竖直平面内圆周运动的临界问题及应用

1、五、竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中 阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临 界状态，其问题可分为以下两种模型 .一、两种模型模型1: “轻绳类”绳对小球只能 尸产生沿绳收缩方向:1 ,)的拉力(圆圈轨道问 /AJ题可归结为轻绳”*. .图1图2类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用， 如图1、图2所示，没有物体 支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况： (1)临界条件：在最高点， 绳子(或圆圈轨道)对小球没 有力的作用，Vo gR(2)小球能通过最高点的条件：V J3R,当V 历时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点

2、的条件：v gRR ,实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动模型2: “轻杆类”有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”如图4所示，):和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临(1)临界条件：由于硬杆图3图422当v 7rgR时，则mg N m, 即 N m mg, RR杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而 增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为 零.小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条 件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心 力

3、，此时临界速度 v丰JgR (应根据具体情况具体分析).另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的g换成g月,若在其他天体上则把g换成g天体.二、两种模型的应用 【例1】如图5所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为 R的竖直圆形轨道的最高点 B 而做圆周运动，问 A点的高度h至少应为多少【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是v临界JRg ,根据机械能守恒定律得 mgh mg 2Rmv2界2把v临界TRg代入上式得：hmin 5 R .界速度V 0(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：当v 0时，轻杆对小球有竖直向上的

4、支持力N,其大小等于小球的重力，即 N mg ；22当 0 v R 时，因 mg N mv-,则 N mg m.RR轻杆对小球的支持力 N竖直向上，其大小随速度的增 大而减小，其取值范围是 mg N 0.当v JgR时，N 0;例2如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的 A点由静止下滑，若小球恰能通 过半彳全为R的竖直圆形轨道的最高点 B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？【解析】此题属于“轻杆类”，带电小球在圆形轨道的最 高点B受到三个力 作用：电场力 F qE ,方向竖直向上；重力mg ;弹力N ,方向竖直向下.由向心

5、力公式，有 mg N qE m -B要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率-B为临界速度，临界条件是N 0.由此可列出小球的临界状态方2程为mg qE m-B R1 c根据动能7E理，有 (mg qE) (h 2R) 2mvB 5解之得：hmm R2说明 把式中的 mg qE换成m器,较容易求出hmin R 2【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电q、质量为m且重力大于所受电场力的小球， 从光滑的斜面轨道的 A点由静止下滑，若小球恰能通 过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问A点的高度h至少应为多少？【解析】此题属于“轻绳类

6、”，题中“恰能”是隐含 条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点B而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态， 其速率vB为 临界速度，临界条件是N 0.由此可列出小球的临界2状态方程为：mg qE mR根据动能定理，有(mg qE) (h 2R) mv125由上述二式解得：hmin -R2小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么 因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅 与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力 做功也仅与沿电场力方向的距离差有关.我们不妨可 以这样认为，例 2中的“等效重力加速度 g1”比例1 中的重力加速度g减小，例3中的“等效重力加速度 g2 ”比例1中

7、的重力加速度g增大.例 2 中 v临界 JRg7，mgh mg 2R mv2界；12例 3 中 v临界 JRg?, mg?h mg? 2R mv2界.2把v临界代入各自对应的式子，结果 mgmg2分别都约5去了，故 hmin -R .2【例4】如图7所示，一个带正电q、质量为m的电荷,从光滑的斜面轨道的 A点由静止下滑，若小球恰能通 过半彳空为R的竖直圆形轨道的最高点B(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀强磁场 )，问点A的高度至少 应为多少【解析】此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含 条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点B ,说明小球此时处于临界状态，其速率 vB为临界速率，临界条件是N

8、0 ,由此可列出小球的临界状态方程为vB mg qvB B mR1 2emgh mg 2R - mvB ,由式可得：Vb -mqB鬲三1因vb只能取正值，即Vb qB .i(qB)2 处卫 2mR 22 "c贝U hmin 2R qB J(qB)g 8mgR【例5】如图8所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电q、质量为m的电荷，从光滑的斜面轨道的 A点 由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B(圆弧左半部分加上垂直纸面向外的匀 强磁场)，问点A的高度h至少应为多少【解析】此题属于 “轻绳类”，题中 “恰能”是隐含条 件，要使小球恰能 通过圆形轨道的最 高点B ,说

9、明小球 此时处于临界状态，其 速率Vb为临界速率，临界条彳是N 0 ,由此可列出小球的临界状态方程为2Vb小mg qvBB qE mR一一 1)(mg qE) (h 2R) -mvB2由式可得：vBqB 2m(qB)24m (mg qE)联立得x 0.4m(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为因Vb只能取正值，即量守恒定律和机械能守恒定律有VbR2mqB(qB)24m(mg qE) Rmv0 m mv乙121212mvo - mv甲一 mv乙222hminR22R qB8m(mg qE) 2(qB)2 4m(mg qE)联立得v 乙Vo小结小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度v的方

10、向垂直，它们对小球都不做功,由动能定理，得联立得Vomg 2R qE 2R5(mg Eq)Rm122mvD2. 5m/s而临界条件是N 0 .(3)设甲的质量为 M ,碰撞后甲、乙的速度分别为【例6】如图9所示,ABDVm、Vm ,根据动量守恒定律和机械能守恒定律有Mvo Mvmmvm缘轨道，其中AB段是水'I1 vn平的，BD段为半径：£.e1 _ _ 21_ _ 212Mv0Mvmmvm222联立得2MVo Vm为竖直平面内的光滑绝由。和 M>m,可得 vo<vm<2vo处在竖直向下的匀电场中，场强大小设乙过D点时速度为vD ,由动能定理得R 0.2m的

11、半圆，两段轨 道相切于B点，整个轨道E 5.0 103V/m .一不带电的绝缘小球甲,以速度Vo沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为联立。得 2m/s<vD<8m/sm 1.0 10 2 kg ,乙所带电荷量q 2.0 10 5C , g 取设乙在水平轨道上的落点距B点的距离x',有(3)若甲仍以速度4向右运动，增大甲的质量，保持联立。得：0.4mWxv1.6m【例7】如图10所示，杆长为L ,质量忽略不计，整个系统绕杆的另端在竖直平面内做圆周运图10一端固定一质量为 m的小球，杆的10m/s2.(水平轨道足够长，甲、乙两球

12、可视为质点, 整个运动过程无电荷转移 )(1)甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点求乙在轨道上的首次落点到B点的距离;(2)在满足(1)的条件下。求的甲的速度乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到Br点的距离范围.【解析】(1)在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设 乙到达最高点速度为 Vd ,乙离开D点到达水平轨道的x VDt动.g 10m/s2 求:(1)小球在最高点 A的速度vA为多少时，才能使杆和小球m的作用力为零时间为t ,乙的落点到B点的距离为x ,则,2vD1 mg qE、，2ymg qE m 2R ( )tR2 m(2)小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度

13、分别是多少?(3)若 m 0.5kg , L 0.5m ,Va0.4m/s,则在最高x VDt点A和最低点B,杆对小球m的作用力多大?【解析】此题属于“轻杆类”.若杆和小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力2mg提供，根据牛顿第二定律，有： mg m：解得VagL(2)若小球m在最高点A时，受拉力F ,受力如图112所示，由牛顿第二定律，有：F mg m解得v jgL FL叵若小球m在最高点A时，受推力F ,受力如图12所2小，由牛顿第二定律，有：mg F m 解得：V2gL FL gLm ,可见Va 如是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度.杆长L 0.5m

14、时，临界速度v0 JgL 2.2m/s ,2Va 0.4m/s<vj ,杆对小球有推力 Fa ,有mg Fa m£ , 则Fa 4.84N .由A至B只有重力做功，机械能守 恒.设B点所处水平面为参考平面，则mvA mg 2L mvB22'解得 vB 而4gL 4.5m/s .2在最低点B，小球m受拉力FB ,由Fb mg m2解得 Fb mg m7 25.3N .【例8】如图13所示，光滑的圆管轨道 AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r ,有质量为m、半径比r略小的光滑小球以水平 初速度度v0射入圆管.(1)若要小球能从C端出来，初速v

15、0多大(2)在小千从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型 情况，初速度V。各应满足什么条件图11 图12【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类” .(1)小球恰好能到达最高点的条件是1-寸恒，初速度应满足：- mv0 mg20Vc(2)在小千从C端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况:刚好对管壁无压力,恰好充当向心力，即2 Vc mg m.由机械能守恒定律，知联立解得：v05gR此时重力12一 mvo2mgVc0,由机械能2R ,即 v0 j4gR .要使小球能从C端出来，需0 ,所以入射速度v。y4gR .2R1 2一 mvc2对下管壁有压力，应有 mgVo应满足J荻

16、V0 <5gR .对上管壁有压力，此时应有速度Vo应满足V。$5gRmvC ,相应的入射速度L2mg mC ,相应的入射小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力 除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不过圆心， 因而在一般位置处，它具有切向加速度.【例9】如图14所示，一内壁光滑的环形细圆管位于 竖直平面内，环的半径 R(比细管的半径大得多)，在 圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B ,质量分别为mA、mB,沿环形管顺时针运动，当 A球运动到 最低点时，速度为Va, B球恰到最高点，若要此时圆 管的合力为零，B的速度vB为多大？【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问

17、题的分析，属于“轻杆类” .在最低点对A球进行受力分析，如图15所示，应用牛顿第二定律有2 VaNa mAg mA 口由牛顿第三定律，球A对管有向下的压力 na ' Na ,N 0 ,则汽车不脱离最tWj点 的临界速度为v0 ,则有：2mg m费,可得 JgR ;根据题意Na' Nb,即球B对对管有向上的压力Nb',(2)当v° 同时，汽车在轨道最高点仅受重力作用,球B受力情况，如图16所示，由牛顿第三定律，管对球B有向下的压力 Nb , Nb Nb ,对球B应用牛顿第且有初速度晚,故做平抛运动，则R 2 gt2 , x v°t ,可得：x J2R

18、.2二定律，有：Nb mg 叫匕，由于Na NbR联立可得 vBmAvA (mA 1)gRmBmB三、小球在凸、凹半球上运动如图17所示，小球在 凸半球上最高点运动时： (1)当0 v /，小球不【例11】小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆会脱离凸半球且能通过凸半球的最高点.(2)当v 掘,因轨道对小球不能产生弹力，故此时(3)当v 廊，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动.如图18所示，小球若通过凹半球的最低点时速度只要v 0即可.由以上分析可知，通过凸(或凹)半球最高点(或最 低点)的临界条件是小球速度o v ygR (或v o).【例10如图19所示，汽车质量为1.5 104kg ,以不变速率通过凸形路面，路面半径为15m ,若汽车安全行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少若汽车达到临界速度时将做何种运动水平运动位移为多少【解析】(1)此题属于“轻绳类”，即轨道只能沿某一周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距图20离d后落地，如图20所示.已知握绳的手离地面高度为d ,手与球之间的绳长为 4d ,重力加速度为g ,忽略手的运动半径和空气阻力.(1)求绳断时球的速度大小 和球落地时的速度大小(2)问绳能承受的最大拉力多大(3)改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在