大一上学期高数知识点

1、一、主要内容小结1.定义定理公式导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 定理与运算法则(1)(2)定理1 f (xo)存在f (Xo)f (xo).定理2若y f(x)在点xo处可导，则y f(x)在点xo处连续;反之不真.f (x)在xo处可导.导数与微分的运算法则：设uu(x) ,vv(x)均可导，贝y(u v) uv ,d(u v) du d(uv) uvvu ,d(uv) udv vdu已vuvvuv .2 (vo)，,U vdu udvd( )2vv2定理3函数f (x)在xo处可微(3)基本求导公式(v0)2. 各类函数导数的求法(1)复合函数微分法(2)反函数的微分法

2、(3)由参数方程确定函数的微分法(4)隐函数微分法幕指函数微分法(6)函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法x求导).方法：对数求导法(即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对(7)分段函数微分法3. 高阶导数(1)定义与基本公式(ex)(n) ex高阶导数公式：(ax)(n) aX|nna (a 0)莱布尼兹公式:(2)高阶导数的求法 直接法 间接法4. 导数的简单应用求曲线的切线、法线求变化率一一相关变化率例题解析设 f(x)xK(K为整数).问:(1)当K为何值时,f (x)在0处不可导;(2)当K为何值时,f (x)在0处可导，但导函数不连续;当K为何值时,f

3、(x)在0处导函数连续?函数f (x)在x=0点的导数:f(x)f(0)lim f(x)x 0x 0 x,-K .1(x) si n xx_/ K 1=lim (x)x 0.1sin =x发散，当K 10 ，当 K 1不存在,f(0) 0,当K 1时,f (x)的导函数为:为使 lim f (x) f (0)x 00,取K2即可。因此，函数f (x)K .1cx Sin , x 0xx 0当K< 1时,f(x)在 x0处不可导;2时,f (x)在 x0处可导，但导函数在x 0处不连续;2时,f (x)在 x0处可导且导函数在x0处连续。sin 2 x2cos X 求 dy。1 ctgx

4、1 tgxdx分析本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形就可用代数和的求导法则来求,这样就简便多了。3.33cos X sin X cos xsin x cosx cosx sin x sin x cosxsin3 x1 sin 2x。2所以y cos2x如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。例 y arctgex ln-，求鱼。1dx分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。解因为y arctgex 2ln e2x ln(e2x 1)arctg

5、ex - ln(e2x21)所以1(arctgex) x In(e2x1)'=2xe:271 e，八 2x1 2e2 ex .e 1e 1f(ex)ef(x)，求 dy。dx利用积的求导法则及复合函数求导法则，有dy 一 r , X. X f(X)r / X. f(X). . .f(X)r rf (e )e ef (e )ef (x) = e f dx/ X x(e )exf (e )f (x)。设方程 xy2 ey cos(x y2),求 y .本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。(方法一)方程两端同时对x求导(y看作x的函数yy(x),由复合函数求导法可得(方法

6、二)方程两边同时微分：d(xy2 ey) d(cos(xy2)所以dydx22y sin(x y )2xy ey 2ysi n(x y2)已知xf (t)ytf (t)f (t)f (t)为二次可微函数，且f (t)0，求鱼 dxd2y dx2分析这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。解 因为dy dtf (t)f(t)= tf (t)dt所以dy tf (t)dt dx f(t)dtdt所以常见错解:d2y=_d_dx dxd2y7 (t)' 1。dx2dydxdtf"(t)dt f" (t)错误原因没有搞清求导对象.d2ydx

7、22 dy是一阶导数 鱼 对x求导,而t'是一阶导数对t求导。 dx dxdx例 求函数y解 dy d -z：v1a X 2 dx1xd J1 X22 x右 x2dxX丄pd(1 x2)2出 X21 X2例设y分析Li2x2V1 x dxdxJ1 X21 x23x+(n)二，求 yx 3x 2dx23 2(1 x )本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和,再将有理分式写成部分分式之和，最后仿(xm)(n)的表达式写岀所给定的有理函数的n阶导数。y (x 3) (x 2)(x7x 6x1)y=(x 3)(n)8(x2) 1(n)(x 1) 1

8、(n)(1)n 8 n!(x2) 1 n(1)nn! (x 1) 11)nn!例设f(x)x e2 xf (x)的图形。分析函数1(x 2)n ' (x 1)n 1求f(x)的导函数f (x)1, x 0的连续区间，若间断，判别类型，并分别作f(x)与f (x)是用分段表达的函数.0的两侧：当x 0时，f (x) ex ；当x 0时，f (x) 2x.因此，在x 0处,f(x)的可导情况，需根据定义来作判断，求岀导函数后，再判别它的连续区间。解因为f '(0)limx 0f(x) f(0)xlimx 0x2因为在又因为所以f '(0)limx 0f(x) f(0)xlimx 0x 彳e1