数在每个个小区间，确定二阶导数在每个小区间的符号，若异号则该点为小区间的符号，若异号则该点为曲线的拐点曲线的拐点 ；若同号则该点不是；若同号则该点不是曲线的拐点。曲线的拐点。35) 1(xxy求曲线求曲线 的凹凸区间和拐点的凹凸区间和拐点 y35x) 1( x3235x3538x3235x函数的