常用积分公式教学文案

1、精品文档kdx kxx dx(1)12 dx xc,(4)(6)(10)(14)(15)(16)常用积分公式表例题和点评k为常数)xdx2x231.dx 2 x c x1 dxxaxdxln|x|Inc,exdx exsin xdxcosxdx12sin x12cos x1a212 adxdxcosxsin x c=dx2 x2 dx x-T1dx a x-2 dx x2 a2tan xdxcot x dxcscx dxsecxdx1 x2csc2xdxse(2 xdxx arcsina1 arctan x1 in2acotxtanxaxxaxaac (aca x21alnIn cosxIn

2、sinx c1 dx sin x1 dx cosx(a 0)=dx=ln2ac (ac (ac (a0)0)InInInlncscxcot xsecxtan2tan xTt0),特别,dx arcsin x c0),特别,dx arctanx c精品文档c ( (a 0) a2x x c c a x dx= arcsin _ . a x c2 a 2 (a 0) 、， /(18)r22" ,x r22 al- 22vx a dx= vx a In x Vx a c 22axasin bx b cosbx axe sin bxdx 22 e c(19)a bax . bsinbx ac

3、osbx ax e cosbxdx 22 e ca bc （递推公式）1dx2n 3(a2 x2)n x n 2(n 1)a2(a2 x2)n 1 2(n 1)a2跟我做练习（一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式例24 含根式Vaxbxc的积分,x2 4x 5dx (x 2)21d（x 2）套用公式J(x2)L11一 In (x 22) (x 2)2 1x , x2 4x 5 dx(2x4) 4 . x2 4x 5 dx5d(x24x5) 2 . x24x 5dx（请你写出答案1_,x2 4x二 dx512)2d(x12) ln x 2.(x-2)2-1套用公式

4、（16）(4)=dx ,x2 4x 5(2x4) 4x2 4x 5dxd(x2 4x 5),x2 4x 5_1x2 4x 5dx（请你写出答案）.5 4x x2dx. 32(x 2)2d(x2)32. x 2 arcsin23套用公式2,32 (x 2)2(6)x .5 4x x2dx(4 2x) 4 5 4x x2dx 2-5 4x x2 d(5 4x x2) 25 4x x2 dx2（请你写出答案） d dxd(x 2) ,arcsin上二套用公式5 4x x2. 32 (x 2)23xdx (4 2x) 4 dx 4x x225 4x x21d(5 4x x2) 2 dx25 4x x2

5、5 4x x2（请你写出答案）例25 求原函数dx .1 x4解1所以令x2)因为x4 (1 2x2 x4) 2x2 (1 x2)2 (.2x)2 (1 . 2x x2)(1 . 2x11 x4Ax Bx2. 2x 1Cx D,LD (A, B,C,D为待定常数)x2 、,2x 1(Ax B)(x2 、2x 1) (Cx D)(x2 , 2x 1)x2. 2x 1 x22x 1从恒等式（Ax B）（x2 J2x 1） （Cx D）（x2 V2x 1） 1 （两端分子相等），可得方程组BD1（常数项）AJ2BC<2D0（一次项系数）<2AB<2CD0（二次项系数）AC0（三次项

6、系数）.一-1111解这个方程组（在草纸上做），得A-=,B1, C3 ,D-.因此,2.222,221111：-x -x -，dx 2 22 dx 2 22dx4 xxx1 xx2, 2x 1x2. 2x 1右端的第一个积分为2 2 x 2x22x 1dx1(2x扬衣板 1(2x扬dx14,2x2,2x 14.2 x2, 2x 14x212x 1dx1d(x2,2x 1) 14.2 x2x 11 22 2 x 27 dx(套用积分公式)1 2212ln( x4.21)1_ .、.2x 1) arctan( 2x22arctan(、. 2x 1)类似地，右端的第二个积分为11=x 2 2dxx

7、2. 2x 11 = ln(x22x 1)1 =4,22.2所以,1-dx= lnx44.21 =ln 4.2 x2 、. 2x 1 x2. 2x 1x2 2x 1x2 2x 111-=arctan(j2x 1) -=arctan(.2x 1)2,22,2arctan。(见下注)2.21【注】根据tan( ) -tan一tan,则1 tan tantan arctan( 2x 1) arctan( 2x 1)(2x 1) ( 2x 1) 2 2x 2x因此,arctan( 2x 1) arctan(；2x 1)arctan2x1 x2, dx一.【关于 一S(01),见例17】1 cosx一

8、, dx例 26 求(01).1 cosxx解令t tan 一(半角替换)，则cosxX- 22 > £O C. 2 X 2 x d 2 d 2 彳sin22cos21 1 122? x2 xsec21 tan 221 t21 t2dx d(2arctan t)t2dtdx1 cosx于是,12 * dt2 dtL T22dt 221 ( 2x 1)( 2x 1) 2(1 x2) 1 x2 t2 1 t2(1) (1)t21 J t21 t2121 21 xarctan 1 carctan =tan- c121.12,122【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但

9、不像求它们的微分或导数 那样规范化.这是因为从根本上说，函数 y y(x)的导数或微分可以用一个“构造性”的公 式y (x) limo y(x-h)y(-)- 或 dy y (x)dx确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算,其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如xx2 .1 . e , sinx” 笺e dx, dx, 一dx, dx 等In x xx都不能表示成初