定积分的应用07983

1、青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部教学目的和要求教学目的和要求掌握用微元法计算旋转体的体积掌握用微元法计算旋转体的体积 旋转体的体积旋转体的体积教学重点教学重点：计算旋转体的体积计算旋转体的体积教学难点教学难点：体积微元的选取。体积微元的选取。青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部主要内容主要内容用微元法求旋转体的体积用微元法求旋转体的体积一、一条曲线绕x 轴旋转所得旋转体的体积 二、两条曲线绕x 轴旋转所得旋转环柱体的体积三、一条曲线绕y轴旋转所得旋转体的体积 四、两条曲线绕y轴旋转所得旋转环柱体的体积五、例析 六、思考与练习 七、

2、小结 八、作业青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部求由曲线) 0()(xfy与直线)(,babxaxxxfad)(dxxfabad)(复习回顾：利用微元法求平面图形的面积复习回顾：利用微元法求平面图形的面积( )yf x和 x 轴所围的曲边梯形面积 a.面积微元为积分得曲边梯形面积为 axyobadx xxda( )yf x青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部xyoxydx xxbadxxx一、设平面曲线( )yf x2ddvyx积分旋转体的体积2 ( ) dbavf xx( )0,f x , x =a，x=b取体积微元:2 ( ) df xx用微元法求旋转体的体积用微元法求旋

3、转体的体积在闭区间a, b上求由曲线( )yf x转体的体积 .及x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得到的旋)(xfy 连续, 且abx青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部xaboy二、平面曲线y1 =f 1(x) 和y2=f 2(x)在区间a, b上f 1(x) f 2(x)0, 它们与x=a,x=b所围图y2=f 2(x)y1=f 1(x)连续, 且满足形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积 .x x+dxxyo积分得旋转环柱体体积2212( ( )( ( ) dbavf xf xx2212( ( )( ( ) df xf xx2212d()dvyyx旋转环柱体体积微元：青岛滨海学

4、院基础理科部青岛滨海学院基础理科部xyodxxx三、设平面曲线( )xg y2ddvxy积分旋转体的体积2 ( ) ddcvg yy( )0,g y , y =c，y=d及y轴所取体积微元:2 ( ) dg yy在闭区间c, d上连续，求由曲线( )xf y绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积 .围成的图形且y+dyy青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部xyo四、曲线x1 =g 1(y) 和x2=g2(y)在区间c, d上连g1(x) g 2(x)0, 它们与y=c, y=d所围图2212d()dvxxy积分后得旋转体的体积2212( ( )( ( ) dbavg yg gx2212(

5、 )( ) dg ygyy取体积微元：续，且满足yy+dy形绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积 .x2=g 2(y)x1=g 1(y)xy青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部x+dxxoyx五、例题解析例1、计算直线 y=k x (k0), 直线x=3, 及x轴围成半径3k高为3 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积 .一个直角三角形. 2ddvyx积分旋转体的体积320() dvkxx取体积微元:2() dkxx29 k将它绕 x 轴旋转一周构成一个底青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部xyo例2、计算两条抛物线212,yx yx所围图形 解解: 由1yx22yx得交点) 1,

6、 1 ( , )0,0(140()dvxxx2212()dvyydx4()xx dx绕 x 轴旋转所生成的旋转体的体积1x x+dx体积微元为积分,得旋转体的体积310青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部1、计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积解解:)(22axaxaabyav02xy d2xxaabad)(220222234abxydx22byaxaabxyo2ddvyx体积微元为得旋转椭球体的体积为六、思考与练习六、思考与练习青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部xy2、试用定积分求圆绕 y 轴旋转而成的环体体积 v 左半圆为222)(yrb222)(yrbrv0222r b221xbry体积微元为右半圆为222xbry2212()dvxx dyxyobyy+dy青岛滨海学院基础理科部青岛滨海学院基础理科部寻找体积微元是解决这一问题关键，根据四种类型找体积微元，从而解决相关