轴对称_最短路径问题

1、名师堂校区地址：南充咨询电话：优学小班提分更快、针对更强、时效更高乩各31专业word可编辑名师堂学校优学小班讲义轴对称最短路径问题现在的数学教学遵循标准的理念，以 生活？数学”，活动？思考”为主线展开课程内容，注重体现,其原型来自于饮马问题”生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用 造桥选址问题”，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上述类型做一个简 单的归纳。例1.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为 AC和BD,且AC=BD ,若Ar点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是

2、多少米？分析：根据轴对称的性质和 两点之间线段最短”，连接A' B得到最短距离为 A' B再根据全等三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值.A1B=100张.故最短距离是1000米.例2.如图，正方形 ABCD, AB边上有一点 E, AE=3 , EB=1 ,在AC上有一点 P,使EP+BP为最最短距离EP+BP.分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B,动点P所在有直线作为对称轴相当于例1中的小河。故根 据正方形 沿对角 线的对 称性，可得无论 P在什么位置，都有 PD=PB ;故均有EP+BP=PE+PD成立；所以原题可以

3、转化为求 PE+PD的最小值问题，分析易得连接 DE与AC,求得交点就是要求的点的位置例3.如图，/XOY内有一点P,在射线OX上找出一点 M,在射线OY上找出一点 N ,使PM+MN+NP 最短.分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性 质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点 分别以直线 OX、OY为对称轴，作点P的对应点Pi与P2,连接P1P2交OX于M ,交OY于N,则PM+MN+NP 最短.例4.如图，荆州古城河在 CC处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD ,EE'桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西 、南北方向的，A、B在东西方

4、向上相距 65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使 ADD E' EB路程最短，这个最短路程是多少米？分析：由于含有固定线段 桥”，导致不能将ADD E' EBI过轴对称直接转化 为线段，常用的方法是构造平行四边形 ，将问题转化为平行四边形的问题 解答.这就是造桥选址问题”解：作AFLCD,且AF=河宽，作BGXCE,且86=河宽，连接GF,与河岸相交于E'、D'.作DD、EEW为桥.证明：由作图法可知，AF/DD , AF=DD ,则四边形AFD D为平行四边形，于是AD=FD ,同理，BE=GE ,由两点之间线段最短可知 ，GF最小；a S"”

5、,“、即当桥建于如图所示位置时 ，ADD E E隈短.汽g p AS3 0）Oi/l _（2o -D 支 例5 . （ 2008?内江）如图，当四边形 PABN的周长最小时，用匕3）a=。分析：因为AB, PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了 .问题就是PA+NB什么时候最 短.把B点向左平移2个单位到B'点；作B'关于x轴的对称点B，连接AB',交x轴于P,从而确定N点位置， 此时PA+NB最短.再求a的值.此题中的PN就相当于造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造平行四边形和轴对称将 折线转之和最短转化为两点之间线段最短.至于抛物线”这

6、一类型的问题，由于综合性较强，这里就不介绍了 。但中纵观上述几题我们不难发 现，这一类题型的解题思路是一样的：找到关于线的对称点实现折“转 直”，再利用 两点之间线段最短 这一性质来解决。攀登高峰一一综合提升B.求作：点C和点D,使得点C在OM1、（一定点两线型）如图，/AOB=30。，AOB内有一定点一点R.画出周长最小的 PaR,并求出最小周长。（两定点两线型）已知：ZMON和/MON内两点A,上，点D在ON上，且AC+CD+BD + AB最短.提示：用1题的解答可以帮助分析出 2题的解答谈谈收获自我反思想一想这节课你有什么收获 格：利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间，线段最短”问题课

7、堂检测如图:在边长为2的正三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮连接BP, GP,则4BPG的周长的最小值是 水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线巩固训练：1 .如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1,4）和（3, 0）,点C是Y轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当三角形ABC的周长最小时，AC+BC=（ ）2 .如图，/AOB=60 °，点P在/AOB的角平分线上，OP=10cm ,点E、F是/AOB两边OA , OB上的

8、动点，当4PEF的周长最小时，点P到EF距离是（）3 .如图，等边4ABC的边长为4, AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2 ,当EF+CF取得最小值时，贝U ZECF的度数为（）A4 .如图所示，正方形ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）4.如图，四边形 ABCD 中，/BAD= 120 ° ,峪ZD= 90 °在 BC、CD上分别找一点 M、N,使4AMN 周长最小时，则ZAMN + ZANM 的度数为（）A.130 ° B.120° C.110° D.