3隐函数及参数方程确定

1、第三节第三节 隐函数的导数及由参数方程隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数所确定的函数的导数一、由方程确定的隐函数的导数一、由方程确定的隐函数的导数三、参数方程确定的函数的导数三、参数方程确定的函数的导数二、对数求导法二、对数求导法一、隐函数的导数一、隐函数的导数. )( 0) ,f( 隐隐函函数数称称为为所所确确定定的的函函数数由由方方程程xyyyx .)(显显函函数数形形式式的的函函数数称称为为xfy 0),( yxf)(xfy 隐函数的隐函数的显化显化问题问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: : 视视 y=y(

2、x) , 应应用复合函数的求导法用复合函数的求导法直接直接对对方程方程 f(x, y)=0 两边求导，然后解出两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数即得隐函数的导数.例例1 1. , )( 0 0 xyxdxdydxdyxyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解得得求求导导方方程程两两边边对对视视 , ),( xxyy y解得解得,yxexyedxdy , 0 , 0 yx时时由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 dxdyx xe ye 0 dxdy例例2 2.)23,23( ,3 33的的切切线线方方程程及及法法线线方方程程上上点点求

3、求过过的的方方程程为为设设曲曲线线cxyyxc 解解得得求求导导方方程程两两边边对对视视 , , )( xxyy ,333322yxyyyx )23,23(22)23,23(xyxyy . 1 于是，所求切线方程为于是，所求切线方程为, )23(23 xy. 03 yx即即, 2323 xy法法线线方方程程为为. xy 即即注注 本例中的方程形为本例中的方程形为 f(x, y)=g(x, y), 其确定的其确定的y=y(x) 的求导方法仍然是的求导方法仍然是.。二、对数求导法二、对数求导法利用隐函数求导法求显函数导数的方法。利用隐函数求导法求显函数导数的方法。对数求导法对数求导法： 先先对对

4、y=f(x)（0）两边取对数两边取对数(或加绝对值后或加绝对值后两边取对数两边取对数), 然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围适用范围: :, )( )1()( xvxu函函数数幂幂指指型型方方、开开方方运运算算的的函函数数。含含有有较较多多的的乘乘、除除、乘乘 )2(例例3 3解解. , )0( sinyxxyx 求求设设等式两边取对数等式两边取对数, 得得, lnsinlnxxy 得得求求导导上上式式两两边边对对 , x, 1sinlncos1xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx ? sin）（

5、求求出出能能否否用用问问： xx显显式式求求导导法法例例4 4解解. )142)1(3111()4(1)1( 23 xxxexxxyx, |4|ln2|1|ln31|1|ln|lnxxxxy 得得求导求导上式两边对上式两边对 , x, 142)1(3111 xxxyy. , )4(1)1( 23yexxxyx 求求设设等式两边取绝对值再取对数，得等式两边取绝对值再取对数，得.) ) , 1()1 , 4()4 ,( , ), 4()4,( 函函数数不不恒恒正正；上上导导数数存存在在在在 d三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数., )()( 参参数数方方程程所所确确定

6、定的的函函数数称称此此函函数数为为由由此此间间的的函函数数关关系系与与可可确确定定若若xytytx 例如例如 ,22tytx2xt , )2( , 22xty 此此参参数数方方程程确确定定的的函函数数得得.4)( 2xxyy 即即消去参数消去参数 t问题问题: : 消参数困难或无法消去参数时如何求导消参数困难或无法消去参数时如何求导?);(i )( )( i )( 1xtttxxtxtxxxt 上上有有可可导导的的反反函函数数在在对对应应的的恒恒不不为为零零单单调调、可可导导且且在在上上若若, i )( 上上可可导导在在又又若若ttyy dxdtdtdydxdyxy )(dtdxdtdy1 ,

7、)()(txty )()(txtydtdxdtdydxdy ,i )()( t ttyytxx 对对且且上上可可导导在在 , i )( )()( 1xxyxtytyy : )( )()( 的求导法的求导法确定确定xyytxxtyy 例例5 5解解)()( txtydxdy , cos1sintt taatacossin 2cos12sin 2 tdxdy. 1 时时的的切切线线方方程程。在在求求摆摆线线 2 )cos1()sin( ttayttax, ),12( , 2 ayaxt 时时又又当当得得 所求切线方程为所求切线方程为, )12( axay. )22( axy即即例例6 6解解.)(

8、;)(,sin,cos,的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力 2 1 21 002000ttgttvytvxv xyovxvyv0v. , , )1( 00可可由由切切线线的的斜斜率率来来反反映映切切线线方方向向时时刻刻的的即即轨轨迹迹在在时时刻刻的的运运动动方方向向在在tt)cos()21sin()()( 020 tvgttvtxtydxdy, cossin00 vgtv . cossin 0000 vgtvdxdytt 轴方向的分速度分别为轴方向的分速度分别为、刻沿刻沿炮弹