定积分方法和应用(一)

1、DDY整理第回节-xdx例1S >01)解 先求出被积函数的一个原函数，令x = tninf,dx = a 忆吐血，则Jj/ - Hdx = F co加2J(l + COS 20出Q，. X 17arcsm - + -xa - x +c：2 a 2 肿-Fdx = -工 1n2arcsin - + -zJt3 x2 2F面用另一种方法求解，令X = flsin = a co吐出，2，有 直if加=f (l + g$N)df当 1 = 0 时，f = 0, x = a 时,hr显然，后一种方法比第一种方法更简便，下面给出定积分的换元积分法。定理设函数 /w 在区间尙切上连续，函数X二能满足

2、（1）（或/?,忆）上单值单调，且有连续导数,则有=dx解令则办二北/沁；当x = 0时，=0, x = l时,i = 一4 ，于是原式=小託c fdf = f cos/Ji = sin i（）=72T换元公式也可反过来使用,由引入新变量t，f 7W力00）必=f几）必看下例f "2 d： 例3 1血+1解令f =血+1，?-J =2,必=idl，当x = 0 时，f = l； x = 4 时,4+2曲£"2A=22 r "y注意：1.用定积分换元法时,在变换积分变量的同时也要变积分限；但对应于不定积分中的第一类换元法（凑微分法），当代换没有具体写出新变

3、量时，积分限不用变,如2f co/ A sin 沁二-f cos'加cox = -cos z2.使用换元法时要注意条件,册0 （令宀"唏）错，因河1J时,x = q不是单值的。例4设/在P卫上连续，证明:/GO为奇函数pj：/G）亦/W为偶函数, /（M必 40,证明:丫 f/（x）必英=一 f 了（一=）止=f /（一f）df = f/（一x）dx他为偶函数时，血为奇函数时，£m°这个公式要记住。J F £1X1 2 JT d 开 如(1)丄3/ +2x2 +1=0（2） 了匕）在-a卫上连续，且则fg） 心）时讯巡+忌（If禺例5计算勺X +

4、1（为对称区间，被积函数第一项为奇函数）1 1=0 + Rji?(i-zW忑=R 险(1 - Z) 解原式 气h屯ln(l-帕-肿1-灿:3( 3 k 1 =-1x1 + -ln 一2 2 2 2他是以T为周期的连续函数，证明：临小”（如证明:4）必=f/（X）必+/W必+于何血7/"/A + g（x*+T）订了妙=“如所以讷2rrlOOfl-lOCk10帖171 - cos2xd(x = V2 pin 申畫=庞+ J + J =1002 fsin 皿=2002此题利用了周期性,Sin J例8设/（"）为连续函数，证明:的周期为J。证明：令x=j-t, dx =-亦f:y（

5、sin= 一f 俑'）/1皿（貳 _（）型=f 才sin tdt - /（sin f）dt（才（他 R必对'（舫 孟）必二（啖in Rdx =牛 J /（sin x）dx定?1分的分部輸分余和旳取法同不定积分解原式=才込电几-£订吕必=-|nCl + ?） J = -ln2f zloga xdx例10f xlog r 盂必=f 7In xdx =f In xdH解丄ln2l2ki2Ji2 2疵H凤叮林"疵41n2- = m -34h2rsinfln xdx解原式xsinOn x) f-f CQS(ln 戒必 =e sin 1 - jrcos(ln 力 卜J

6、sin(Jn 分血=esin 1 - ecosl + 1 - Jsin(ln 兀)dx=-(sin 1 - cos 1) + -所以，原式 22例12皿，证明厂十。证明：设 « = sin "J X,血=(- l)sinxcosxi九旳=sin 曲=dLcosx)厶=-cousin+ 0 -1)卜inxco曲=n -1)sin z 心 sin'帕=(鬥 -1"“ - © -)几例13证明：何曲甘（r畑创，其中佩在所考虑的区间上连续。U对区间%具有可加性，即卩二工g,部分量AUj可表示成/监）%则可分析：所要证明的等式左端，其被积函数是一个变上限积

7、分函数df / （芹）dx =而，所以等式左端应用分部积分公式后就可化掉一个积分号。证明 用分部积分法有f 訐必她=肚f /（f）必;-f时仗）弘二彳几）必吠讷=f(udu )和所以（几）必血=（兀-叨仗）创定积分的元索比从上一章求曲边梯形的面积及变速直线运动物体的距离问题中看到，可利用定积分来 计算几何、物理等问题中的某些待求量。般，设实际问题中的所求量U是一个与变量 X的变化区间【仇切有关的量，且考虑用定积分来求量U 。具体做法是:（1）根据具体问题选取适当的坐标和积分变量X，并确定它的变化区间厲0，求出这个区间(2)将&切分割成若干个小区间，任取一个代表区间x,x + dx上 U

8、的近似表达式：构造一个在血0连续的函数/(X)使如/(x)dx ，把称为 U的元素记为： dE7*(M 必；(3)所求量 U等于 U的元素在爲切上的积分U1ao这种方法称为元素法或微元法。第八节平逅图形的®积1.直角坐标情形(1)由曲线与X轴在区间尙切段所围图形的面积为S必=f ydxVi"x(2)设他酌 在区间血切连续，由曲线 厂了、厂与x=£x=b所围图形的面积为/W-g帥、rM与 y=cj=d(3)设在&d上连续，由曲线 所围图形的面积为A伽“)0围。(上面公式不用背，可用定积分的元素法推出)例1计算由两条抛物线：y，m = x解法一用定积分几何意义(1)画草图，定出图形的范(2)求曲线的交点。解卜=壬得所围成的图形的面积。图 7-13为积分变量(3)用定积分表达所求面积。所求面积等于两曲边梯形面积之差:川滋-(恥討解法二元素法(1)作图、求曲线交点(同上)，取X为积分变量，(2)求面积元素必二启血(3)积分= 1/3例2求由曲线八2x及y = x-4所围成的面积。解法一作图,求出两曲线交点是（2,-2），（ 8，4）取2为积分变量， 58。鹿= /2z -(-庞7)必，X W 2,8时，血=(4 -(J- 4)dxy|ZFX-4川=18/. 5 = 17 +r焦'兀 +y=x-