一轮复习材料精品教案----定积分部分

1、学习必备欢迎下载一轮复习材料精品教案定积分部分(有详细答案)34定积分1.用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近_似代替、求和、取极限.2.定积分的定义如果函数 f(x)在区间a, b上连续，用分点将区间a, b等分成 n 个小区间，在每个小区n间上任取一点&(i = 1,2，n)，作和式笔 f(&) ZX.当 nis时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a, b上的定积分，记作2f(x)dx.3.定积分的运算性质如 f(x)dx= k?f(x)dx (k 为常数).(2) ?afl(x) 2(x)dx= ?afl

2、(x)dx ?af2(x)dx.(3) ?f(x)dx=酋(x)dx+ 龙 f(x)dx (ac0.(V)学习必备欢迎下载(V)(3) 若?af(x)dx02，若 f(f(1) = 1，则 a =_|x+o3x dx, x 0,n(2) / sin xdx=_ .答案(1)1(2)0解析(1)由题意知 f(1) = lg 1 = 0,f(0) = 0 + a3 03= 1,二 a= 1.由于函数 y= sin x 在区间n，上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在xn轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于 0,即 nsin xdx- -2=0.题型二利用定积分求曲边梯

3、形的面积例 2 如图所示，求由抛物线y= x2+ 4x 3 及其在点 A(0， 3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.思维启迪求出两切线交点 M 的坐标 2, 3，将积分区间分为两段解由题意，知抛物线 y= x2+ 4x 3 在点 A 处的切线斜率是 k1= y |x=0= 4,在点 B处的切线斜率是 k2= y |x=3= 2因此，抛物线过点 A 的切线方程为 y = 4x 3,过点 B的切线方程为 y= 2x+ 6.y= 4x 3,设两切线相交于点M，由y= 2x+ 633消去 y,得 x= 2 即点 M 的横坐标为2在区间 0, I 上，曲线 y= 4x 3 在曲线 y= x2

4、+ 4x 3 的上方；在区间33 上，曲线y = 2x+ 6 在曲线 y= x2+ 4x 3 的上方.因此，所求的图形的面积是3f2232S=0(4x 3) ( x + 4x 3)dx+3( 2x+ 6) ( x + 4x 3)dx2学习必备欢迎下载3-2232=f0 x dx+ f3(x 6x+ 9)dx9 9一4 4- -9 9一8 8思维升华 对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.总已知函数 y= f(x)的图象是折线段ABC，其中 A(0,0)、B(* 5)、C(1,0).函数 y= xf(x)(0wxw

5、1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为 _ .答案 510 x,x 0 , 2,解析由已知可得 f(x) =110X+ 10, x - , 1,fl0 x2,则 y= xf(x)=10 x2+ 10 x,x 0 , 2,1x 2，1，画出函数图象，如图所示，所求面积-2 1 2S= J0(10 x)dx10313x2+-器 + 5x2订=A+( % 5)(理丄+5X罕52 123384 4题型三 定积分在物理中的应用例 3 一物体做变速直线运动，其 v t 曲线如图所示，则该物体1 在 2 s6 s 间的运动路程为_.思维启迪 从题图上可以看出物体在 0wtw1 时做加速运动,1wtw3 时做

6、匀速运动，3wtw6 时也做加速运动，但加速度不同，也就是说 0wtw6 时，v(t)为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积.学习必备欢迎下载2t(0wtw1)解析 由题图可知，v(t)=21WtW3*t+13wt w 61因此该物体在 2 s6 s 间运动的路程为s= jv(t)dt= j2tdt+ 话 2dt + gt+ 1 dt.2113 12649=t | 2+ 2th+ 6t +tb =(m).思维升华定积分在物理方面的应用主要包括：求变速直线运动的路程；求变力所做的功.跟踪训练 3 设变力 F(x)作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x= 1 运动到 x=

7、 10,已知 F(x) = x2+ 1且和 x 轴正向相同，求变力 F(x)对质点 M 所做的功.解 变力 F(x)= x2+ 1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x= 1 运动到 x= 10 所做的功为 W= ?10F(x)dx=?：0(x2+ 1)dx=(Tjx3+ x)|1(0= 342,即变力 F(x)对质点 M 所做的功为 342.思想与方法系列5函数思想、数形结合思想在定积分中的应用典例：(12 分)在区间0,1上给定曲线 y= x2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积0 与 S2之和最小，并求最小值.思维启迪(1)题目要求是求 S 与 S2之和最小，所以要先构造S=

8、 S1S2的函数，利用函数思想求解.(2)Si、S2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分变量.规范解答解 S 面积等于边长为 t 与 t2的矩形面积去掉曲线 y= x2与 x 轴、直线 x= t 所围成的面积，答案494学习必备欢迎下载即 Si= t t2 ?x2dx= ft.2分S2的面积等于曲线 y= X2与 x 轴，x= t , x= 1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为2t,1 t,即 S2= ?x2dx 12(1 t) = |t t2+ .4 分所以阴影部分的面积4|,21八s= S1+ S2= |t t + |(0 tw1).6 分令 S (t) = 4t2 2t= 4t

9、4j=0，得 t = 0 或 t= 1.8 分1 1 1 2t = 0 时，s= |； t=2 时，s= 4； t= 1 时，s= |.10分1 1所以当 t=2 3 4 5时，S 最小，且最小值为 4.12 分温馨提醒(1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是 先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导 数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应 用意识.(2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间思想方法感悟提高方法与技巧1 .求定积分的方法3利用定义求定积分(定义法)，可

10、操作性不强.4利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x);计算 F(b) F(a).5利用定积分的几何意义求定积分2.求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.学习必备欢迎下载(2) 借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3) 将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4) 计算定积分.失误与防范1 .被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分.2 若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3 定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4 定积分的几何意义是曲边梯形的面积，

11、但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷练出高分6 7A 组专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题n72(sin x acos x)dx= 2，则实数 a 等于()A. 1 B. 1 C. .3 D. 3答案 An nsisi上2 20 0 x-acosx d x = cosx-asin xn2Io学习必备欢迎下载=a+ 1 = 2, a= 1.2.由直线nnx= 3，x_3,y_ 0 与曲线 y_ cos x所围成的封闭图形的面积为1A.2B.1%答案D解析nf3ncos x d x =s = sinx_

12、sin 才-sinc 3)_逅3.（2013 江西）若 Si= ?x2dx, S2= ?dx, S3= ?iexdx，则 Si, S2, S3的大小关系为（）A . SiS2S3C . S2S3S1B. S2SiS3D. S3S2S1学习必备欢迎下载 F(x)做的功为 3 .3 J.3二、填空题6 . ?0(x2+ 1)dx=_.答案 12解析呀(x2+ 1)dx= gx3+ x |3= 1x33+ 3= 12.7.如图所示，函数 y= x2+ 2x+ 1 与 y= 1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 _ .答案 4y= x2+ 2x + 1解析由ly= 1得 X

13、1= 0, X2= 2.-S= ?)( 一 x + 2x+ 1 1)dx = ?)( 一 x + 2x)dx答案 B解析 利用定积分的几何意义知 B 正确.4.图中阴影部分的面积是A . 16B. 18C. 20D . 22答案 B25. 一物体在变力 F(x) = 5 x (力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30。方向作直线运动，则由 x= 1 运动到 x= 2 时 F(x)做的功为( )A. .3 J2B. 3JC.4-3JD . 2 3 J答案 C解析 乡 F(x)xcos 30 cfx=呀(5 x2)x于 dx2解析 S=?-2y+ 4 电dy=学习必备欢迎下载3X2

14、 28,431033.8.汽车以 v = 3t + 2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是_ m.答案 6.5解析s=才(3t+ 2)dt= |+ 2t=Ix4+4- 2+2=107=曹(m)-三、解答题19.求曲线 y = .x, y = 2X,y= 所围成图形的面积.fy=/X,解由 S得交点 A(1,1);ty=2xy= 2 x,由彳1得交点 B(3, 1). Iy=3x故所求面积 S= ?0.x+ x dx+ 孑 2 x+ fx dx=3x2+6|0+2x3x21321413=2+1+4=10.汽车以 54 km/h 的速度行驶，

15、到某处需要减速停车，设汽车以等加速度问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解 由题意，得 v0= 54 km/h = 15 m/s.所以 v(t) = Vo at = 15 3t.令 v(t)= 0,得 15 3t= 0解得 t= 5.所以开始刹车 5 s 后，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为3 m/s2刹车,学习必备欢迎下载s= ?0v(t)dt= ?0(15 3t)dt= 15t 故汽车走了 37.5 m.B 组专项能力提升(时间：25 分钟，满分：43 分)季”1 2e1131 e1?)f(x)dx= ?)x dx+ ?jdx= x |o+ In x|1= 3 +41= 4.12

16、._曲线 y= -与直线 y= x, x= 2 所围成的图形的面积为 _xX32设 f(x)= 1 lx,x 0 , 1,x1, e(其中 e 为自然对数的底数)，则？0f(x)dx 的值为(4A.36C.67D.6答案=|t2 20+ 20t2= 350.2|0= 37.5(m).解析根据定积分的运算法则，由题意，可知学习必备欢迎下载=1 600.4.曲线 C : y= 2x3 3X2 2x+ 1,点 pg, 0),求过 P 的切线 I 与 C 围成的图形的面积. 解 设切点坐标为(Xo, yo),2y = 6x 6x 2,则 f (xo)= 6x0 6xo 2,21 切线方程为 y= (6

17、xo 6xo 2)(x 2),贝 V yo= (6x() 6xo 2)( xo- 2),即 2x0 3x0 2xo+ 1 = (6x0 6xo 2)(x ),2整理得 X0(4X0 6x0+ 3) = 0,解得 X0= 0，则切线方程为 y= 2x+ 1.y= 2x+ 1解方程组32y= 2x3 3x2 2x + 1x= 0得y= 1x= 2由 y= 2x3 3x2 2x+ 1 与 y= 2x+ 1 的图象可知3S=0( 2x+ 1) (2x 3x 2x + 1)dx0( 2x3+ 3x2)dx=器5.如图所示，直线 y= kx 分抛物线 y = x x2与 x 轴所围图形为面积 相等的两部分，求 k 的值.解 抛物线 y= x x2与 x 轴两交点的横坐标为 *= 0, X2= 1,所以，抛物线与1 2S= ?)(x x )dx=y= x x2,又y= kx,x 轴所围图形的面积由此可得,学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载抛物线 y = x x2与 y= kx 两交点的横坐标为 X3= 0, X4= 1 k,=6(1 k)3.131 又知 S= 6 所以