多元函数积分学及其应用

1、多元函数积分学及其应用第九章第九章 重积分重积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分引引 言言在一元函数积分学中在一元函数积分学中, , 我们知道定积我们知道定积分是某种确定形式的和的极限分是某种确定形式的和的极限. .极限的概念推广到定义在区域、曲线及极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念曲线积分及曲面积分的概念. .这种和的这种和的将函数在这些区域、曲线及曲面上将函数在这些区域、曲线及曲面上的积分统称为的积分统称为函数在几何形体上的积分函数在几何形体上的积分. .第一节第一节 多元函数

2、积分的概念与性质多元函数积分的概念与性质1. 物体质量的计算物体质量的计算设有一质量非均匀分布的物体，其密度设有一质量非均匀分布的物体，其密度是点是点m的函数的函数如果函数如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？已知，怎样求物体的质量呢？).(mf 在定积分中，在定积分中，一根线密度为一根线密度为()( )f mf x 的细直棒的细直棒ab， 它的质量可通过分割、近似、它的质量可通过分割、近似、求和、取极限求和、取极限 四个步骤化为定积分四个步骤化为定积分 01=limniiimfx bafx dx 1 ixixi 0 xa nxb abox平面薄板的质量平面薄板的质量 设它所占的平面区域为设

3、它所占的平面区域为d，其密度为，其密度为()( . )f mf x y 在在d上连续，上连续，d类似于对直棒的处理类似于对直棒的处理-“化整为零化整为零”可按如下步骤计算它的质量可按如下步骤计算它的质量.【分割【分割】【近似【近似】把把d任意划分为任意划分为n个子域个子域i 1,2,in 示面积）示面积）,iim iiimfm )(【求和【求和】【取极限【取极限】 niiiniimfmm11)( 01lim()niiimf m maxi的的直直径径xyodi im（也表（也表薄板的质量薄板的质量细棒的质量细棒的质量 01=limniiimfx 01lim()niiimf m 均可由相同形式的和

4、式极限来确定均可由相同形式的和式极限来确定. .一般地一般地，设有一质量非均匀分布在某一，设有一质量非均匀分布在某一几何形体几何形体g上的物体上的物体 (g可以是直线段、可以是直线段、平面或空间区域、一片曲面或一段曲线平面或空间区域、一片曲面或一段曲线),其质量可以按照以上四个步骤来计算：其质量可以按照以上四个步骤来计算：把把g任意划分为任意划分为n个子域个子域1,2,in 示度量）示度量）,iimg()iiimf mg11()nniiiiimmf mg01lim()niiimf mg maxig 的的直直径径（也表（也表【分割【分割】【近似【近似】【求和【求和】【取极限【取极限】ig ig

5、上质量分布近似看作均匀上质量分布近似看作均匀2. 多元函数积分的概念多元函数积分的概念定义定义 fpg函函数数在在 上上有有界界. .设设g表示一个有界的可度量几何形体，表示一个有界的可度量几何形体，,1,2,.ig in 小小部部分分.ig 也也表表示示其其度度量量gn将将任任意意划划分分为为 个个,(),iiiipgf pg 任任取取点点作作乘乘积积1()niiif pg 作作和和式式1,2,.in iigpg 不不论论 怎怎样样划划分分，点点在在中中怎怎样样选选取取，0ig 当当所所有有的的直直径径的的最最大大值值时时，和和式式都都趋趋于于同同一一常常数数，fg那那么么，称称函函数数在在

6、上上可可积积，且且此此常常数数.fg为为多多元元函函数数在在 上上的的积积分分 记记作作 01=limniigifp dgfpg 1()niiif pg fpg函函数数在在几几何何形形体体 上上的的积积分分 gfp dg 被积函数被积函数元素元素积分域积分域被积式或被积式或积分微元积分微元积分号积分号 01=limniigifp dgfpg 积分和积分和 当当g为不同的几何形体时，对应的积为不同的几何形体时，对应的积分有不同的名称和表达式：分有不同的名称和表达式：（1）当）当g是是 x 轴上的闭区间轴上的闭区间a,b,),()(baxxfpf 01limniiifx gfp dg 称为称为定积

7、分定积分 bafx dx 01=limniigifp dgfpg （2）当）当g为平面有界闭区域（常记为为平面有界闭区域（常记为d）时，时，( , )df x y d （3）当）当g为空间有界闭区域（常记为为空间有界闭区域（常记为 ）时，）时，( , , )f x y z dv gfp dg gfp dg 称为称为二重积分二重积分( )( , ) ( , )f pf x yx yd，01lim(,)niiiif 称为称为三重积分三重积分01lim(,)niiiiifv ( )( , , ) ( , , ),f pf x y zx y z ，.dd 就就是是积积分分域域，称称为为面面积积元元素素

8、.dv 就就是是积积分分域域，称称为为体体积积元元素素( , )lf x y ds （4）当）当g为平面有限曲线段（常记为为平面有限曲线段（常记为l）或空间有限曲线段（常记为或空间有限曲线段（常记为 ）时，）时， gfp dg 称为称为对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分( )( , ) ( , )f pf x yx yl，( )( , , ) ( , , )f pf x y zx y z或或，( , , )f x y z ds 01lim(,)niiiifs 01lim(,)niiiiifs ()l 或或称为称为积分路径积分路径，ds称为称为弧长元素弧长元素.（5）当）当g为空间有限曲面片（常记

9、为为空间有限曲面片（常记为）时，）时，( , , )f x y z ds gfp dg 称为称为对面积的曲面积分对面积的曲面积分( )( , , ) ( , , )f pf x y zx y z，01lim(,)niiiiifs 称为称为积分曲面积分曲面，ds称为称为曲面面积元素曲面面积元素.例例1( , )zf x yd 设设在在有有界界闭闭区区域域连连续续，讨论二重积分讨论二重积分的几何意义的几何意义. ddyxf ),(解解 ddyxf ),(01lim(,)niiiif i d任意划分为任意划分为n个子域个子域i xzy( ,)ii (,)iii 点点),(yxfz oxzyd曲顶柱体

10、曲顶柱体xzyod( , )zf x y i ( ,)ii =,iiif 小平顶柱体体积小平顶柱体体积高高底面积底面积小柱体体积无限累加小柱体体积无限累加 ddyxf ),(01lim(,)niiiif v 得到以曲面为顶，得到以曲面为顶，区域区域d为底的为底的曲顶曲顶柱体柱体的体积的体积v. ,iif 二重积分的几何意义二重积分是曲顶柱体的体积的负值二重积分是曲顶柱体的体积的负值. .当被积函数当被积函数时，时，0),( yxf当被积函数当被积函数( , )0f x y 时时，( , )df x y dv ( , )df x y dv d),(yxfz yzxov其投影其投影d为底曲顶柱体的

11、体积为底曲顶柱体的体积. .二重积分是曲面二重积分是曲面( , )zf x y 为为顶顶，3.多元函数积分的性质多元函数积分的性质fg若若函函数数在在有有界界闭闭集集 上上连连续续，.fg则则在在 上上可可积积多元积分的存在性与定积分类似：多元积分的存在性与定积分类似：( ), ( )f p h p当当函函数数可可积积时时，多多元元函函数数积积分分有有与与定定积积分分类类似似的的性性质质. .性质性质1 1 （线性性质）（线性性质） k为为常常数数 (1)ggkfp dgkfp dg (2) ()()gggf ph pdgfp dgh p dg ( )( )bbbaaaf xg x dxf x

12、 dxg x dx ( , )( , )( , )( , )dddf x yg x y df x y dg x y d 性质性质2（区域可加性）（区域可加性）1212,gggg gg 若若 分分为为两两部部分分1d2d 12gggfp dgfp dgh p dg bcbaacf x dxf x dxf x dx 12( , )( , )( , )dddf x y df x y df x y d 则则定积分定积分二重积分二重积分性质性质3( , )1ddf x ydd 若若在在 上上，则则有有 的的面面积积gdgg 的的度度量量对于二重积分来说对于二重积分来说（比比如如面面积积，体体积积，弧弧长

13、长等等）badxba （积分区间的长度）（积分区间的长度）定积分定积分 ,gf ph p 如如果果在在 上上则则有有性质性质4（比较性）（比较性）( )( )( )f pf pf p 特特别别地地，由由于于， ggfp dgh p dg ggfpdgfp dg 故故有有( , )( , )ddf x y dh x y d 二重积分：二重积分： bbaaf x dxh x dx 定积分定积分性质性质5 (估值性）估值性） ,m mf pg 若若分分别别是是在在 上上的的最最大大值值 mf pm 这这个个性性质质可可以以由由 gmgfp dgmg 定积分定积分 ()()bam b af x dxm

14、 b a ( , )dmf x y dm 二重积分：二重积分：利利用用性性质质3 3和和性性质质4 4推推出出. .和和最最小小值值，则则性质性质6（积分中值定理）（积分中值定理）( )f pg 设设在在有有界界连连通通闭闭集集 上上连连续续，gm则在 上至少存在一点，满足等式则在 上至少存在一点，满足等式 ( )gf p dgfm g ( , )( , ),( , )df x y df 二重积分：二重积分： ( )(), , baf x dxfb aa b 定积分定积分例例2 估计积分估计积分()dixy xydxdy 的值的值,02,x 其中其中d 是矩形域是矩形域02.y 解解在区域在区

15、域 d上上, 由于由于有有0()4.xy xy 0i 4 0 (确定被积函数在确定被积函数在d上的最大值和最小值上的最大值和最小值)所以所以02,x 02.y 又积分区域又积分区域d的面积是的面积是4 ，)2 , 2(oxyd由估值性质由估值性质(5)，16 多元函数积分可看作定积分推广为多元函数积分可看作定积分推广为多元函数在不同多元函数在不同几何形体几何形体上的积分上的积分. .n重积分重积分 (多元函数多元函数在在n维空间中的维空间中的 有界闭区域有界闭区域上的积分上的积分)曲面积分曲面积分（多元函数在（多元函数在有限曲面片有限曲面片上的积分）上的积分）曲线积分曲线积分（多元函数在多元函

16、数在有限曲线段有限曲线段上的积分上的积分）小小 结结 01=limniigifp dgfpg 1.多元函数积分的定义多元函数积分的定义 01limniiifx baf x dx 01lim(,)niiiif ddyxf ),( , , )f x y z dv 01lim(,)niiiiifv 定积分定积分重积分重积分( , , )f x y z ds 01lim(,)niiiifs 01lim(,)niiiiifs ( , , )f x y z ds 01lim(,)niiiiifs 对弧长的曲线积分：对弧长的曲线积分：对面积的曲面积分：对面积的曲面积分：( , )lf x y ds 几种几种

17、几何形体上的积分几何形体上的积分：d闭区间闭区间a,bl(平面有界平面有界 闭区域闭区域)（平面有限平面有限 曲线段）曲线段）（有限曲面片）（有限曲面片）( (空间有界空间有界 闭区域闭区域) )( (空间有限空间有限 曲线段曲线段) )二重积分二重积分三重积分三重积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分二、多元函数积分的性质二、多元函数积分的性质线性性、可加性、比较性、估值性、线性性、可加性、比较性、估值性、积分中值定理积分中值定理. .gdgg 的的度度量量（比比如如面面积积，体体积积，弧弧长长等等） gfp dg 的的物物理理意意义义：若一个非均匀物体，其形状如上述几何若一个非均匀物体，其形状如上述几何形体形体g，其密度为，其密度为g上的函数上的函数 ，则，则在在g的元素的元素dg上，其质量应是上，其质量应是 于是该物体的总于是该物体的总质量质量为为 p p dg ( )gmp dg 二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：( , )0zf x y等等于于以以曲曲