24无穷小与无穷大

1、1无穷小无穷小(infinitely small)无穷大无穷大(infinitely great)小结小结 思考题思考题 作业作业 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2.4 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量第二章第二章 极限理论极限理论2 拉格朗日曾用无穷小分析的方法拉格朗日曾用无穷小分析的方法,系统系统地建立了动力学基础地建立了动力学基础,创立了创立了“分析力学分析力学”. 牛顿对微积分的探讨牛顿对微积分的探讨,可以说使用了无可以说使用了无穷小的方法穷小的方法.的理论称为的理论称为“无穷小量分析无穷小量分析”.常常把整个变量常常把整个变量 欧拉于欧拉于1748年写的二卷名著书名冠以

2、年写的二卷名著书名冠以无穷小分析引论无穷小分析引论.即所谓无穷小量即所谓无穷小量.英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家(16421727)newtonlagrange意大利数学家、力学家意大利数学家、力学家(17361813)瑞士数学家瑞士数学家(1707 1783)euler都可以转化为一种简单而重都可以转化为一种简单而重要的变量要的变量, 数学分析的历史表明数学分析的历史表明,较复杂的变量较复杂的变量,很多变化状态比很多变化状态比31. 定义定义 极限为零的极限为零的变量变量称为称为无穷小量无穷小量, , 简称简称如如,是是函数函数xsin,0时时当当 x,时时当当 x是是函数函数xx

3、sin,2时时当当 x是是函函数数2 x无穷小是指无穷小是指函数变化的趋势函数变化的趋势.,时时当当 n.)1(是无穷小是无穷小数列数列nn ,1时时当当 x.穷小穷小皆非无皆非无;无穷小无穷小;无穷小无穷小;无穷小无穷小无穷小无穷小. .一、无穷小一、无穷小在某个过程中在某个过程中无穷小与无穷大无穷小与无穷大4定义定义1 1),(0 不论它多么小不论它多么小 0 使得当使得当 |00 xx恒有恒有 | )(|xf),0( x或或),|(xx 或或,)(0时的无穷小时的无穷小当当则称则称xxxf0)(lim0 xfxx记作记作1) 无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆不能与很小很小

4、的数混淆;2) 零是可以作为无穷小的零是可以作为无穷小的唯一的数唯一的数.注注 “无穷小量无穷小量”并不是表达量的大小并不是表达量的大小,而是表而是表达它的变化状态的达它的变化状态的.“无限制变小的量无限制变小的量”)( x或或).0)(lim( xfx或或无穷小与无穷大无穷小与无穷大52. 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系定理定理1 1axfxx )(lim0.)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx ),()(xaxf 无穷小与无穷大无穷小与无穷大6例例可表为可表为函数函数时时13,2 xx 13x即即时的无穷小时的无穷小是是其中其中,263( xx. 5)13(lim

5、2 xx故得故得 5)63( x)0)63(lim2 xx无穷小与无穷大无穷小与无穷大例例 已知已知21lim5 ,1xxbxcx求求 的值的值 .,b c7在同一过程中在同一过程中, 有限有限个无穷小的代数和个无穷小的代数和证证是是及及设设 , 0 定理定理2 2仍是无穷小仍是无穷小. .3. 无穷小的运算性质无穷小的运算性质,|1时时当当nx ,|2时时当当nx ,max21nnn ,|时时当当nx | 22 , )(0 x , 01 n;2| .2| , 02 n| 取取恒有恒有恒有恒有恒有恒有的两个无穷小的两个无穷小, ,时时当当 x8无穷多个无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷小的

6、代数和未必是无穷小. .,时时如如 n11之和为之和为个个但但nn注注是无穷小，是无穷小，n1不是无穷小不是无穷小.无穷小与无穷大无穷小与无穷大9定理定理有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .例如例如01limsinxxx2lim() arcsin2xxx10 在同一过程中在同一过程中, ,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个有限个无穷小的乘积也是无穷小无穷小的乘积也是无穷小.推论推论的乘积是无穷小的乘积是无穷小;推论推论推论推论无穷小与无穷大无穷小与无穷大例如例如21limsin4xxx0, limc

7、osln(1)xxx0, limsinxxx01, limsinxxx201, limarctanxxxxxy1sin1 011, limsinxxx11二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. .如如,1x函数函数,0时时当当 x,时时当当 x,2x函数函数是无穷大是无穷大;xcot3x是无穷大是无穷大.无穷小与无穷大无穷小与无穷大12定义定义2 20 使得当使得当 |00 xx恒有恒有mxf | )(|),0( x或或),|(xx 或或,)(0时的无穷大时的无穷大当当则称则称xxxf )(lim0 xfxx记作记作).)(lim( xfx或或),(

8、0 不论它多么大不论它多么大 m)( x或或特殊情形特殊情形: )(lim)(0 xfxxx正无穷大正无穷大,负无穷大负无穷大)(lim()(0 xfxxx或或 定义定义13(1) 无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;无穷大一定是无界函数无穷大一定是无界函数,.)(lim)2(0认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx注注(3) 无穷大与无界函数的区别无穷大与无界函数的区别:它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念.未必是某个过程的无穷大未必是某个过程的无穷大.但是无界函数但是无界函数无穷小与无穷大无穷小与无穷大14xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是

9、无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0mxyk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0m 不是无穷大不是无穷大无界，无界，15 11lim1xx证明证明11 xy1 证证, 0 m,11mx 要使要使,11mx 只要只要,1m 取取,10时时当当 x.11mx 有有.11lim1 xx,)(lim0 xfxx如果如果例例|1| x解出解出)(0 xfyxx 是函数是函数

10、则直线则直线的图形的的图形的铅直渐近线铅直渐近线(vertical asymptote).结论结论xyo1 无穷小与无穷大无穷小与无穷大铅直渐近线铅直渐近线16 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;证证 )(lim0 xfxx设设, 0 .)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx 定理定理恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. ., 0 ,00时时 xx,1)( mxf有有三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系,1 m此时对此时对使得当使得当无穷小与无穷大无穷小与无穷大17, 0)(lim,0 xfxx设设反

11、之反之, 0 m.)(1mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由于由于关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,. 0)( xf且且, 0 ,1)(mxf 有有意义意义无穷小的讨论无穷小的讨论.都可归结为关于都可归结为关于 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;定理定理恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .,1m 此时对此时对使得当使得当,00时时 xx无穷小与无穷大无穷小与无穷大18 两个正两个正(负负)无穷大之和仍为正无穷大之和仍为正(负负)无穷大无穷大; 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大有

12、界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; 有非零极限的变量有非零极限的变量(或无穷大或无穷大)与无穷大之与无穷大之 积仍为无穷大积仍为无穷大; 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大大.容易证明容易证明例例)1(limxxx 求求解解)1(limxxx 无穷小与无穷大无穷小与无穷大19的值和求babaxxxx, 0)1(lim2 例例设在某一变化过程中，设在某一变化过程中， 则必有则必有lim, lim0 lim020,0时xxxxsin,32都是无穷小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速

13、度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、无穷小量的阶四、无穷小量的阶21定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若, 1lim若,0limc或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 22例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限返返回回23无穷小的概念无穷小的概念;无穷小的运算无穷小的运算;无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系