湖南师大附中2019-2020学年上学期高二数学第二次测试卷附答案解析

1、湖南师大附中2019-2020学年上学期高二数学第二次测试卷7、单选题12ii（i为虚数单位）的值等于（A.c. ,3D. 22.下列说法中错误的是（A.X 1"是X2 3x 2 0 ”的充分不必要条件B.命题 “x R,sin x 1”的否定为 “ xoR,sin X01”C.命题 若x,y都是偶数，则 x y是偶数”的否命题是 若x, y都不是偶数，则 x y不是偶数”D.设命题p：所有有理数都是实数；命题 q：正数的对数都是负数，则q为真命题3.在等比数列 an 中，an 1 an,a2 a8 6,a4 a65,则a4入一等于（a6A.6B. 一52C.一3D.ABC中，角A、

2、B、C所对的边分别为a、b、c,c若一bAB£(A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等边三角形5.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有（）C. 21 种20种D.12种6.设函数f（公差不为1_. ，一一 2 ,右a,b, c成等差数列x bA. 2B. 4C.D.2b7.已知 ABC为等腰三角形，满足AB AC J3, BC 2,若P为底BC上的动点,uuv uuv 则 AP (ABuuuvAC)A.有最大值8B.是定值2C.有最小值1D.是定值41A. 一68.在学校举行的演讲比赛中， 共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为2D. 一3

3、9.设Fi , F2是双曲线22C：2 誉1（a 0,b 0）的两个焦点，P是C上一点，若PF1PF26a,且 PF1F2的最小内角的大小为30°,则双曲线 C的渐近线方程是（A. x 72y 0B. 、2x y 0C.x 2y 0D. 2x y 02 x10.已知椭圆-2a2y2 1 a b c 0,a2b2b2c2的左右焦点分别为 Fi,F2 ,若以F2为圆心，b c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T,且 PT的最小值不小于3万(ac）,则椭圆的离心率 e的取值范围是（c 3A.0,-5B.C.D.11.已知函数fx在R上可导，其导函数为f X满足:0,2x ,

4、则下列判断一定正确的是（）A. f 1efB.ef 1C.e3f 0D.12.已知f3ax3x2maxf x ,g x且存在小1,2 使 hxoa的取值范围是（x ,，若g x xA. 2,B.138C.,2D.138二、填空题13.设 a24sin, b52sin ,c52tan 5a,b,c的大小关系为14.已知xo,y1,2y2m有解，则实数 m的取值范围是15.已知函数在定义域a,3上是偶函数,0,3上单调递减，并且2m2 ,则m的取值范围是16.已知函数围是三、解答题In x, x若关于x的方程ff x 0有且只有一个实数解，则实数a的取值范17.电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车

5、在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A, B两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A, B两个型号的电动摩托车各 5台,在相同条件下进行测试，统计结果如下：电动摩托车编号12345A型续航里程(km)120125122124124B型续航里程(km)118123127120a已知A, B两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等(1)求a的值;(2)求A型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小;(3)从被测试的电动摩托车中随机抽取 概率.A, B型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过 122 km的21_(汪：n个数据X1,X2, , X

6、n,的万差s x1 x nX1,X2, ,Xn的平均数)2x2 X L_ 2Xn X ,其中X为数据rx r18 .已知向量 a 2cos，1 ,b 2xcos,3cos x2.r r(1)当 a b 时，求 cos x sin 2x 的值;(2)设函数f xr r ra b a,在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f A4,a J10 ,求ABC的面积S的最大值19 .已知各项均不相等的等差数列an的前三项和为 9,且a1，a3,a7恰为等比数列bn的前三项(1)分别求数列an , bn的前n项和Sn,Tn；记数列anbn的前n项和为Kn ,设cnSnTn，求证：cn 1K

7、 n*cn n N20.在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC为正三角形，点 D在本底BC上，且CD 3BD，点E、F分别为 棱AB、BBi的中点.Cl月I(1)证明：AC/平面DEF ；(2)若A1C EF ,求直线 AC1与平面DEF所成的角的正弦值.221 .已知抛物线E : y 2Px p 0经过点A 2,4，过A作两条不同直线112,其中直线li2关于直线x 2 对称.(1)求抛物线E的方程及其准线方程；(2)设直线li, 12分别交抛物线 E于B,C两点(均不与 A重合)，若以线段BC为直径的圆与抛物线 E的准线相 切，求直线BC的方程.a 222.已知函数 f x xlnx

8、,函数 g x - x x a(a R).2(1)求函数f x在e,e 1上的最小值；(2)函数F x f x gx,若Fx在其定义域内有两个不同的极值点，求 a的取值范围；1(3)记F x f x g x的两个极值点分别为 x,x2,且Xi x2.已知 0,若不等式 e x1 x2恒成 立，求 的取值范围.注：e 2.71828 为自然对数的底数.解析湖南师大附中2019-2020学年上学期高二数学第二次测试卷、单选题（i为虚数单位）的值等于（A. 1B.夜C. 73D. 2【答案】B【解析】 根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果【详解】2i 2i 1 i 2i 2i2 2-1 i

9、1 i 1 i 1 i2由 i21,所以-2- 2i2 i 1 所以-2-i 1 / 1 2 12 金1 i 21 i"故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题2 .下列说法中错误的是（）A. X 1"是X23x 2 0 ”的充分不必要条件B.命题 “ x R,sin x 1”的否定为 " x0R,sin x01”x y不是偶数”q为真命题以及真值表，可得结果C.命题 若x, y都是偶数，则 x y是偶数"的否命题是 若x, y都不是偶数，则D.设命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则 p【答案】C 【解

10、析】 采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念,【详解】A正确由 x2 3x 20x1 或 x2,故x 1”是X2 3x 2 0 ”的充分不必要条件B正确特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论C错，若x, y都是偶数，则 x y是偶数”的否命题是若x,y不都是偶数，则 x y不是偶数”D正确命题p：所有有理数都是实数，是真命题 命题q：正数的对数都是负数，比如：lg1002 0,所以命题q是假命题故选：C【点睛】q是真命题本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用,属基础题3.在等比数列 an中，an 1 an,a2a860_a4 一.a65,贝U

11、等于()a65A.一66B. 一5C.3D.一2【解析】根据a2 a8a4 a6,然后与a4a65,可得a4,a6,最后简单计算，可得结果a2 a8a4 a6由a2a86, a4a65a4a65 -所以,又ana4a6 6所以a42,a6 3a42所以a63故选:C在等比数列an中,【点睛】1an ,本题考查等比数列的性质，重在计算，当p q ,在等差数列中有amanapaq,在等比数列中aman 3p3q,灵活应用，属基础题4. ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、,4 Cb、c,右一 cos A,则 ABCA( bA.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】Bsin

12、 (A+B) < sinBcosA,【解析】由已知结合正弦定理可得sinC< sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得,整理可得有sinAcosB< 0,结合三角形的性质可求.A是ABC勺一个内角，0< A<%sinA> 0.,，, < cosA,b由正弦定理可得，sinC< sinBcosA,sin(A+B) < sinBcosA, sinAcosB+sinBcosA sinBcosA, sinAcosB 0 , 又 sinA> 0,cosBO ,即B为钝角，故选B.A. 11 种5.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方

13、式有（）B. 20 种D. 12 种C. 21 种【答案】C【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5,由电路知识分析可得电路接通，则开关 1、2与3、4、5 中至少有1个接通，依次分析开关 1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得 答案.解：根据题意，设 5个开关依次为1、2、3、4、5,若电路接通，则开关 1、2与3、4、5中至少有1个接通， 对于开关1、2,共有2X2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有 1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5,共有2X2X2=情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有 1个接通的8-1=7种情

14、况，则电路接通的，懵况有 3X7=21种；故选C.【考点】分步计数原理点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的 条件.6.设函数f X1 . 2 ,若a, b, c成等差数列（公差不为 x bA. 2【答案】BB. 4C. bD. 2b【解析】根据等差数列的性质可得 2b a c,根据函数f x2关于b,2对称，可得结果由题可知：一一1函数f x 2关于b,2对称x b又a,b,c成等差数列（公差不为0）,则2b a c,所以a, f a , c, f c关于b,2对称所以 fa f c 2 2 4故选：B【点睛】本题考查了等差数列的性

15、质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于b,2对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题.uuv uuv uuuv7.已知 ABC为等腰三角形，满足AB AC J3, BC 2,若P为底BC上的动点，则AP （AB AC）A.有最大值8B.是定值2C.有最小值1D.是定值4【答案】D【解析】设AD是等腰三角形的高.将AP转化为AD Dv，将器ACv转化为2 AUU，代入数量积公式后, 化简后可得出正确选项._ uuv uuu uuu/72.故 AP AB ACuuu/2L 22AD 2.24.所以选 D.【详解】设AD是等腰三角形的高，长度为收不uuvuuvuuu

16、vuuiv2uuvuuu/ADDP2AD2AD2DPAD本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题8 .在学校举行的演讲比赛中,共有6名选手进入决赛,则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为A.B.C.D.【答案】D【解析】计算6位选手演讲的排法有 A6,然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为c：A4,最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：6位选手演讲的排法有 A甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为c 4 A所以所求概率为C4A56011故选：D【点睛】 本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素

17、法，特殊位置法，捆绑法，插空法 等，熟练使用，属基础题.229.设Fi,F2是双曲线C：3 与1(a 0,b 0)的两个焦点，P是C上一点，若PFi PF2 6a,且PF1F2 a b的最小内角的大小为 30°，则双曲线 C的渐近线方程是()A. x 72y 0B.岳 y 0 C. x 2y 0 D. 2x y 0【答案】B【解析】假设点P在双曲线的右支上，由题得PF1 PF2 6a,PFi 4a, PF22a.PF1 PF2 2aQIF1F2 2c32a ,所以最短边是PF2,最小角为PF1F2.由余弦定理得4a2 16a2 4c2 2 4a 2c cos300, c2 2、,3a

18、c 3a20.e2 2 . 3e 3 0, e x3,- a二 222, 22, 22 3, c 3a , a b 3a , b 2a .b J5,所以双曲线的渐近线方程为J2x y 0,故选B.a2210.已知椭圆2-y2-1 a b c0,a2b2c2的左右焦点分别为已下2,若以F2为圆心，bc为半a b径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为 T,且PT的最小值不小于 (a c),则椭圆的离心率e2的取值范围是()A.0，5125, 2【答案】B【解析】根据ptJpf2 2b_c ,计算PF2最小彳t为a c ,可知PT然后pt ®(ac),v Jmlnmin 2 /c

19、c C结合e ，计算，可得结果.【详解】 由题可知：pt Jpf2 2be8817PTJac bc， min .PT的最小值不小于?(a c)PT乌a c)min 2(a c)3T(ac)1化简可彳导:-(ac)2所以bac ,2由a2b2c2 ,所以化简可得：3a22ac5c20，所以3 2c 5a所以5e2 2ec,所以b2所以综上所述:故选：B【点睛】0,所以，则03 2_2, 5 25e0,1 ,所以ec2，1,1本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法,常用结论a cPFa c,把握细节，中档题11 .已知函数f x在R上可导，其导函数为 f' x

20、,若函数f x满足:PT0,2 2x e ,则下列判断一定正确的是()a. f 1 ef 0b. ef 1 f 2c. e3f 0D.e5f1 f 4【答案】C【解析】先设函数f (x)g (x) V2 ,求导可得函数 g(x)在( e,1)为增函数,g(x)在(1,)为减函数,再由f(2 x) f(x)2 xe一判断即可.g(x) g(2 x),即函数g(x)的图像关于直线1对称，再结合函数 g(x)的性质逐解：令g (x)f(x)xe则 g (x)f (x) f(x)因为x 10,所以当x 1时，g(x)0,当 x 1 时，g (x)0,即函数g(x)在(,1)为增函数，g(x)在(1,)

21、为减函数,2 2xe ,所以f(2 x)2 xef(x)x ， e则g(x) g(2 x),即函数g(x)的图像关于直线 x 1对称,则 g(0)g(1),即 f 1ef 0 即 A错误；g(1) g(2)，即 ef 1f 2 即 B 错误；g(0)g(3),即f(0)oef (3)日3 f3-，即 e f3e5 一0 f 3 ,即 C正确；g( 1) g(4)，即 e f 14 ，即D错误.故选C.本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性,再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系,重点考查了函数的性质，属中档题312 .已知 f x ax3x21，定义 h x max f x

22、 ,g xx ,，若 g x xf x , x且存在Xo1,2使hXof x0 ，则实数a的取值范围是(A. 2,B.13C.,2D.13【答案】C【解析】 利用等价转化法可得 f x g x ,然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性 以及计算最值，并与 a比较，可得结果.【详解】由题可知：f x , f x g x ,h x max f x , g xg x , f x g x且存在xo 1,2使h xo f xo等价于f x g x在1,2有解32'2由 f x ax 3x 1,贝I f x 3ax 6x又 g x xf x ,所以 g x3ax3 6x2所以 a

23、x3 3x2 1 3ax3 6x2 在 1，2 有解 一 13即2a -3 在1,2有斛， 3x x人 h13 h'令 h x f 一，h x 3x x所以x 1,2 ,则h x 01 3 .故h x3 在1,2单倜递减3x x所以 hmax xh 14所以2a 4a 2故选：C【点睛】f x g x在1,2有解，熟练使用参数分离本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出 的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题、填空题13.设 asin ,b5.2sin 一52,一,c tan，则a,b, c的大小关系为5【答案】c b a19【解析】利用诱导公式，可彳导asin ,根

24、据y sin x在 0, 的单调性，可彳# a,b大小，然后由据y tanx一2在0,- 的单调性，以及中间值1比较，可得结果【详解】24.一由题可知：a sin sin 5 sin 555由y sin x在0, 一 的单调递增, 2所以 0 a sin b52sin 5又y tanx在0, 的单调递增 2,2，所以c tan tan 1 54所以c b a故答案为：c b a【点睛】214.已知 x 0, y 0 ,且一 x本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间 值，比如：0, 1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题 1,若x

25、 2y m2 2m有解，则实数 m的取值范围是 y【答案】，4 U 2,【解析】利用等价转化法，可得 m2 2mx 2 ymin,根据基本不等式，可得x 2y min，简单计算，最后可得结果由题可知：若x 2y m2 2m有解2则 m 2m x 2ymin,21因为一 一 1 ,且x 0, y 0x y-22 1所以 x 2yx 2y -x yx 4y x 4yx 2y 4 - 4 2 y 8 y x y xx 4y当且仅当一即x 2y时，取等号 y x所以m2 2m 8,一 .2则 m 2m 80 m 4 m 20所以m 4或m 2 ,即m , 42,故答案为： ，4 U 2,【点睛】本题考

26、查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得x 2y 8,对于“1在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题 .15.已知函数f x在定义域 2 a,3上是偶函数，在 0,3上单调递减，并且2 a2f m - f m 2m 2 ,则m的取值范围是. 5【答案】1.2 m -.2【解析】根据函数定义域的对称性求出-，再利用函数的单调性及偶函数彳4到不等式，求解即可【详解】因为函数f x在定义域 2 -,3上是偶函数，所以2 - 3 0,解得-5, 22所以可得f m 1 f m 2m 2又f(x)在0,3上单调递减，所以f(x)在 3,0上单调递增，因为 m21 0，m22m2(m

27、 1)21 0所以由fm2 1 fm22m2可得，2 /2m 1 m 2m 23 m2 1 0 解得16mL4 m2 2m 2 02故m的取值范围是1 J2 m 1.【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题x一i, aa e ,x16.已知函数 f xIn x, x若关于x的方程f f x 0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围是【答案】a,0 U 0,1【解析】令t f x ,利用分类讨论 象交点个数，可得结果a 0,a 0,a 0,通过f t 0,计算t,然后比较y t, yf x 0有且只有一个实数解即等价于yt,yx图象只有一个交点如图0时,0,x

28、 0ln x,x 0t 1Int 0若t 1时，有1个交点当t 0时，有无数个交点,所以a 0 ,不符合题意当a 0时,t 0 aet 0t 0Int 0如图当t 1时，要使t,y f x图象只有一个交点0 ae，所以0 a0时,t aet 0或Int 0如图IF当t 1时，y t, y f x图象只有一个交点所以a 0综上所述：a,0 U 0,1故答案为：a,0 U 0,1【点睛】本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理 能力，属难题.三、解答题B两个5台,17.电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最

29、大距离.为了解A,不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A, B两个型号的电动摩托车各在相同条件下进行测试，统计结果如下：电动摩托车编号12345A型续航里程(km)120125122124124B型续航里程(km)118123127120a已知A, B两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等(1)求a的值；(2)求A型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小;(3)从被测试的电动摩托车中随机抽取 概率.A, B型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过 122 km的21_(汪：n个数据X1,X2, , Xn,的万差s x1 x nX1,X2, ,Xn的平均

30、数)2x2 X L_ 2Xn X ,其中X为数据【答案】(1) 127; (2) 732；(3)212541【解析】(1)分别计算A, B两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果(2)根据(1)的结论，计算 A型号被测试电动摩托车续航里程方差sA2,然后可得SA(3)先计算抽取A, B型号电动摩托车各1台的总数CC；,然后计算没有1台续航里程超过122km的数目，最 后求比值，可得结果.【详解】(1) A型续航里程的平均数：一 120+125+122+124+124Xa =1235B型续航里程的平均数：一 118+123+127+120+ a a 488Xb =5

31、5又xb xa ,所以a 12721- 2- 2.Xn(2)由 s XXx2 X LnA型号被测试电动摩托车续航里程方差：2则 Sa3.2 (km2)所以标准差为sA 3 32(3)抽取A, B型号电动摩托车各 1台的总数C5c5 25没有1台续航里程超过122km的数目为c2c2 4所以至少有1台的续航里程超过 122 km的概率:252125本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量: 平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题rx r18.已知向量 a 2cos-,1 ,bcosX c,3cos x2.r r(1)当a b

32、叱求cos x sin 2x的值;(2)设函数f xr r ra b a,在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f A 4,a 屈，求ABC的面积S的最大值【答案】(1)二；(2)5 102【解析】(1)向量垂直的坐标表示，可得 tanx3,所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切2tan x 1可彳导2力x 1,然后简单计算，可得结果tan x 1(2)根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得 f x ,根据f A 4,可得A 一,然后用勾股定理以2及基本不等式，可得 bc的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果(1)r . r rb，所以a b2cos - ,1

33、 2cosx-,3cos x2.x _sin ,3cos x2x . x所以 2cos 一 sin 一 3cos x 3cos x sin x 022又 cosx 0,所以 tanx 322cos x 2sin xcosx2 tan x 1cos x sin 2x 22 2cos x sin x tan x 12所以 cos x sin 2x2 3 17_23110r r - x . x a b 2cos_+sin_,1 3cosx 22x . xx所以 f x 2cos+sin 2cos - 1 3cos x222门"2 xxxf x 4cos 2sin - cos- 1 3cos

34、x222则 f x 2 1 cosx sin x 1 3cosx所以f xsin x c0sx 3 x2sin x 34由 f A 4,所以 J2sin A -3 44则 sin A 一4由A 0,，所以 A 一4所以A 一 一 A 一 442所以可知三角形ABC为直角三角形则a2 = b2+ c2? 2bc (当且仅当b c时，取等号)又a ，、10，所以bc 515所以S= bc?- 22【点睛】本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题19.已知各项均不相等的等差数列an

35、的前三项和为 9,且a1，a3,a7恰为等比数列 0 的前三项.(1)分别求数列 an , bn的前n项和Sn,Tn； ,SnTn一(2)记数列 anbn的前n项和为Kn ,设cn,求证：g 1 。n N .K nn 3 nn 1【答案】(1) an n 1, bn 2n, Sn , Tn 22； (2)证明见详解23ai 3d 92，ai 2dai ai 6d【解析】（i）根据等差数列的前 n项和公式以及通项公式， 结合等比数列的性质， 可得 可彳a a1,d ,进一步可得 q,然后利用公式法，可得结果（2）根据（i）的结论可得anbn , 果.然后使用错位相减法求和可得Kn,进一步得到Cn

36、 ,然后使用作差法可得结【详解】等比数列bn的公比为q（i）设等差数列an的公差为则由题可知:ai2 a3a2a33a13d所以a1a7ai2daiai6dai dai d(舍)所以ai由 biai2,b2a34,贝I qb2bi所以bn2n,ai +an n2Tnbi i qn(2)所以Kn则2Kni）可知:2n22 22所以-可得:222323242nKn2222232n2n所以 Kn222n ii 2n in 2n i所以Knn 2nSnTnKnn 3 2n 12n 3 n n 1222c n 1n 2则Cn1cnn 4 2n 1 12n 23 2n 12n 12n 1 n 220. .

37、 *所以 cn 1 cn n N【点睛】本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等, 同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题20.在直三棱柱 ABC AB1C1中， ABC为正三角形，点 D在,移BC上，且CD 3BD，点E、F分别为 棱AB、BBi的中点.aA11）证明:AC/ 平面 DEF ;(2)若 A1CEF ,求直线 ACi与平面DEF所成的角的正弦值.见解析；（2） Y66【解析】（1）连接ABi,连接AiB分别交EF、ABi于点G、O,再连接DG ,证明出AG 3BG ,结合条件CD 3BD可得出AC/DG

38、,然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出AC/ 平面 DEF ；取A1B1的中点M ,连接EC、EM ,证明出EM 平面ABC ,且CE边长为2,并设AA a,以点E为坐标原点， EA、EM、EC所在直线分别为AB ,设等边三角形 ABC的 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系E xyz,由A1cEF得出a的值，并计算出平面 DEF的法向量，利用空间向量法求出直线 A1C1与平面DEF所成的角的正弦值.（1）如下图所示，连接 ABi,连接AB分别交EF 、 ABi于点G、O ,再连接DG ,QE、F分别为AB、BBi的中点，则EF/ABi,QEFI BO G,则G为OB的中点,在直三棱柱ABC

39、 A1B1c1中，AA/BB/则四边形AA,B1B为平行四边形,Q AB IAB1 O,。为A1B的中点,1 BG BO2AG 3BG ,CDBD照3,BGAC/DG ,Q AC平面DEFDGAC /平面,连接(2)取A1B1的中点M四边形AA1B1B为平行四边形，则 AB/ABi,QAEMA1是平行四边形,EM 平面ABC ,EC、 EM ,E、M分别为AB、AB的中点，AE/A1M ,所以，四边形EM /AA1 ,在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AA 平面ABC ,ABC是等边三角形，且点 E是AB的中点，CE AB ,以点E为坐标原点,EA、EM、EC所在直线分别为 x轴、y轴、z轴

40、建立空间直角坐标系E xyz,设ABC的边长为2,AA1 a，则点 A 1,0,0、A1,a,0、C10,a,T3、C 0,0,73、E 0,0,0、c3 八、3D-,0,441,2,0uuur一,AC 1, a, .3uuu，EF咚0Q AC EF ,则uuurACuurEFuuuur uuur_Q AC1AC1,0,73 ,uuurED4，0，uuur ,EFr设平面 DEF的法向量为 nuuuvEDx,y,z ，令x 1,可得y枢，zuuuvEF,3z4,2、.3,所以，平面DEFx Ty的一个法向量为1J2J3，uuuur rcosn-r,n) -ACr/ ACi n因此，直线 AC1

41、与平面DEF所成的角的正弦值为 6【点睛】一般建立空间直角坐标系,本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算, 利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题一 221 .已知抛物线E: y 2px p 0经过点A 2,4，过A作两条不同直线1i2,其中直线l12关于直线x 2 对称.(1)求抛物线E的方程及其准线方程；(2)设直线1i,12分别交抛物线E于B,C两点(均不与 A重合)，若以线段BC为直径的圆与抛物线 E的准线相 切，求直线BC的方程.【答案】(1)抛物线E的方程为y2 8x,准线方程为x 2； (2) x y 2 0【解析】(1)代值计

42、算，可得结果.(2)假设直线 AB方程x t y 4 2 (且B在直线x 2左边)，然后抛物线方程结合韦达定理，可得 B , 同理得C ,然后利用准线与圆的位置关系得t,最后简单计算，可得结果 .2(1)由题可知：4 4px p 4所以抛物线E的方程为y2 8x ,准线方程为x 2(2)由题可知：设直线AB方程x t y 42设直线AC方程x t y 42且B在直线x 2左边，则t 0另设 B Xi，Yi ,C x2,y2x t y 42y2 8x8ty 32t 16 0则 4 yl 32t 16yi8t所以为 t y1 48t28t 2故 B 8t2 8t 2,8t一一一 一 2 一一 一同理 C 8t8t 2, 8t 4所以线段BC的中点8t2 2, 4由线段BC为直径的圆与抛物线 E的准线相切，则J 8t2 8t 2 8t2 8t 2 28t 4 8t 4 2 2 8t2 2 22所以 J 16t 216t 2 16t2 8,化简可得：2t2 2J2t 1