高中数学6.2.1向量的加法运算学案新人教A版必修第二册

1、-12 -预司案，0砥6. 2.1向量的加法运算考点学习目标核心素养平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算研懂导学黄馆 .问题导学预习教材P7 P10的内容，思考以下问题：1 .在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则?2 .向量加法的运算律有哪两个？1.向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算,叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a, b作法在平面内

2、任取一点 A作AB= a, BO b,再作向量AC结论向量瓦时a a与b的和，记作a+b, 即 a+b=ABJC= AC图形法则平行 四边 形法 则前提已知不共线的两个向量a, b作法在平囿内任取一点 Q以同一点O为起点的两个已知向量 a,b为邻边作？OACB结论对角线0（就是a与b的和图形规定对于零向重与佗-向重a,我们规te a + 0 0_+_a-a名师点拨(1)两个法则的使用条件不同.三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量 求和.(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的 限制及和向量与两向量起点相同.(3)位

3、移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.力的合成可以看作向量加法平 行四边形法则的物理模型.3 . |a+b| , |a| , |b|之间的关系一般地，|a+b| w| a|+| b| ,当且仅当a, b互回我啊时等号成立.3.向量加法的运算律交换律a+ b=b+ a结合律(a+ b) + c=a+ (b+ c)判断(正确的打，错误的打“x”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量.()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.()答案：(1) V (2) X (3) X已知非零向量 a, b, c,则向量(a+c)+b, b+(a

4、+c), b+(c+a), c+(b+a), c+(a + b)中，与向量a+b+c相等的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D如图所示，在平行四边形ABCDK XB= a, XD= b,则XMBAu()B. bD. a+ bA. aC. 0答案：B在正方形 ABC珅，|丽 =1,则| 超雨 =答案：,2解惑探究突破平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量 a, b, c,求作和向量a+b+c.【解】 法一：可先作 a+c,再作(a+c) + b,即a+b+ c.如图，首先在平面内任取一 点O,作向量0/a,接着作向量丽=c,则得向量Ob= a+c,然后作向量BC b,则向量OG=

5、 a+ b+ c为所求.法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作.如图，(1)在平面内任取一点 Q作04a, OB= b;(2)作平行四边形 AOBC则0(3= a+ b；(3)再作向量Od= c；(4)作平行四边形CODE则00Oa c= a+ b+ c. Oe即为所求.(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的 和.(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤平移两个不共线的向量使之共起点；以这两个已知向量为邻边作平行四边形；平行四边形中，与两向量共起点

6、的对角线表示的向量为两个向量的和.如图，已知向量 a, b,求作向量a+ b.解：作OA= a, Ab= b,则 Ob= a + b,如图(1).(2)作OAa= a, Ab= b,则Ob= a+b,如图(2).(3)作OAa= a, Ab= b,则Ob= a+b,如图(3).平面向量的加法运算化简:(1)鼠能 一(2) DB C BG A打 DR CN BO FA解(i)BC+ Ab= Ab+ BC=AC一力，一(3) DB C BC=BCCb CD-F DB=(鼠 Ct) + DB= Beh Db= o.(3)超 DF+ CE 鼠 FA= AB+ BC+ C DF+ FA=AO CN DF

7、+ FA _=AD-I- DF+ FA= AF+ FA= 0.规I律I用法向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即 为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.1 .下列等式不正确的是()a+ (b+c) = (a+c) + b； AB+BA= 0； Ab=DCAB+BbA.B.C.D.解析：选b.由向量的加法运算律知正确；因为 叔瀛=0,故不正确； DAfe+Bb= 痴 be Db= AC成立，故正确.2 .如图，E, F, G, H分别是梯形 ABCD(勺边AB

8、, BC CD DA勺中点，化简下列各式：(1) DGF E- C8(2) Ea CGF DA+ EB解： D3fEa+Cb=Go曲Cb=GoCBE=G国上Ge(2) EGF CGF DM EB= EG- GO D小 AE= ED- DM AE= EM AE= 0.向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳.若 他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】 如图，设此人游泳的速度为 Ob水流的速度为OA以OA O为邻边作？oacb则 此人的实际速度为 OAf ob= Oc由勾股定理知|Oc=8,且在RtAACO)

9、, / COA60 ,故此人沿与河岸成 60的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时.规律方限应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向 量问题.(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35。的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从 B地按南偏东55的方向 飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.解：设AB, BC汾别表示飞机从 A

10、地按北偏东35的方向飞行 800 km, 从B地按南偏东55的方向飞行 800 km,则飞机飞行的路程指的是| AB + | BC ;两次飞行的位移的和指的是超BC= AC依题意有 | Ab + |B(J = 800+ 800= 1 600(km),又 a = 35 , 3 = 55 , / ABC= 35 +55 =90 ,所以 I AC = j Ab2 + |BC|2=8002+ 8002= 800啦(小),其中/ BAC= 45 ,所以方向为北偏东 35 +45 =80 ,从而飞机飞行的路程是1 600km,两次飞行的位移和的大小为800。2 km,方向为北偏东 80验怔反馈达标1 .化

11、简O丹*PS+ Sf酌结果等于（）B.OQa.QPC.SPD.SQ解析：选 b.O丹 PQPS+SP吐 Oqf o=Oq2 .在四边形 abcw, XC=XB+AD则一定有（）A.四边形ABC比矩形B.四边形ABC比菱形C.四边形ABC匿正方形D.四边形ABC比平行四边形解析：选D.由AC=ABAD导AD=BC,即AD= BC且AD/ BC所以四边形 ABCD勺一组对 边平行且相等，故为平行四边形.3 .已知非零向量 a, b, | a| =8, | b| =5,则|a+b|的最大值为 .解析：| a + b| w| a|+|b| ,所以|a+b|的最大值为13.答案：134 .已知？ABCD

12、 O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点（靠近D点），求作： AOAC（2）招 BA解：（1）延长AC在延长线上截取 C口AO则向量AF为所求.,一，一一._ 1 _（2）在AB上取点G,使AG= -AB,3则向量bg为所求.A 基础达标a.AB1 .点O是平行四边形 ABCD勺两条对角线的交点，则 AOOoCte于（d.DaB. BCC.C D解析：选a.因为点o是平行四边形 abcd勺两条对角线的交点，则AOOaCB=ACCB=AB故选A.2 .如图，四边形 ABCO梯形，AD/ BG对角线 AC与BDf交于点 Q则OmBAb+DO=()a.CDb.DCc.Dad.Do解析：选 b.

13、OAfBC+ Ab+ Do=DoOafAb+BC= DA+ Ab+ BC= Db+ BC= DC3 .若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行，3 km ”,则向量a+b表示（）A.向东北方向航行 2 km8 .向北偏东30方向航行2 kmC.向北偏东60方向航行2 kmD.向东北方向航行（1 + y3）km1斛析：选B.如图，易知tan a = 所以a = 30 .故a+b的方向是北偏东 30 .又| a+ b| =2 km,故选 B.4.如图所示，在正六边形 ABCDE印，若AB= 1,则|超徒叶的等于ED（）A. 1B. 2C. 3D. 2 31：.解析：选B.由正六边形知

14、FE=C所以 Afe+ fe+ CD= Ab+Bc CD= AD所以 Ab+ fe+ CD = i Ad = 2.故选 b.5 . （2019 云南曲靖一中检测）已知向量a, b皆为非零向量，下列说法不正确的是（）A.若a与b反向，且| a| b| ,则a+b与a同向B.若a与b反向，且| a| b| ,则a+b与b同向C.若a与b同向，则a + b与a同向D.若a与b同向，则a + b与b同向解析：选B.a与b反向，且| a| b| ,则a + b与a同向，所以B错；a与b同向，则a + b与a同向，也与b同向.6 .化简（A%MB + （BUBC + Oivt.解析：原式=（超的+（函Mb

15、+氏=&G务阻。鼠XC答案：AC7 .在菱形 ABCDK / DAB= 60 , | 而=1,则 | B CD =.解析：在菱形 ABC珅，连接BD因为/ DAB 60 ,所以 BAM等边三角形，又因为|丽=1,所以|丽=1,所以 鼠 cD = i bD = i.答案：i8 .已知平行四边形 ABCD设超 CU 鼠 DA= a,且b是一非零向量，给出下列结论：a / b； a+ b= a；a+ b= b；| a+ b| 0, BC+DA= 0,所以a为零向量，因为零向 量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以正确，错误.答案：9 .根据下列条件，分别判断四边形ABCD勺形

16、状：（i）AD-BC（2）Ab= Dcs. i Ab = i Ad|.解：（1）因为 AD-BC 所以 AD/ BC AD- BC所以四边形ABC虚平行四边形.（2）因为Ab=DCa|俞=|AD,所以四边形 abcd是有一组邻边相等的平行四边形，即四 边形ABC四菱形.10 .已知 |OA=| a| =3, |OB = |b| =3, ZAOB=60 ,求 |a+b|.解：如图，因为| OA=iOb = 3,所以四边形OAC的菱形,连接 OC AB 则 OCL AB,设垂足为D.因为/ AOB= 60 ,所以 AB= | OA=3.所以在RtABDO, CD-乎.所以 | Oc = | a+

17、b| = -2-x 2= 3小.B 能力提升11 .已知有向线段由M平行，则（）A. | AER CD| ABB. |AB+ CD 刁 CDC. | AB+ CD 刁 AB + | CD_ 一 一 一 7 一 一一一D. | AB+ CD| AB + | CD解析：选D.由向量加法的几何意义得| a| | b| | a+ b| | a| + | b| ,等号当且仅当a, b共线的时候取到，所以本题中，|屈 前| AB + | Ct）.12 .若P为ABC勺外心，且 Pv 电 PC 则/ ACB=.解析：因为PAV PB= PC,则四边形 APBC1平行四边形.又P为 ABC勺外心，所以 PA

18、= PB = PC.因此/ ACB= 120 .答案：12013 .如图，已知 ABB直角三角形且/ A= 90 ,则下列结论中正确的是 .|超AC = |的；|超m二|的； | Ab2+| AC2 = | 的2.解析：正确.以 AB AC为邻边作？ABDC又/ A= 90 ,A所以？ABDC；矩形，所以AD=BG所以 | Ab+ AC = | AD = | 的.正确.| AbO| = |Cb = |BC|.以正确.由勾股定理知| AB2+| AC2=|BC2.答案：14 .如图，已知向量 a, b, c, d.(1)求作 a+b+ c+ d；(2)设|a| =2, e为单位向量，求|a+e|的最大值.解：(1)在平面内任取一点 Q 作OA= a, XEJ= b, BC= c, Cb= d,则 Od= a+b+c+d.(2)在平面内任取一点 Q 作烝 a, AB= e,则a+e = OA AEJ= OB因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点 B在点B时，O, A, B三点共线，|0甲即|a + e|最大，最大值是3.C