高考数学二轮复习第3部分策略1活用4大数学思想2数形结合思想教案理

1、2.数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间 的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数 作为目的解决数学问题的数学思想 .借助于数的精确性和规范性及严密性来 阐明形的某些属性， 即以数作为手段，形作为 目的解决问题的数学思想.数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能 够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机 结合.A.5 94, 45 9B. 4，4C.9，4 后1d，?1，1 .、一 一一，.一 一一1 一 一 “，一兀一(2)(2019 乌鲁木齐图二质量检测)函数f(x

2、)=2的图象与函数 g(x)=2sin y-x在区间0,4上的所有交点为(X1,y1), (X2, 7公，(xn, yn), 则 f (y1+y2+ + yn) + g(X1 + x2+ + Xn)=1上印 D (2)2 (1)如图,分别画出两函数 丫 = *)和y= Jx+a的图象.4先研究当0WXW1时,1直线y = 4x + a与y= J2x的图象只有一个交点的情况.，一 i 、一当直线y=-4x+a过点R1,2)时,192=彳+a,斛得 a = 4.所以0a1时，直线y= 4x+a与y = x的图象只有一个交点的情况:相切时，由V =7=4，得x=2,此时切点为2,则a=1.11一，.

3、相交时,由图象可知直线y= -4x+a从过点A向右上万移动时与丫二7的图象只有一个交点.过点A(1,1)时，1 = 4+a,解得a=4.所以a*59.结合图象可得，所求实数a的取值范围为4, U1 .故选D.(2)如图,画出函数 f(x)和g(x)在0,4上的图象,可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称,所以yi + 丫2+ 丫3+y4=0, Xi + X2+ X3+ X4= 8,所以 f(yi + y2+y3+y4)+g(Xi +X2 +X3 +X4).11= f(0) +g(8) =2+0=2.应用2在求解不等式或参数范围中的应用x2+ 2x, XW0,【典例2】已知函数f (x) =

4、5,ax,则a的取值范围是In x+1 , x0.B. ( 8, 1A.(巴 0C. 2,1D. 2,0切入点：先画出函数的图象，数形结合求解.D 作出函数y=|f(x)|的图象，如图，当|f(x)| ax时，必有kwaw0,其中k是y = x2 2x(xwo)在原点处的切线余率，显然，k= 2. a的取值范围是2,0.x - 4y + 3W 0,【对点训练2】(1)(2019 武昌模拟)设x, y满足约束条件|x+2y 9W0,则zxl= 2x + y的取值范围是()A. 2,6B. 3,6C. 3,12D. 6,12(2)(2019 全国卷n )设函数f(x)的定义域为 R,满足f(x+1

5、) =2f(x),且当xC(0,18时，f(x)=x(x1).右对任息xC(8, m ,都有f(x)则m的取值氾围是()A.-9OO.-，4B.ooC.-5oo ，2D.oo(1) C (2) B (1)4y + 3W0,不等式组ix+2y-9l表布的平面区域如图中三角形ABC包括边界)所示，作出直线2x+y = 0并平移,可知当直线z = 2x+ y经过点A时，z取得最小值,x= 1, 解方程组.，c cx- 4y+ 3= 0,x= 1得iy=1即A(1,1),所以Zmin=2X 1 +1 = 3,当直线 z=2x+ y经过点B时，z取得最大值，解方程组x 4y+ 3= 0,x+ 2y-9=

6、 0,x= 5得力iy=2,即R5,2),所以-6 -当 1vxW2 时，0Vxzmax= 2X5+ 2= 12,所以z的取值范围为3,12,故选C.(2)当1vxW0 时，0x+1W1,则 f (x) =-f (x +1) =2(x+1) x； -1 1,贝 U f (x) = 2f (x 1) =2(x 1)( x2);当 2vxW3 时，0x-2 1,贝 U f (x) = 2f (x-1) =22f(x-2) = 22( x-2)( x-3),由此可得1 .,，一2 x+ x, 1x0,由此作出函数f(x)的图f(x)=x x-1 , 0x1,3 x-1 x2 , 1x2,22 x-2

7、 x-3 , 2x3,象，如图所示.由图可知当2x338,必有me 7,即实数m的取值范围是一巴 7选，故选B.933 j应用3在平面向量中的应用【典例3】 已知a, b是单位向量，a b = 0.若向量c满足| c-a- b| = 1,则| c|的最大值为()A.# 1B；C. 2 + 1D./+ 2切入点：a, b是单位向量，a-b=0可联想坐标法，以a, b所在直线建系求解.C I a| = | b| = 1,且 a b = 0, .可设 a = (1,0) , b=(0,1) , c= (x, y) . c a - b=(x-1, y- 1).1 | c-a- b| = 1,1 x 1

8、 y- 1 2 = 1,即(x 1)2+ (y 1)2= 1.又| c| =1x2+y2,如图所示.由图可知，当 c对应的点(x, y)在点C处时，| c|有最大值且| c| max= :12+12 +1 = V2 +1.【对点训练3】 已知a, b, e是平面向量，e是单位向量.若非零向量 a与e的夹角为2彳，向重b满足b 4e b+ 3 = 0,则| a b|的取小值是()3A. V3-1B.V3+1C. 2D. 2-73A 设O为坐标原点，a=OAb=OEB= (x,y),e=(1,0),由b24e b+3= 0 得x2+y24x+3=0,即(x2)2+y2=1,所以点B的轨迹是以C(2

9、,0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为-f,所以不妨令点A在射线 y=3x(xo)上，如图，数形结合可知| a-b| min=|CA |Cb=/1.故选A.应用4在解析几何中的应用【典例 4】(1)已知圆 C： (x3)2+(y 4)2=1 和两点 A( - m,0), B(m,0)( m0).若圆 C 上存在点P,使彳导/ APB= 90 ,则m的最大值为()A. 7B. 6C. 5D. 4(2)已知抛物线的方程为 x2=8y, F是其焦点，点 A( 2,4),在此抛物线上求一点 P,使 APF的周长最小，此时点 P的坐标为 .切入点：(1) /APB= 90 ,则点P落在以AB为直

10、径的圆上，画出图形，结合点与圆的位 置关系求解.(2)画出图形，结合图形知 APF的周长取得最小值时 P点的位置.(1) B (2) ; 2, 1) (1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4),1半径 r = 1,且 |AB = 2m,因为/ APB= 90 ,连接 OP 易知 |OP = 2|AB = m要求m的最大值，即求圆 C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC=M32 + 42=5,所 以|OPmax=|OC + r = 6,即m的最大值为6.(2)因为(一2)2 0.x 2m刈 43 x m若存在实数b,使得关于x的方程f(x) = b有三个不同的根，则m的取

11、值范围是 .切入点：(1)画出函数f(X)的图象，借助图象，直观可得最值.(2)画出y=f (X)及y=b的图象，数形结合求解.(1) C (2)(3 , +oo) (1)在同一坐标系中彳出三个函数y=x2+1, y=x+3, y=13x的图象如图.由图可知，在实数集 R上，minx2+1, x+3,13 x为y = x +3上A点下方的射线，抛 物线AB之间的部分，线段 BC与直线y=13X点C下方的部分的组合图，显然，在区间 0 , + 0),在 C点时，y=minx2+1, x+3,13 x取得最大值.y = x+ 3,解方程组i得点Q5,8).|y= 13-x所以 f (X) max= 8.(2)作出f(