研究生数理统计第三章习题答案

1、1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量XN 4.55,0.1082 .现在测试了 5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37 .如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化?如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化0.05 ？解 由题意知，X4.55,0.10825Xi4.364，0.05,s2 1 5 Xi0 2 0.09526.5 i 11）当00.108已知时,设统计假设H0:04.55,H1 :4.55.当0.05 时，u1U0.9751.96，临界值"21.960.0947，V5拒绝域为K04.364 4.55CX0.0947.0.186 K。，

2、所以拒绝H。，接受H1，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化2）当04.55已知时,设统计假设H 0:2/0.1082,H1 :0.1082.当0.05时，临界值1C1-n125L0.025 550.1662, c21 0.975 52.5666，5拒绝域为K0-2sr0C2或-2s20C1-2sr0-2s2.5666或 r 0.1662.0-2二00.095268.1670 K0，所以拒绝0.108H0，接受H1，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2. 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值X 950h.已知该种元件寿命XN ,1002，问这批元件是

3、否合格0.05 ？解由题意知，X N N,1002，n 25，X950 ,0.05,0 100.设统计假设Ho：01000,比：1000.当0.05时,U0.051.65，临界值cVn1007251.6533，拒绝域为K0 xc x 033. X 0950 100050 K。，所以拒绝H 0，接受H1，即认为这批元件不合格3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495（单位：g），假定罐头质量服从正态分布.问1）机器工作是否正常0.05 ？2）能否认为这批罐头质量的

4、方差为5.520.05 ？解设X表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量（单位:g）.由题意知X N N 500, 2，方差2未知.n 9， XXi500.8889，0.05,33.61111,-2 s230.66671）设统计假设H。:500, H1 :0500.t0.97582.306，临界值c5.79752.3064.4564，拒绝域为K0C4.4564.500.88895000.8889K0，所以接受H0，拒绝H1，即认为机器工作正2）当0500已知时,设统计假设H0：225.5 ,H1 :2 2 205.5当0.05时，临界值12C1 nn 20.025 90.3, c2n 12.975

5、 992.1133 ,拒绝域为K0-2二0-2C2或二0Ci-2二0-2 s2.1133 或二00.3.-2二030.66671.01378 K。，所以接受5.5H 0，拒绝H1 ,即为这批罐头质量的方差为5.52.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为3.399元/500克，标准差为0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定3.25元/500克 左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年0.05 ？解由题意知，XNO3.25,，n 20，x 3.399，0.05，s 0.269.设统计假设H 0:03.25, H1 :03.25.当0.05

6、 时,tit0.95 191.729，临界值sc上1n 10.2691.7290.1067，拒绝域为K。x0 cX 00.1067 X 03.3993.25 0.149 K0，所以拒绝Ho,接受H1，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度X N N,0.0482，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2是否明显变大了0.05 ？,0.0482X 1.42125，0.05,1 n8i1 XX 0.01221.设统计假设H 0:22 2 2 200.048 , H1 :

7、020.048 .当0.05时，临界值1s2-2.95 72.01，拒绝域为 K0二702sC 2.01.00.012210.04825.2995 K0，所以拒绝H0，接受 比，即这天生产的维尼纶纤度的方2差明显变大了6.某种电子元件, 件中抽取25 个, 在显著性水平要求平均寿命不得低于2000h，标准差不得超过130h .现从一批该种元测得寿命均值为1950h，标准差s 148h.设元件寿命服从正态分布。试0.05下，确定这批元件是否合格 .解设X表示这批元件的寿命,由题意知X M N 2000,13c2 ，n 25，x 1950，0.05, s 148.1）设统计假设Ho：2000, H

8、i :02000.当0.05 时,t0.05241.711，临界值拒绝域为K0X19501487251.71150.6456，0 C2000X50K0，50.6456.所以接受Ho,拒绝H1，即认为这批元件平均寿命不得低于2000h.22）设统计假设H。：2 21302,H1 :21302.当0.05 时,临界值12420.95241.5175，拒绝域为K0s220C卷 1.5175.0148213021.2961Ko,所以接受Ho，拒绝H1，即认为这批元件标准差不超过130h .所以这批元件合格.7.设 X1,X2,Xn为来自总体XN ,4的样本,已知对统计假设 H。：1；H1 :2.5的拒

9、绝域为K0X 2 .1）当n 9时，求犯两类错误的概率 与P X21 PX21V921氏2晅1.511.50.0668,P X22.5p X 2.52 25忑0.75220.7510.750.2266.2) X N N,4,H。：1,H1：2.5,K0X 2P X21 PX1石2 1需10, n,2222P X22.5p X 2.52 y需1你 00, n22448.设需要对某一正态总体XN ,4的均值进行假设检验H0 :15;H1 :15 取检解 1) X N Nn 9.若要求当H1,4，H0 :1,H1 :中的 13时犯第n类2.5, K0 X 2 ,验水平0.05，试写出检验 H0的统计

10、量和拒绝域2）证明：当n时,0,0.错误的概率不超过0.05，估计所需的样本容量解 X N( ,4),H0：15;H1 :15.拒绝域为K015c，统计量为c1.65vn3.30P X 153.3013132妬 3.30pTTn 1.651Tn 1.650.05，b/n 1.65) 0.95, Vn 1.65U0.951.65,需3.30,n 3.3211.0，所需的样本容量n 11.9.设 X1,X2,|,Xn来自总体 X N N2 20的样本， 0为已知，对假设 H。:Hi：1，其中021，试证明n u1 u1202 .1 0解由题意知，且20为已知，故C U1£，拒绝域为JnK

11、。 XU10vn-P(Xo+C1)PQ1)?17x0,(Ui所以UiUiUiUi210 n20UiUi202 .1 010.设 X1,X2,X17为来自总体XN 0, 22 2样本，对假设H0：9, H1：3.319的拒绝域Kos2 4 .求犯第I类错误的概率和犯第n错误的由题意知0, 2K。1172 17 ,查表得0.025;K。3.31943.3143.31411.设总体的密度函数为17，查表得0.25.f X；1,0 X 1,其他.统计假设H0: =1，H1:=2.现从总体中抽取样本 X1,X2，拒绝域K。二 X22求：犯两类错误的概率解当Ho：=1成立时,f X；1,00,x 1,其他

12、.K0P4XX20.25304x11dx2dx10.25 0.751 n 0.75 ;当比:=2成立时,X；2x,00,x 1,其他.K04XiX2x1x2dx2dx19169ln 0.75.812.设总体2，根据假设检验的基本原理，对统计假设:1)H0：0, H1 ：102已知；2）H0：2未知，试分析其拒绝域.解1）因为X H N当2已知时，PU1H0n，即P0,1，所以拒绝域为K0U1Tn2）因为X N N2，所以当2未知时,用S2作为2的近似，则，rN 0,1，XH。，即 P X 0 st n1Jn所以拒绝域为K0st n 10 W13.设总体根据假设检验的基本原理，对统计假设:1)H

13、0： 2已知;2)H0：0 未知，试分析其解1)因为，当已知时,2nS2-2P nS厂 2H02，即P S所以拒绝域为K02S2)因为X N N，当未知时,S2H0，即S2所以拒绝域为K0S214.从甲乙两煤矿各取若干个样品，得其含灰率甲：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4 ， 乙:18216.9,20216.72假定含灰率均服从正态分布且12.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异0.05 ？解 设X ,Y分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知：X N N( 1, 2),Y# N(2).2 2n 5, m 4,x 21.5, y 18，s-,7.505, s22.59333 .问甲、

14、乙两煤矿的含灰率有无显著差异，因此，可进行以下假设检验。统计假设H0: 42,H0: 12，0.05 ？0.05时，t n m 2t0.975 72.365临界值为21 1 n1 S m1S；2.3651 4 7.505 3 2.5933 3.686674拒绝域为K。 3.68667.由于21.5183.5 Ko所以，接受 Ho,即认为甲、乙两煤矿的含灰率无显统计假设 H0： 12|,H1： 122，著差异.15.设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低。通过试验获得他们的抗拉强度分别为单位：kg/cm2 :甲：88,87,92,90,91乙：89,89,90,84,8

15、8假定两种零件的抗拉强度均服从正态分布且2 212 .问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的0.05 ？解设X ,Y分别表示甲乙两种零件的抗拉强度单位：kg / cm2 .由题意知:X Nn（ 1, 2）,yNn（ 2,2），n5,m 2 25,x 89.6, y 88，s24.3, s25.5.问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高，因此,可进行以下假设检验。统计假设Ho : 12,H1 : 10.05时，t n m 2t0.05 81.86临界值为J 7 1 n 1 S2 m 1 S；1 1 4 4.3 4 5.52.6045 5拒绝域为K0 x y2.604.由于x y 89.6881.6 K0所

16、以，接受H0，即认为甲种零件的抗拉强度比乙种的高.16.甲、乙两车床生产同一种零件 .现从这两车床产生的产品中分别抽取8个和9个，测得其外径单位：mm为:甲：15.0,14.5,15215.5,14.8,15.1,15214.8乙：15.2,15.0,14.8,15.2,15.0,15.0,14.8,15.1,14.8 假设其外径都服从正态分布，问乙车床的加工精度是否比甲车床的高解设X,Y分别表示乙甲两种车床加工零件的外径单位：mm.由题意知:X 种（1, 12）,丫啊2 2 2s7.9011607, s22 )，n 8,m9,x15.0125, y 14.98889，0.0373611 .问

17、乙车床的加工精度是否比甲车床的高，因此，可进行以下假设检验。统计假设H 0 :当 0.05时1, m 1F0.05 7,80.2857142拒绝域为K0Sc 0.2857142.鬻211.48094 K0所以，接受H0，即认为乙车床的加工精度是比甲车床的高17.要比较甲、乙两种轮胎的耐磨性，现从甲、乙两种轮胎中各取8个，各取一个组成一对,Xi甲现再随机地选取8架飞机，将8对轮胎磨损量 单位：mg数据列表如下:4900522055006020634076608650487049304900514057006110688079305010试问对这两种轮胎的耐磨性有无显著差异0.05 ?假定甲、乙两

18、种轮胎的磨损量分别1, 12，丫“N22, 2 ，且两个样本相互独立.12)，解设甲乙两种轮胎的磨损量分别为 X,Y， 单位：mg.由题意知：X N（2,丫 N( 2, I)，X 6145二 5825,s2 1867314.2,s|1204428.5,n 8,m 8.此题假设检验问题是比较两总体的均值与方差1首先对两总体的方差进行检验:由于未知总体的均值1,2，所以当0.05时，拒绝域为6ClFo.025 (7,7)1F0.975 (7,7)0.20044.992S2C2F O.975(7,7)4.992f St辟 1.5504 K0，落在接受域内，所以接受原假设，即2 21 , 2无明显差异

19、.再对两种体的均值进行检验设立统计假设Ho： 1由于2，所以当0.05 时,t1(m22)怙975(14)2.145,s27 1867314.2 7 1204428.5 1535871.414临界值Ct1(m2)sJ1 -2.145 1239.3027 J1 -1420.9235,Vn mV 77拒绝域为Ko xC 1420.9235.由于x61455825320 K0，所以接受H。，可以接受这两种轮胎磨损量无显著差异的结论.18.设总体X M N由两总体分别抽取样本X : 4.4,4.020,4.8Y :6.0,1.0,3.2,0.41）能否认为120.05 ？2）能否认为0.05 ？12，

20、丫卜22, 2 2x 3.8, y 2.65,Si1.546667,s26.436667,n4,m 41）设立统计假设 Ho： 12, H1 :当0.05 时t (m n 2) to.975(6)2.447, s21 23 5466673 6.4366673.991667，3.82.65临界值ct1_(m22)Swj1 丄 2.447 1.9979159V n m13.99177，3拒绝域为K。X3.99177,由于2）统计假设Ho：由于未知总体的均值1,1.15 Ko,二H1： 122，所以当所以接受H。，可以接受0.05时，拒绝域为2K0 ?C1FO.O25 (3,3)FO.975 (3,

21、3)0.064766815.442S-S2C2FO.975 (3,3)15.44P Xp0 C 1P X P0c2F S'S21.5466670.24029 K0，落在接受域内，所以接受原假设，即6.43666719.从过去收集的大量记录发现，某种癌症用外科方法治疗只有2%的治愈率.一个主张化学疗法的医生认为他的非外科方法比外科方法更有效.为了用实验数据证实他的看法，他用他的方法治愈200个癌症病人，其中有6个治好了，这个医生断言这种样本中的 3%治愈率足 够证实他的看法.1）试用假设检验方法检验这个医生的看法;2）如果该医生实际得到了4.5%治愈率，问检验将证实化学法比外科方法更有效

22、的概率是多少? 解设采用化学疗法的治愈率为 p.1）设立统计假设检验 H 0 : P P02%”： P P02%.由于n200是大样本，所以当0.05时，拒绝域为K0 XP0uJF 0(1 P0)1.65 fM!02)0.016334.200由题意知X 6/200 3%,xp00.01 C 0.016334，X落入接受域K0中，所以接受原假设,即在显著性水平为5%下,认为采用化学疗法比采用外科方法更有效2）由于n200是大样本，所以UX P0N（0,1），由题意知Pc)0.2078242，X Poc1 PHOs/麻 S'V vncsfyfnO.。1633.0.8665 .0.805 ；

23、0.2078242/200通过的汽车数量(辆)012345数量f926828111 0问能否认为通过的汽车数量服从P oiss on 分布0.10 ？解设X表示每次观察时通过的汽车数量，分布函数为F(x)，统计假设是H0:F(x) P(),已：F(x)P().r选择检验统计量v2n ( inp)2 .；i1n?将X的取值划分为若干区间，A X 0,人X1, AX 2, A4X3, A5X 4 ；20.在某公路上，50min之间，观察每15s内通过的汽车辆数，得下表:在H0成立的条件下，计算参数的最大似然估计值，通过计算得p1P(X0)0.449329，?2P(X1)0.359463，P3P(X

24、2)0.143785，P4P(X3)0.038343，P5P(X4)0.00908 ；拒绝域为220.90 (3) 6.25计算的样本值，计算过程见表3.3.4.iAiPn?(in ?i)2 n?1X0920.44932989.86580.05068452X1680.35946371.89260.2107634在H。成立的条件下，A (i 1,2,3, 4,5)的概率理论估计值为3X2280.14378528.770.02060824X3110.0383437.66861.44722965X410.009081.8160.36666072001.00002002.0959分布.21.对某厂生产

25、的汽缸螺栓口径进行100次抽样检验，测得100数据分组列表如下:由于?2样本值为2.0959落在接受域内，因而接受Ho，所以通过的汽车数量服从 P 0.805组限 频数 组限 频数10.910.9510.910.9710.97# 10.9910.911.0158203411.011.0311.011.0511.05# 11.0711.07# 11.09试检验螺栓口径的检验值X的分布是否为正态分布0.05 .解设X表示某厂生产的汽缸螺栓口径，分布函数为F(x)，统计假设是xH0：F(x)(),H1：F(x)().选择检验统计量 Fn?17664将X的取值划分为若干区间,Ai10.93 X 10.

26、97, A210.97X 10.99, A310.99 X 11.01，A411.01 X 11.03, A511.03X 11.05 ,A611.05 X 11.09 ；在H0成立的条件下，计算参数2的最大似然估计值2，通过计算得11.0024,20.0010181；H。成立的条件下，A(i 1,2,3, 4,5,6)的概率理论估计值为p1(10.97 11.0024) / 0.0319076)(10.9311.0024) /0.0319076)P21.0154322.26905180.1446(10.99 11.0024)/0.0319076)(10.9711.0024) / 0.0319

27、076)0.38862211.0154320.1921?4?50.23818770.38862210.2465(11.03 11.0024) /0.0319076)(11.0111.0024)/0.0319076)0.86499760.23818770.2113(11.05 11.0024)/0.0319076)(11.0311.0024)/0.0319076)1.49180750.86499760.1259?6(11.09 11.0024) / 0.0319076)(11.0511.0024)/0.0319076)2.74542741.49180750.0796拒绝域为 22.95(3)7.

28、81；布不为正态分布.22.检查产品质量时，每次抽取 10个产品检验，共抽取100次，得下表：80次品数频数012335 4018591000问次品数是否服从二项分布0.05 ?计算的样本值?，计算过程见表3.3.4.iAiPn?(in ?)2 n?1130.144614.460.14741352X0200.192119.210.03248823X1340.246524.653.54655174X2170.211321.130.80723615X360.125912.593.44941226X4100.07967.960.5228141001.00001008.50591570 ?由于?2样本

29、值为8.5059157落在拒绝域内，因而拒绝 H。，所以螺栓口径的检验值 X的分解设X表示每次检查产品时的次品数，分布函数为F(x)，统计假设是H0：F(x)B(10,p),Hi：F(x) B 10, p .选择检验统计量?( i nP) i 1 n?98 H0：Fx(x) Fy(x), Hi：Fx(x)Fy(x)，将X的取值划分为若干区间,X 0, A2 X1, A3 X 2, A4 X 3；在Ho成立的条件下,计算参数P的最大似然估计值P，通过计算得P 0.1；在Ho成立的条件下,A (i 1,2,3, 4)的概率理论估计值为piP(X0)0.3486783，p2 P(X 1) 0.387

30、4204，p3 P(X2)0.1937102，?4 P(X 3)0.0701911 ；拒绝域为20.95(2)5.99；计算的样本值?，计算过程见表3.3.4.iAiPn?(in ?i)2 n?1X 0350.348678334.867830.0005012X 1400.387420438.742040.04084613X 2180.193710219.371020.097036494X 370.07019117.019110.0000521001.00001000.13843550，由于?2样本值为0.1384355落在接受域内，因而接受 H0，所以每次检查时次品数服从B(10,0.1).2

31、3.请71人比较A、B两种型号电视机的画面好坏，认为A好的有23人，认为B好的有45人，拿不定主意的有 3人，是否可以认为 B的画面比A的好 0.10 ？解 设X表示A型号电视机的画面， 丫表示B型号电视机的画面.用符号检验法:由题意知0.10, n 23, n 45, n n n 68，当s (n) s0.10(68)26时，拒绝域为 心 s s (n)26，0.05 ？s min( n ,n ) 23 26，落入拒绝域内，故拒绝H。，即认为B的画面比A的好.甲1 1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.34乙1.211.310.991.5

32、91.411.481.311.121.601.381.601.8412件产品进问这两车间所生产的产品的该项指标分布是否相同24.为比较两车间(生产同一种产品)的产品某项指标的波动情况，各依次抽取 行测量，得下表：Y表示乙车间生产的产品的某项指标的解 设x表示甲车间生产的产品的某项指标的波动, 波动.用符号检验法：由题意知0.05, n 2,n10, n n n12 Ho：Fx(x) Fy(x), Hi：Fx(x) Fy(x)，当s (n)so.o5(12) 2时，拒绝域为 Ko ss (n) 2 ，s min( n , n )22，落入拒绝域内，故拒绝 H0，即认为两车间所生产的产品的该项指标

33、分布显著不同.25.观察两班组的劳动生产率(单位：件/小时)，得下表：4244第1班组第2班组28333440394140424143454646484749问两班组劳动生产率是否相同0.05 ？解设x表示第1班组的劳动生产率,1)用符号检验法：Y表示第2班组的劳动生产率.由题意知0.05,n0,n9, nFy(x)， H0：Fx(x)Fy(x), Hi：Fx(x)当 s (n) 80.05(9)1 时，Kqs s (n) 1 ,s mi n( n ,n) 0 245.57.59.51314.516 283339404142454647 5.57.59.5111214.517183440414

34、24344464849，落入拒绝域内，故拒绝 H。，即认为两组劳动生产率不同2)用秩和检验法：由题意知0.05,n 9,m9，数据的秩见下表.秩1组数据秩2组数据73T t2105 ,当 t1(9,9)66,t2(9,9)105 时，K0 T t166T 73 心，落入接受域内，故接受 H0，即认为两组劳动生产率相同26.观察两样本值如下:2.363.144384257.523.482.765.436.547.41问这两样本是否来自同一总体0.05 ?65432872654p3 P(X 2)0.442358 ,用秩和检验法：由题意知0.05 ,n 8, m6 ,数据的秩见下表.秩1314528

35、101356I数据2.363.147.523.482.765.436.547.41秩76104121049n数据4.384.256.543.287.216.54 H0：Fx(x) Fy(x), H1:Fx(x) Fy(X),当 t1 (6,8) 32,t2(6,8)58时，K。Tt132T /t258 ,解设X表示第I组样本值,Y表示第n组样本值.T 49 K。，落入接受域内，故接受 H 0，即认为这两样本是否来自同一总体27.某种动物配偶的后代按体格的属性分为三类,各类的数目是:10,53,46,按照某种遗传模型其比率之比应为：p2 ：2 p 1 p : 12p ，问数据与模型是否相符0.05 ?解设X表示某种动物配偶后代体格的属性,分布函数为F(x)，由题意知109,0.05，统计假设是 H0：F(x)B(2,1 p),Hi：F(x) B 2,1 p2选择检验统计量 ?( i nP)-i 1 n?将X的取值划分为若干区间,X 0, A2 X1, A3 X 2；在H0成立的条件下,计算参数P的最大似然估计值 P，通过计算得0.334