81多元函数的极限与连续

1、推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, , 区别异同区别异同多元函数微分法 及其应用 第一节一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间二、二、 n元函数元函数 三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的极限与连续 第八章第八章 的映射的映射mnrr )(0oppu 00pp一、平面点集一、平面点集 n维空间维空间1. 1. 平面点集平面点集点集点集 , ),(0ppu 称为点称为点 p0 的的 邻域邻域. .坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质p p 的点的集合，的点的集合， ),()

2、,(0yxpu 说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成. )(0pu点点 p0 的的去心去心 邻域邻域记为记为 0pp 2020)()(yyxx在平面上在平面上, ,称为平面点集，记作称为平面点集，记作 . ,pyxyxe具有性质(1) 邻域邻域设有点集设有点集 e 及一点及一点 p : 若存在点若存在点 p 的某邻域的某邻域 u(p) e , 若存在点若存在点 p 的某邻域的某邻域 u(p) e = , 若点若点 p 的的任一任一邻域邻域 u(p) 中既有属于中既有属于 e的点，也有的点，也有e则称则称 p 为为 e 的的内点内点, 例如例如 ；则称则称

3、 p 为为 e 的的外点外点，例如例如 ; 则称则称 p 为为 e 的的边界点边界点，例如例如 . .不属于不属于e的点的点 ,显然显然, e 的内点必属于的内点必属于 e , e 的外点必不属于的外点必不属于 e , e 的的边界点可能属于边界点可能属于 e, 也可能不属于也可能不属于 e . pp3p(2) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点1p2p3p12(3) 聚点聚点若对任意给定的正数若对任意给定的正数 , ,点点p 的去心的去心),(pue邻域邻域内总有内总有e 中的点中的点 , 则称则称 p 是是 e 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于 e , 也可以不属于也可以不属于 e

4、. 聚点可以为聚点可以为 e 的内点的内点 或或e的边界点的边界点注注1 内点一定是聚点；内点一定是聚点；2 边界点可能是聚点边界点可能是聚点, 也可能不是聚点；也可能不是聚点；但但 的点属于的点属于 e , 的点不属于的点不属于 e. 2e3e则点集则点集 31,221 yxyxe中的点都是中的点都是e的内点；的内点；点集点集 1,222 yxyxe中的点都是中的点都是e的聚点，的聚点，3),( 223 yxyxe和和e例如例如: 设点集设点集 ,31,22 yxyxexyod(4)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 e 的点都是内点，则称的点都是内点，则称 e 为开集；为开集； 若

5、点集若点集 e e, , 则称则称 e 为为闭集闭集； 若点集若点集e中任意两点中任意两点 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .e的折线相连的折线相连, , 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域 , ,简称简称区域区域 ; ; e 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 e 的的边界边界, , 记作记作 e ; ;如，如，是闭集、连通集、闭区域是闭集、连通集、闭区域. 31,224 yxyxe都可用一完全属于都可用一完全属于则称则称 e 是是连通集连通集 ;是开集、连通集、是区域；是开集、连通集、是区域； 31,223 yxyxe例如，例如，在平面上在平面上

6、 0),( yxyx 41),(22 yxyx 0),( yxyx 41),(22 yxyx开区域开区域闭区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21 整个平面整个平面 点集点集 1),( xyx是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 , , 也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域 .11oxy 对点集对点集e , 若存在正数若存在正数 k , 使对一切点使对一切点 p e, p与原点与原点 o的距离的距离 op k ,则称则称 e 为为有界点集有界点集； 否则，称为否则，称为无界点集无界点集 .2. n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全

7、体所构成的的全体所构成的,rn 中的每一个元素中的每一个元素kx数数称为该点或该称为该点或该n维维集合集合,记作记作即即rrrr n nkxxxxkn,2,1,r),(21 一个一个点点或一个或一个n维向量维向量, 当所有坐标当所有坐标时时，0 kx称该点为称该点为 nr中的中的坐标原点坐标原点,记作记作0 . 或或n维零向量维零向量,向量的第向量的第 k 个个坐标坐标 .nr称为称为 中的中的nr),(21nyyyy 与与),(r21nnxxxx 中的向量中的向量对于对于以及实数以及实数， 规定规定, ),(2211nnyxyxyxyx , ),(21nxxxx 称引入了上述线性运算的集合称

8、引入了上述线性运算的集合为为nr.)(空间空间实实维维n的的距离距离记作记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyxp ),(21nyyyy 与点与点),(r21nnxxxx 中的点中的点规定为规定为 ,),(yxyxp 或或),(r21nnxxxx 中的点中的点与零元与零元 0 的距离为的距离为22221nxxxx .,3, 2, 1xxn通常记作通常记作时时当当 0r axaxn满足满足与定元与定元中的变元中的变元若若. ax 记作记作并称并称x为向量为向量x的模的模., yxrn与与中的向量中的向量于是，对于于是，对于 yx2222211)()()(nnyxyxyx ),(y

9、xp 则称则称显然显然,ax .,2211nnaxaxax它们的差为它们的差为的极限，的极限，为变元为变元 xa中点中点 a 的的 邻域邻域为为 ),(,r),(axpxxaunnr二、二、 n元函数元函数1. n元函数元函数的映射的映射mnrr 引例引例: 圆柱体的体积圆柱体的体积,2hrv 0, 0),( hrhrhr 定量理想气体的压强定量理想气体的压强,(为常数）为常数）rvtrp 0, 0),(ttvtv 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式)2(cbap cba cbacbacba , 0, 0, 0),( )()(cpbpapps 定义定义8.1 设非空点集设非空点集,rnd

10、 ,rr:ndf映射映射r:df称为定义在称为定义在 d 上的上的 n 元函数元函数 , 记作记作点集点集 d 称为函数的称为函数的定义域定义域 ; 数集数集 dxxfdf )()(称为函数的称为函数的值域值域 . .),()(21dxxxxfxfyn 或或称为称为nxxx,21的子集的子集1r n ),(),(2121nnxxxfyyxxx fndxxx ),(21的的称为函数称为函数),(21nxxxf自变量，自变量，.图形图形特别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有二元函数有二元函数2r),(),( dyxyxfz当当 n = 3 时时, 有三元函数有三元函数),(zyxfu 二元

11、函数的定义域二元函数的定义域一般地一般地, 二元函数二元函数的图形为的图形为空间曲面空间曲面 .z = f (x, y), (x, y) d3r),( dzyx是平面点集是平面点集., )sin(yxz 2r),( yx例如例如, 二元函数二元函数221yxz 定义域为定义域为1),(22 yxyxd圆域圆域图形为中心在原点图形为中心在原点的的上半球面上半球面.又如又如, ,e)(22yxz ,e22yxxyz 三元函数三元函数 的定义域是三维空间的点集的定义域是三维空间的点集.)arcsin(222zyxu 的定义域为的定义域为 1),(222 zyxzyx图形为图形为4r空间中的超曲面空间

12、中的超曲面.单位闭球单位闭球如如, 三元函数三元函数 设非空点集设非空点集,rnd 映射映射mdfr:称为定义称为定义在在 d 上的上的 一个一个n 元向量值函数元向量值函数 , 记作记作,:mnrrdf),(),(2121nmxxxfyyy 或或当当m=1 时时,就是定义就是定义8.1中的中的n 元函数元函数 , 当当n=1 时时,就是就是第七章讲的第七章讲的一元向量值函数一元向量值函数 . 定义定义8.2向量值函数的几何或物理意义举例向量值函数的几何或物理意义举例 ),(),(:21tvvtuurr平面曲线的方程或平面平面曲线的方程或平面质点随时间运动的轨迹质点随时间运动的轨迹. . 的的

13、映映射射mnrr.2 ),(),(),(:31twwtvvtuurr空间曲线的方程或空间空间曲线的方程或空间质点随时间运动的轨迹质点随时间运动的轨迹. . ),(),(:22yxvvyxuurr平面向量场或平面到平面向量场或平面到平面的坐标变换平面的坐标变换. . ),(),(),(:32yxwwyxvvyxuurr曲面的方程或一族空曲面的方程或一族空间曲线间曲线( (当固定当固定x或或y). ). 三、多元函数的极限三、多元函数的极限1. 定义定义8.3 设设 二二 元函数元函数,r, )()(2 dpyx,fpf，dpuyxp),(),(0 , ayxfapf ),(-)(则称则称 a 为

14、函数为函数，或或apfpp )(lim0.),(lim00ayxfyyxx 或或p0(x0, y0) 是是 d 的聚点的聚点 , 若存在常数若存在常数 a ,对于一切对于一切记作记作，时的极限时的极限当当0)(pppfayxfyxyx ),(lim)0,0(),(总有总有使得使得 0, 0 ,注注 3 关于二元函数的极限概念，可相应地关于二元函数的极限概念，可相应地推广推广到到n元元 函数函数 u = f (p), p d rn上去上去; 1 在二元函数极限定义中，在二元函数极限定义中，p p0 是指在是指在 平面上平面上位于位于d内以内以任意方式趋于任意方式趋于p0 ；p0yxo2 二元函数

15、的极限又称为二元函数的极限又称为二重极限二重极限;oxx0axfxx )(lim0对比：对比：一元函数极限一元函数极限4 二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似2. 求二重极限的常用方法求二重极限的常用方法(1) 利用定义利用定义求证求证: 证证. 01sin)(lim222200 yxyxyx0),( yxf22221sinyxyx 22yx 例例122221sin)(),(yxyxyxf , 0 故取故取 01sin)(2222yxyx要使要使 220yx只要只要01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx 当当 时，时， 22)0(

16、)0(0yx原结论成立原结论成立 01sin)(2222yxyx?则则, 例例2(2)用变量代换用变量代换 化二重极限为一元函数的极限化二重极限为一元函数的极限.11lim00 yxyxyx求求解解,11),( yxyxyxf1, 0),( yxyxyxd11lim00 yxyxyxyxt 令令11lim0 ttt)11(lim0 tt. 2 xy1 yx0 yxo求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 yxu

17、2 例例3(3) 利用夹逼准则，重要极限利用夹逼准则，重要极限222yxyx 2220yxyx x21 , 000 yx0lim22200 yxyxyx由由夹夹逼逼准准则则，可可知知22200)sin(limyxyxyx 从从而而)0(22 yx2222200)sin(limyxyxyxyxyx 01 .0 (4)利用极坐标变换，将二重极限化成利用极坐标变换，将二重极限化成 时的极限时的极限)(0任任意意变变化化 解解.)(lim2200yxxxyyx 求极限求极限)0(,sin,cos22 yxyx 令令 cos)cos(sinlim)(0 任任意意 cos)cos(sinlim)(0 任任

18、意意例例42200)(limyxxxyyx 2cos)cos(sin0lim0 . 0 p0趋向于趋向于),(000yxp ，若，若与与 k 有关，则可断言有关，则可断言: 二重极限二重极限.),(lim00不不存存在在yxfyyxx3. 确定极限确定极限不存在不存在的方法的方法：的的值值)(lim)(0pfdlppp 令令),(yxp沿直线沿直线)(:00 xxkyyl (1)xyo )(lim)1(0pfdlppp)(lim)2(0pfdlppp .),(lim00不不存存在在则则yxfyyxx找两条特殊路径找两条特殊路径l1，l2，若，若(2)p0yxol1l2例例5 证明下列极限不存在

19、：证明下列极限不存在：(1);lim00yxyxyx ;lim)2(2200yxxyyx .lim)3(26300yxyxyx 证证 (1)yxyxyxf ),(),(yxyxd 定定义义域域x yoy = x),(lim00yxfyx xyoy=x100lim0 xxx),(lim00yxfxy 100lim0 yyyyxyxyxf ),(),(lim),(lim0000yxfyxfxyyx .lim00不不存存在在yxyxyx )0 ,(lim0 xfx ), 0(lim0yfy (2)2200limyxxyyx 分析分析22),(yxxyyxf 000lim),(lim22000 xxy

20、xfxyx000lim),(lim22000 yyyxfyxy 存在？存在？能否说能否说2200limyxxyyx 不能！不能！xyo证证2200limyxxykxyx 220)(limkxxkxxx 21kk 其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，.lim2200不存在不存在yxxyyx 26300lim)3(yxyxyx 分析分析263),(yxyxyxf ),(lim00yxfkxyx 2420limkxkxx . 0 存在？存在？能否说能否说26300limyxyxyx 不能！不能！xyo2630)(limkxxkxxx 证证取取,3kxy 263003limyxyxkxyx

21、626330limxkxkxxx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故该极限不存在故该极限不存在263),(yxyxyxf 例例6是否存在？是否存在？极限极限问：问：yxxyyx 00lim分析分析yxxyyxf ),()1(lim),(lim000 kkxxkxxyxfxkxyxkkxx 1lim0. 0 存在？存在？能否说能否说yxxyyx 00lim不能！不能！xyoy = - x证证取取xxyxyx 22,即即yxxyxxyx 002lim220)(limxxxxx 1)1(lim0 xx000limlim000 xxyxxyxyxyxxyyxf ),(.lim00

22、不不存存在在极极限限yxxyyx 问：问：下列推导是否正确？下列推导是否正确？)43(sincossincoslimlim000yxxyyx sincossincoslim0 0 答：答：不正确不正确.错误原因：错误原因：，对于确定的对于确定的0)sin,cos(lim0 f0),(lim00 yxfyx时时只只有有当当任任意意变变化化0)sin,cos(lim)(0 f0),(lim00 yxfyx事实上，事实上，时时，当当xxy 2 coscossin22 2coscossin 即即 coscossin22 )sin,cos(lim)coscossin(02 f sincossincosl

23、im)coscossin(02 此值与此值与有关，有关， 原极限不存在原极限不存在. sincos)coscos(coscoscossinlim220 1)1cos(lim0 0)sin,cos(lim)0(0 f四四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义8.4),()(yxfpf 定义在定义在 d 上上,),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx ),(),(000yxpyxf在点在点如果函数在如果函数在 d 上上各点处各点处都连续都连续, ,00dpdp 的聚点，且的聚点，且为为如果如果),(000yxp则称则称的的间断点间断点 .则称函数则称函数连续连续.处处连续

24、连续.记作记作).(),(dcyxf 定义定义8.5),(yxf定义在定义在 d 上上,),(yxf的聚点，的聚点，为为dp0如果如果为函数为函数),(),(000yxpyxf在点在点函数函数处处不连续，不连续，设二设二 元函数元函数则称此函数则称此函数在在 d 上上设函数设函数例如例如, 函数函数 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在在 (0 , 0)点极限不存在点极限不存在(例例5(2), 又如又如, 函数函数11),(22 yxyxf上间断上间断.122 yx 故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点.在圆周在圆周结论结论: 一切多元初等函数在其一切多元初等函数在其定义区域定义区域内连续内连续.例例7 证明证明 ),(yxf)0 , 0(),(,22 yxyxyx)0 , 0(),(,0 yx在全平面连续在全平面连续.证证,)0 , 0(),(处处在在 yx),(yxf为初等函数为初等函数 , 故连续故连续.又又220yxyx 222yxyx 222221yxyx 2200limyxyxyx 0)0 , 0(f 故函数在全平面连续故函数在全平面连续 .由由夹逼准则夹逼准则得得 ),(lim00yxf