定积分的应用[1]

1、第六章定积分的应用（1、2）陈建英王江顺主编第一节定积分在几何上的应用（1、2）16教学目的： 教学重点、 教学形式： 教学时间：二（讷掌握定积分应用的微元法，会求在直解坐标下的平面图形面积 难点： 用“微元法”确定所求量的“微元”多媒体教室里的讲授法90分钟一、引入新课回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线 尸/WCZ 30）、 X轴与两条直线X二&、X二b所围成。面积表示为定积分的步骤如下:（1）把区间h切分成月个长度为A期的小区间，相应的曲边梯形被分为 月个小窄曲边梯形, 第个小窄曲边梯形的面积为A4,则述时计算的近似值M& S陆求和，得A的近似值（4）求极限，得A的

2、精确值艸0葩面积元素窗提示若用A/表示任一小区间X, x+加上的窄曲边梯形的面积，则虫=£曲，并 取此于是虫吃血必/二 lim 学(x)dx = f /(诫二、新授课 1.元素法的一般步骤:(1)根据问题的具体情况， 选取一个变量例如X为积分变量，并确定它的变化区间爲方.分成?！个小区间，取其中任一小区间并记为k，x+咖，求出相应于这小区间的部分量 A的近似值。如果A"能近似地表示为a, b上的一个连续函数在7处的值 / W 与 dx 的乘积，就把称为量U的元素且记作dy,即 dU-f(X)dx ；弘耳上作定积分，得(3)以所求量U的元素了 (讷 为被积表达式，在区间 呵:

3、曲,即为所求量U的积分表达式。这个方法通常叫做元素法。应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；弓I力和平均值等。2.直角坐标系下的面积计算(1)平面图形由连续曲线y = f1(x), y = f2(x)及直线x=a,x=b所围成，并且在区间a ,b上f1(x)如图6-1或如图6-2所示.(图 6-1)应用曲边梯形的面积A=(f,(x)-f,(x)dx(面积。(1)作图.利用Mathematica,输入Plotx%.5,xA2, x,0,1.2, AspectRatioT 1输出图形/齐-禺三7f- F !I=解两曲线的交点 (训(1,1)，选J为积分变量，面积元素?T4选2

4、为积分变量，X E卜2、3V6x2537?例2计算由曲线兀和=卡所围成的图形的面积。解两曲线的交点y = F-6兀y = ?，n（M （-2出 &9）,（1） ie-2,0,出1 = （F - 6兀-/）必 z0,3,选= （F-;?+6x）必于是所求面积A=：（疋-6工-*）朮+£0-3? + 6尤）必说明：注意各积分区间上被积函数的形式。问题：积分变量只能选X吗?例2计算由曲线=2x和直线y = x - 4所围成 的图形的面积。两曲线的交点丿4,之2厂 2),(&4),选为积分变量， 日-2,4作图利有Mathematica,输入Plot(2 x)y.5,-(2x

5、)T.5,x-4, x,0,8, AspectRatiOT 1输出图形，如图所示；dyA- f 心二 18.例4计算曲线y=3+x-x2与曲线y=x3+3所围平面图形的面积.注意 对于同一问题，有时可选取不同的积分变量进行计算，计算的难易程度往往不同,使计算简化.因此在实际计算时，应选取合适的积分变量解（1）求交点的横坐标.利用Methematica解方程3 + x-x2 = X3 +3,输入NSolve3 + X -xe= X% +3,输出 x T 一1.61803, XT 0.618034作出曲线 y=3 +x-x2与曲线y=x3 +3所围的平面图形，输出0.618034r= Jo 3 +

6、 x-x2-(x3 + 3)dx输入 IntegratexA3 + 3 - (3 + X - x2), x, -1.61803,0Integrate3 + X - xA2 -(X八3 + 3), x,0,0.618034输出 1.007510.07581920.618034r3 + x-x2-(x3 + 3)dx因此，所求面积0 3 2Sp&Jx +3 (3+x-x2)dx+J0= 1.00751+0.0758192= 1.08333.三、本节小结:1.微元法的实质是什么?(微元法的实质仍是和式”的极限。)2 .求在直角坐标系下平面图形的面积。(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算

7、四、课外作业：P116 习题 61一、求下列各组平面图形的面积1、V X与直线y二X及x=2。2、尸"与直线尸X及尸"二、求抛物线y =+4x- 3及其在点 (0.-3) 和(3$ 0)处的切线所围成的图形的面JI三、求位于曲线y二恳下方，该曲线过原点的切线的左方以及 久轴上方之间的图形的面第六章定积分的应用（3、4）第一节定积分在几何上的应用（3、4）教学目的:教学重点、会求在参数方程、极坐标系下的平面图形面积难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法,讲授法90分钟教学形式：教学时间：教学过程一、引入新课写出圆的方程在直角坐标系下的方程，参数方程和极坐

8、标方程二、新授课如果曲边梯形的曲边为参数方程X 二刃）7二列），曲边梯形的面积"叫陀0"皿（其中1和2对应曲线起点与终点的参数值），在/1，（或山，）上苗0（f）具有连续导数，y二时连续。例4求椭圆a 护的面积。解椭圆的参数方程工二戊cos£由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积。占=ydj, = 4 匸 i sin 坯 S cos 幻=也si n'加f = mb设由曲线F=琛）及射线F = c、9二0围成一曲边扇形，求其面积。这里，少在a,0上连续，且少-°。面积元素2曲边扇形的面积T卿嘶解2 2例5求双纽线pF所围平面图形的面积。A =

9、A -0 cos 26dd-c. Jo 2例6求心形线F二曲+COS0所围平面图形的面积（a0）。x=(1+ cos8)cos8y=(1 + cos日)sin 日求两曲线r=3 cos8及r =1 + cos8所围成图形的公共部分的面积。 将极坐标方程改写成参数方程fx=3cos 日 COS0y=3cos日sin£（1）利用作图Mathematics,输入ParametricPIot 3Cost佗3CosSint,t,0,2 PiParametric Polt(1+Cost) Cost,(1+Cost) Sin t,t,0,2 PiShow%,%,AspectRatio T Auto

10、matic输出图形，如图6-8所示.(2)求交点输入 Solve3 Cost=1+Cost,t输出t T-3,tT 訓(3)求面积.先求第一象限的面积1 1S =-(1 + cos 日)2d0 + J；3(3cos£)2dT输入Integrate0.5(1+Cosx)2,x,0, Pi/3 +1 ntegrate0.5(3Cosx)八2,x, Pi/3, Pi/2输出 1.9635根据对称性，故所求面积 S=2S 4=2X1.9635 =3.927.例5求由曲线r= J2sin0,r2 =cos29所围图形公共部分的面积解 将极坐标方程改写成参数方程为Jx = in 日 cos日 y

11、 =旋sin 日 sinx = Jcos2日 cos日y = Jcos2日 sin 9(1)作图.利用Mathematica,输入ParametricPIot2气1/2)Sir(tCost,2气1/2)SirtSint, t,0,2 PiParametric pl ot Co£2t咲1/2)Cost, Cos2tS1/ 2)Sint, t, Pi/4, Pi /4Parametricplot Cos2t“1/2)Cost, Cos2tA(1/2)Sint, t,3Pi/4,5 Pi/4Show%,%,%, Asp ectRatio T Automatic 输出图形，如图6-9所示.求

12、交点输入Reduce2 珥1/2)Si nt =Cos2t列1/2), t输出兀5气(1引ntegers&&(t= K+2；iC1Lt=+2；iC1)66(3)求面积.先求第一象限的面积_3T 1_3T 1Si =(血sine)2de = Jcos2日dO.26 2输入IntegrateSinx 佗x,o, Pi/6 +lntegrate0.5Cos2x,x,Pi/6,Pi/4输出 0.078 786 7根据对称性,故所求面积S=2 X 0.078 786 7=0.157 573三、本节小结：参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积四、课外作业：一、求由下列各曲线所围成的图形的

13、面积1、心 2a(2+cos0)。2、摆线"曲二4(1-忆叫(O0W2和及X轴。3、r = 3过$0及T+cE的公共部分。第六章定积分的应用(5、6)第一节定积分在几何上的应用(5、6)会用微元法求平行截面的立体体积 难点：分析使用平行截面计算的立体图形,讲授法90分钟教学目的：教学重点、教学形式：教学时间：教学过程一、引入新课平行截面体的概念二、新授课1.已知平行截面的立体体积如图610所示，设有一立体图形，其垂直于旋转体体积的计算。x轴的截面面积是已知连续函数S (x),且位于x = a , x = b 两点处垂直于 x轴的两个平面之间，求此立体的体积。用垂直于x轴的截面分割该立

14、体，从位于 x=a的 平面开始，到位于x=b的平面为止。在小区间x,x+dx上，将此区间相应的小立体体积用底面积为f(x)，高为dx的扁柱体的体积S(x)dx近似代替，即体积微元于是所求立体的体积为 / bV= J S(x)dxa例1一平面经过半径为 R的圆柱体的底面直径截圆柱体所得楔形的体积。解法一：(图 610)如图6-11所示，取直径AB所在的直线为x轴，底面中心为原点，这时垂直于 x轴的各个截面都是直角三角形，；它的一个锐角为a。这个直角三角形的底边长度为Jr2 -X2，高为Jr2 -X2 tana，这样截面面积为S（X）=2（R2 -x2）tanot,因此,所求体积为WRSV=r1

15、(R2 -x2)tanadx = 2tana R2x 一刍解法二:垂直于丫轴的各个堆面都是矩形，矩形的两边为2|X| 和ytan a这样截面面积为 S（X）=2 Jr2 一y2 ”ytanot.R 23|_0 = - R tana3因此，所求体积为V = L 2Jr2 y2ytanady = 2tana(R2 -y2)3例2连接坐标原点0及点P臨 广）的直线、直线X-k及X轴围成一个直角三角形。将它绕X轴旋转构成一个底半径为 r、高为直的圆锥体，计算圆锥体的体积。ry-x解直线OP方程为 力，取积分变量为I，k,在爲切上任取小区间x，x+dx,以dx为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为r

16、-12I fl F开一JT=圆锥体的体积 ° 2。（ 1）旋转体的概念：旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立 体。这直线叫做旋转轴。IH谁（2）旋转体的体积般地，如果旋转体是由连续曲线、直线x=a、x=b及 轴所围成的曲边梯形绕J轴旋转一周而成的立体，体积为多少?取积分变量为X, 偽切。在a b上任取小区间X, x+dx，取以dx为底的窄边梯形绕；t轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,d7=和血dx旋转体的体积为X17y川/（兀）也类似地，如果旋转体是由连续曲线 X二卩3）、直线 r、y" 及 轴所围成的曲边梯7二田曲）觀例3求由曲线丿=4-j及尸Q所围

17、成的图形绕直线 X二3旋转构成旋转体的体积。解 取积分变量为64。2a体积元素为莎二开PM -开QM矽=必-开(3 - j4-y)' dy = 12次幼三。小结平行截面体体积和旋转体体积的计算四。课外作业P116 习题 6 14.平面图形由y =sinx（O<x<兀）和y =围成，试求该图形（1）绕x轴旋转所成旋转体的体积;（2）绕y轴旋转所成旋转体的体积。25 .平面图形由y=2x-x和y=O围成，试求该图形分别绕 x轴和y轴旋转所得旋转体的体积。31第六章 定积分的应用（7、8）第一节定积分在几何上的应用（7、8）教学目的:教学重点、会用微元法求平行截面的立体体积难点：

18、处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法,教学形式： 教学时间： 教学过程 一、引入新课讲授法90分钟例1分析求解椭圆2 2尹b"绕x轴旋转所成旋转体的体积。指出微元二、新授课例2求摆线X，尸Q（l- cos/）的一拱与尸0所围成的图形分别绕X轴、y轴旋转构成旋转体的体积。解绕X轴旋转的旋转体体积耳二L 开必二开L 於（1 一二；n?（1 - 3 cosf + 3 coQ f - co J 加f 二 5托?绕轴旋转的旋转体体积可看作平面图 OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体 积之差。X = Xj(j)耳二加；3勿-J:加:族=开G - sinfF a sin

19、tdt -开f 护(f-sin 疔 a sinfMf例3求圆x2+（y 4）2 =a2（o<a<b）绕X轴旋转所形成的立体体积.解：如图6-13所示，该立体是由=b + Ja2 - x2 ,x = a,X = -a围成的平面图形绕 x轴旋转所生成的立体，去除由y2 =b-Jax'X =a,x =a围成的平面图形绕V=轴旋转所生成的立体而构成的。因此，该立体体积为J：(b + Ja2 -x2)2dx-兀 J：(b-Ja2 - x2 )2dxi J/bJa2-x2dx利用Mathematica,输入图 6-13输出Pi Integrate4b a2x20.5,x, a,19.7

20、39 2a2b2因此，该立体体积为19.739 2a2b2补充 如果旋转体是由连续曲线、直线x"、zb及X轴所围成的曲边梯形绕丿轴旋转一周而成的立体，体积为2开J/I了（兀）|必。利用这个公式，可知上例中fijO.r=2加（f - 5血）（1 - cos £y dt = 6局*.三、小结:1.旋转体的体积'绕由旋转一周“刪由旋转一周绕非轴直线旌转一周平行截面面积为已知的立体的体积。四、作业1.思考题：求曲线& = 4,1,所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积。思考题解答:2。P117第六题立本体积卩严处询=开*»=16兀 L心166.圆X2 +y2

21、 =R2的参数方程为IRCO妙0兰日兰2 y = Rsi n 日，试用定积分证明圆周长为 2兀R。第六章 定积分的应用(9、10)第一节定积分在几何上的应用(9、10)教学目的: 教学重点、 教学形式: 教学时间: 教学过程会用微元法求平面曲线的弧长难点： 处理和使用参数方程和极坐标方程表示的曲线弧长的求法, 讲授法90分钟引入新课：设/、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点A=Mg.,! M,Mj+rMjj = £并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无 限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长n戶1的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长。二、新授课1.直角坐标情形设函数y

22、=f(x)具有一阶连续导数，计算曲线y=f(x)上相应于x从a到b的一段弧长。取x为积分变量，它的变化区间为a,b，在a,b上任取一个小区间x,x+dx，与该区间相应的小段弧的长度可以用该曲线在点(x,f(x)处的切线上相应的一小段长度来近似代S=替，从而得到弧长元素 dS=dx)2 +(dy)2 = j1 + y'2dx,于是所求弧长a -例1求正弦曲线y=sinx在点(0,0)到点(兀,0)之间的一段弧长.解：所求弧长S二J：j1+y'2 X = r J1 + cos2 xdx.利用Mathematica,输入NIntegrate(1+Cosx八2)八(1/2), x,0,

23、 Pi输出3.820 2因此,正弦曲线每一拱的弧长为3.82022.参数方程情形设曲线的参数方程为xN(t)(a <t < P).计算这段曲线的弧长。取参数t为积分变量，糨的变化区间为比P，弧长微元dS = J(dx)2 +(dy)2 =J 申'(t)dt 2 +屮'dt2 =严可声帀)dt于是所求弧长为s二 Jj®'2(t) + 屮'2(t)dt.例2求长半轴为4,短半轴为3的椭圆周长.Px=4 cost0<t <2兀y =3sin t解椭圆的参数方程：因此,椭圆的周长兀J4 sin t)2 +(3cost)2 t .利用Ma

24、thematica,输入NI ntegrate(4 Sint)输出18.719 7因此，长半轴为4,短半轴为3的椭圆周长为18.719 7.S=代+(3 Cost代(1/2),t,0,2 Pi3极坐标方程情形设曲线的极坐标方程为:r=r（日），a 日 P，计算这段曲线的弧长. 将极坐标方程改为参数方程：x=r（ 6） cos 6* y =r sin 0dx=(r（日）COS0r（8）sin 日）d0dy = (r'(日)sin 9 + r(£)cos 9)d9于是，弧长微元dS=Jdx) 2 + (dy )2 = Jr2(£ ) + r '2(日)dT因此，

25、所求弧长为S = f Pjr2(8)+ r'2(8)d 6 a Y例3 求心形线r = a（ 1+ cos日）的全长（a。）解作心形线的图形，输入Para netrucPlot2 (1+Cost) Cost,2(1+Cost) Si nt,t,0,2 Pi输出心形线r=2（1+ cosB）的图形，如图615所示.因为r （ ）=-a sin日,故所求弧长为S=Ja(1+cos8)2+(asi n9)2d 日2兀 /=a t J2 + 2cos 日 d 日利用Mathematica ,输入In tegrate(2+2 Cosx)r.5,x,0, 2Pi输出(图 6-15)故所求弧长为8a

26、.三、小结用微元法求孤线长 四、作业：P1177.求星形线 X =acos3t, y =asin3t(0 <t <2兀)的全长。39求曲线y=x"在0<X<4 段的弧长。1 2 111.求曲线-4y-2lny在1兰yMe 一段的弧长。第六章 定积分的应用（11、12）第二节定积分在物理上的应用（1、2）会用定积分的微元法求一些简单的实际问题 难点：用微元法将问题归结为定积分的问题讲授法90分钟07级机械工程系教学目的：教学重点、教学形式：教学时间：教学年级：教学过程一、引入新课利用微元法解决定积分在物理上的一些应用。二、新授课一、变速直线运动的路程从物理学知道

27、，若质点以常速 v沿直线运动了时间t，则所经过的路程为s=vtv=v(t)连续如果质点以速度 v=v（t）作变速直线运动，上面的公式显然不适用，但当时，可以在时刻t附近将速度近似看作是不变的，因而在时间t,t+dt过程中，路程的微 元为ds=v(t)dt因此，从时刻t=T1到时刻t=T2这段时间内质点所经过的路程为T2s= JT v(t)dt.例1求具有速度v=1+2t2的质点从ti到t=5所经过的路程.5Q解：S= 1(1+2t2)dt =t +-t353二、变力沿直线所作的功从物理学知道，若物体在不变的力F所作的功为2603F的作用下沿直线移动了距离S，则此过程式中力如果力是变力F(x)，

28、上面的公式显然不适用。但当F(x)连续时，可以在点 x附近将W = Fs力F(x)近似看作是不变的，因而在位移x,x+dx过程中，功的微元为dW=F(x)dx由此可知，在变力 F(x)作用下物体沿x轴由点a到点b过程中，力F所作的功为bW=r F(x)dx.F面我们通过例子来说明变力作功的求功例2已知弹簧拉长0.02m要用9.8 N的力，求把弹簧拉长0.1m所作的功解：我们知道，在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F与弹簧的伸长量(或 压缩量)x成正比，即F=kx上式中K为比例系数。如图6-16所示，根据题目意，当x=0.02时，F=9.8，故由F=kx，得k=490。打打打打衣吞津扌"jf金#丹輩打声打仝衣”这样得到的变力函数为 F=490x .下面用策元法求此变