数学高中数学重要公式和方法集锦ppt课件

1、n121.();().2.3. ,22121UUUUUUnnnCABC AC B CABC AC BABAABBABa aa德摩根公式：包含关系：集合子集的个数：集合中子集共有个，真子集个，非空真子集个.22124.( )(0)( )()(0)( )()()(0).5.( )0( , )( ) ( )0.f xaxbxc af xa xhk af xa xxxxaf xa bf a f b二次函数的三种形式：一般式：；顶点式：；零点式：零点存在的判定：方程在内有实根的充分非必要条件是 121212121212121212126.,()()()()()00( ),()()()()()00( ),

2、2,.xxa bxxf xf xxxf xf xxxf xa bf xf xxxf xf xxxf xa byfg xug xyf u函数单调性：1 若 、，那么在上是增函数；在是减函数；复合函数的单调性与构成它的函数的单调性之间是同增异减 7.( )()()(2)( ).8.12.yf xxaf axf axfaxf xf xfxf xf xfxf xfxf x 函数的对称性：函数的图像关于直线对称函数的奇偶性：是奇函数图像关于原点对称；是偶函数图像关于y轴对称 9.10T0T=4a;30T=2a;T4T.f xTf xTf xf xf xxa af xf xf xxa af xf xfx函

3、数的周期性：是周期函数，且周期为 ；2为奇函数且关于对称是周期函数，且周期为偶函数且关于对称是周期函数，且周期周期为0 周期为 10.1()( )( )( )2()( ) ( )( )3()( )( )( )log4()( ) ( )( ).xaf xyf xf yf xcxf xyf x f yf xaf xyf xf yf xxf xyf x f yf xx几个常见的抽象函数的原型：正比例函数；指数函数；对数函数；幂函数loglog(0,1,0).logloglogloglog1loglog;loglogamnbaNnmaaamnaaabNbaN aaNNNnNbbambbba11.指数式

4、与对数式的互化：12.对数恒等式：a13.换底公式及其推论：；log 10;log1.log ()logloglogloglogloglog()aaaaaaaanaaaMNMNMMNNMnM nR14.对数的性质：15.对数运算法则：； 16.12345678910.求函数值域的常用方法：配方法； 换元法； 反解法； 分离常数法；判别式法； 基本不等式法； 函数单调性法；数形结合法； 导数法；三角代换法11*12111,1,2(1) ()()(1)1() .2222nnnnnnsnassnaand nNn aan ndsnadnad n17.数列通项公式与前n项和的关系：18.等差数列的通项公

5、式：19.等差数列的前n项和公式：1*11111()(1),1,11.1,1,1nnnnnnaa qnNaa qaqqqqssqna qna q20.等比数列的通项公式：21.等比数列的前n项和公式：或22.数列通项的求法： 121321321111annnnnnnnnnSaf naaaaaaaaf naaaaaaaaaabn+1n+12n+1已知式与有关时，常用。2 递推关系为a时，常用。即a3 递推关系为时，常用。即4 递推关系为a姊妹式法累加法累时，常用乘法构造法。n23.求数列前n项和S 的常用方法： 15倒序相加法2 错位相减法3 裂项相消法4 分组求和法并项求和法21nnaaa1适

6、合a形式的数列适合差比数列. 1naf nf n适合通项的数列.nnnabc适合通项的数列.n适合通项带有 -1 的数列.2124.1111nnapxxpxpxpanp分期付款问题：贷款 元， 次还清，每期利率为2225.sinsincos1 tantan1.cos26.cot同角关系：；诱导公式：奇变偶不变，符号看象限2227.sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan().1tantan28.3sincos2sin,sin3cos2sin;63sincos2sin; sincoss4xxxxxxxxxabab两角和与差公式：；化单角单函数公式：2

7、222in()cos,sin.ababab其中2222222222222229.sin2sincoscos2cossin2cos11 2sin2tantan2.1tan30.2sinsinsin31.2cos2cos2cos .11132.sinsinsin222abcRABCabcbcAbcacaBcababCSabCbcAcaB 倍角公式：；正弦定理：余弦定理：；面积定理：2abcss sasbscs其中11221221121212312333./00.34.cos35.(,).33axybxyabx yx yabx xy ya ba bABCxxxyyyG 向量平行与垂直：设，=，；向量

8、夹角公式：的重心坐标公式： 22236. ABC1 O2 O0OO0OAOBOCOAOBOCOA OBOB OCOC OAaOAbOBcOC 四心的向量形式：为外心为重心3为垂心4为内心 37.|(1)38.1 MPABxy.2OPABC1PABAPABAPtABOPt OAtOBMPxMAyMBOPxOAyOBzOC xyz 空间三点共线定理：、 、 共线空间四点共面定理：、 、 、 四点共面存在有序实数对，使对于空间任意一点 ， 点在平面内 22222222()240.241.12()2() ()23242abababRabababab abRabababRabababRabababR39

9、.基本不等式：、重要不等式：求最值常用的四个不等式：一正，二定，三相等.、；、；、4242、线形规、线形规划划1直线定界，特殊点定域。 规范方式，大右小左。2找整点的方法是1调整优值法； 2打网格线法.3)解线性规划运用问题的普通步骤(1)列出约束条件；(2)写出目的函数；(3)画出可行域；(4)找出最优解；(5)求出最大小值222121221221222243.44.0(0,40),.0,;0.45.00abababaxbxcabacx xxxaxbxcx xxxxaxbxcx xxxxa axaxaxaxa axa 绝对值不等式：一元二次不等式的解法：小于在中间，大于在两边.的根且的解集为

10、：或的解集为：含绝对值的不等式的解法：小于在中间，大于在两边.x xaxa 或 21211111212146.47.1() 234150.yyktaxxyyk xxykxbyyxxxyyyxxabAxByC斜率公式：直线的五种形式：点斜式：；斜截式：；两点式：；截距式：；一般式：121212121211112121212222002248.|,1|0.49.|.50.llkk bbllk kABCllllA AB BABCAxByCdAB 1222两直线平行与垂直：；点到直线的距离：两平行线间的距离：CCdAB 2222222121251.1()()20403()()()()0 xaybrxy

11、DxEyFDEFxxxxyyyy圆的方程：标准方程：一般方程：直径式方程：52.52.点与圆的位置关系点与圆的位置关系设点设点P(x0P(x0，y0)y0)，圆，圆(x-a)2+(y-b)2=r2 , (x-a)2+(y-b)2=r2 , 那么那么点在圆内点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2(x0 -a)2+(y0 -b)2r2r2，点在圆上点在圆上 (x0 -a)2+(y0 -b)2=r2(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2，点在圆外点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2(x0 -a)2+(y0 -b)2r2r253.53.线与圆的位置关系线与圆的位置关系(1)(1)设直线设直

12、线l l，圆心，圆心C C到到 l l 的间隔为的间隔为d d那么那么圆圆C C与与 l l 相离相离d dr r，圆圆C C与与 l l 相切相切d=rd=r，圆圆C C与与 l l 相交相交d dr r，(2)(2)由圆由圆C C方程及直线方程及直线 l l 的方程，消去一个未知数，得一的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为，那么，那么l l 与圆与圆C C相交相交0 0，l l 与圆与圆C C相切相切=0=0，l l 与圆与圆C C相离相离0 054.54.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆设圆O1O1的半径为的半径

13、为r1r1，圆，圆O2O2的半径为的半径为r2r2，那么，那么两圆相离两圆相离|O1O2|O1O2|r1+r2r1+r2，外切外切 |O1O2|=r1+r2 |O1O2|=r1+r2，内切内切|O1O2|=|r1-r2|O1O2|=|r1-r2|，内含内含|O1O2|O1O2|r1-r2|r1-r2|，相交相交|r1-r2|r1-r2|O1O2|O1O2|r1+r2| |r1+r2| 222211122255.00 xyD xE yFxyD xE yF两圆相交时的公共弦所在直线方程：121 2222200002222121256.MFMF22FF57.(,)1(0)1.58.| 2 ,(02|

14、)59.aaxyxyP xyabababMFMFaaFF2椭圆的定义：点在椭圆内的充要条件：点在椭圆内双曲线的定义：圆锥曲线的通径：2b椭圆、双曲线的通径长为；抛物线的通径长为2p.a 2222222222222222222260.102031.xyabxybyxababxyyxaabxyabxyxyabab 双曲线方程与渐近线方程的关系：1 双曲线方程为渐近线方程：；渐近线方程双曲线可设为：；双曲线与有共同的渐近线可设为0121261.,02MF262.263.22ppdxCFpCFxppCDxxxxp22抛物线的定义：F抛物线y =2px的焦半径抛物线y =2px的焦点弦长：2222222

15、2121221212264.1max,65.(1) ()41(1) ()4xyka bakbkABkxxx xyyy yk共焦点的圆锥曲线方程：弦长公式： 66.1 .2 .解决直线与圆锥曲线关系问题的常用方法：设而不求，整体代入 适合中点弦问题曲直联立，韦达定理 适合一般问题67.证线线平行的方法v1.假设有线面平行，且经过这条直线的平面假设有线面平行，且经过这条直线的平面与知平面相交，那么这条直线与交线平行；与知平面相交，那么这条直线与交线平行；v2.假设有面面平行，且都与第三个平面相交，假设有面面平行，且都与第三个平面相交，那么交线平行；那么交线平行；v3.利用平行线的传送性；利用平行线

16、的传送性；v4.证明两直线垂直于同一平面；证明两直线垂直于同一平面；v5.证明两直线的方向向量是共线向量证明两直线的方向向量是共线向量.68.证线面平行的方法v1.证明平面外的一条直线与平面内的一条直线证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行；平行；v2.假设有面面平行；那么一个平面内的任何一假设有面面平行；那么一个平面内的任何一条直线都与另一平面平行；条直线都与另一平面平行；v3.证明平面的法向量与直线的方向向量垂直；证明平面的法向量与直线的方向向量垂直；v4.证明直线的方向向量与平面的两相交直线的证明直线的方向向量与平面的两相交直线的方向向量是共面向量方向向量是共面向量.69.证面面平行

17、的方法v1.证明一个平面内的两条相交直线分别平行证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线；于另一个平面内的两条相交直线；v2.证明一个平面内的两条相交直线分别平行证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；于另一个平面；v3.利用平行平面的传送性；利用平行平面的传送性；v4.证明两平面都垂直于同不断线；证明两平面都垂直于同不断线；v5.证明两平面的法向量是共线向量证明两平面的法向量是共线向量.70.证线线垂直的方法v1.利用三垂线定理；利用三垂线定理；v2.假设有线面垂直，那么这条直线垂直于平假设有线面垂直，那么这条直线垂直于平面内的一切直线；面内的一切直线；v3

18、.证明两直线的方向向量的数量积为零证明两直线的方向向量的数量积为零.71.证线面垂直的方法v1. 证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线；证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线；v2. 假设有面面垂直，经过一个平面内的一点垂假设有面面垂直，经过一个平面内的一点垂直与交线的直线与另一个平面垂直；直与交线的直线与另一个平面垂直；v3.假设平行线中的一条与平面垂直；那么另一假设平行线中的一条与平面垂直；那么另一条也与这个平面垂直；条也与这个平面垂直；v4.证明直线的方向向量与平面的法向量共线证明直线的方向向量与平面的法向量共线.72.证面面垂直的方法：v1.证明一个平面的垂线经过另一个平面；证明一个

19、平面的垂线经过另一个平面；v2.证明两平面的法向量垂直证明两平面的法向量垂直. 1212121273.cos.PA2 .sin.ncos3 .ncos.a ba bnPA nnn nnn n 用向量法求空间角：1 .异面直线所成的角：直线与平面所成的角：当 为锐角时，二面角：当 为钝角时74.|75.coscoscosAP nn 用向量法求点到平面的距离及异面直线的距离：d三余弦定理和最小角定理：=MDBOAE=AOB =AOD =DOBcoscos 斜线与平面内一切直线所斜线与平面内一切直线所成的角中，斜线与它的射成的角中，斜线与它的射影所成的角最小影所成的角最小. 2376.77.44.3

20、78.661.1242SRVRaaa在运用斜二测画直观图时，原图面积与直观图面积之比：6原图面积与直观图面积之比为：1：4球的表面积与体积：；球与正四面体：棱长为 的正四面体内切球半径为，外接球半径为内切球半径，外接球半径，正四面体的高之比为1：3：4. 2222279.480.14;2abcRR2长方体与外接球：正方体与球：正方体与外接球：3a正方体与内切球：a=2R.12n1281.N=m +m +m .82.83.(1)(2)(1).()84.(1)(1)1 2()nmnmmnnmmNmmmnAn nnnmnmAn nnmnCAmmnm 分类计数原理：分步计数原理：排列数公式：！组合数公

21、式：！ 1185.12.mn mnnmmmnnnCCccc组合数的两个性质：；0112221012186.()(012).87.CCCC288.222nnnnrn rrnnnnnnnrn rrrnnnnnnnnnabC aC abC abC abC bTC ab rn二项式定理及通项：；通项：， ，各二项式系数的和：奇数项与偶数项的二项式系数和：0 02 21 13 3n nn nn nn nC CC CC CC C 1289.P A+BP AP B .90.P ABP A P B .91.A( )(1).92.10(1,2,)21.kkn knninP kC PPPiPP两个互斥事件有一个发

22、生的概率：两个独立事件同时发生的概率：在 次独立重复试验中，事件 恰有k次发生的概率：离散型随机变量的两个性质：； 1 1222221122293.94.()( )2,.95.96.12,(1).nnnnEx Px Px PE abaEbB n pEnpDxEpxEpxEpDD aba DB n pDnpp 数学期望：数学期望的性质：1； 如果方差与标准差：方差的性质：； 如果 2226112221197.1,.2 698.xnniiiiiinniiiif xexxxyyx ynx ybyabxxxxnxaybx 正态密度函数：回归方程：；其中 199.10;2 ()();3 (sin )cos ;4 (cos )sin ;115 (ln )(log);ln6 ()()ln .nnxxxxxCxnxnQxxxxxaxxaeeaaa 几种常见函数的导数：， 2100.1 ()2 ()3 ( )(0)101.( ( )( ( )( )( ).xuxxuvuvuvuvuvuuvuvvvvyfxyy