复合函数专题导学案

1、开县中学“基于课程标准”导学单数学高2016级高一(上)编制教师课题名称复合函数部分第1,2课时课型问题拓展课课程标准1、能通过已学过的两个初等函数复合理解并掌握复合函数的基本原理及有关概念；2、会用复合函数单调性的复合法则判定复合函数的单调性。学习目标(1) 90烁生能通过已学的初等函数进行复合进一步理解复合函数的基本原理及其概念；(2) 80%学生能运用复合函数单调性的复合法则判定复合函数的单调性及求函数值域等问题；重点理解复合函数的基本原理及有关概念.难点利用复合函数的基本原理解决复合函数的单调性及值域等问题.学习过程学导内容(知识内容、结构图解、关键问题)学导过程(师生活动、行动策略)

2、问题：函数y=f(x)在R上单调递减，则函数yf(ax)(a0,且awl)增减性如何？【模块一】复合函数定义及单调性问题：(1)复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若BA则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.(2)引理及其证明已知函数yf(g(x).若ug(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x)在区间(a,b)上是增函数.证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使ax1x2b因为ug(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)g(x2),

3、记u1g(x1),u2g(x2MPu1u2，且u1,u2(c,d)因为函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即f(g(x)f(g(xz),故函数yf(g(x)在区间(a,b)上是增函数.(3)复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：yf(u)增/减ug(x)增/减增/减yf(g(x)增/减减增/以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”(4)复合函数yf(g(x)的单调性判断步骤：i确定函数的定义域；ii将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。iii分别确定分解成的两个函数的单调

4、性；iv若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数，或都是减函数)，则复合后的函数yf(g(x)为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数，而另一个是减函数)，则复合后的函数yf(g(x)为减函数。【模块二】复合函数单调性问题应用与拓展【例1】求函数ylog1(x22x3)的单调区间，并用单调定义给予2证明,解：.定义域x22x30x3(x22x23)又底数012y2y10即y2y.y在(3,)上是减函数.同理可证：y在(，1)上是增函数.【例2】求函数y=1og1(x25x+4)的定义域、值域和单调区间.3解：由(x)=x25x+40,解得x4或xv1,所以xC(

5、8,1)U(4,十00),当xC(8,1)U(4,+00),|=x2-5x+4=R+,所以函数的值域是R.因为函数y=log1(x25x+4)是由y=log1(x)33与(x)=x25x+4复合而成，函数y=1og1(x)在其定义域上是单3调递减的，函数(x)=x25x+4在(一8,5)上为减函数，在15,22上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y=log1(x23学生：合作探究完成模块二中例1,时间不超过10分钟；其中学生：小组讨论例1的解决方法时间：3分钟学生：展示交流结果，并讨论疑惑问题(5分钟)师：适时点拨，并规范指导生：独立完成师：适时点拨，并规范指导(x) = x2-5

6、x+4)的增区间是定义域内使y=log1(x)为减函数、35x+4也为减函数的区间，即(一00,1)；间是定义域内使y=log1(x)为减函数、3的区间，即(4,十8).y= log1 (x25x+ 4)的减区 3(x) = x25x+ 4为增函数【变式练习1】求下列函数的单调区间及值域。【例3】讨论函数f(x)loga(3x22x1)的单调性.解由3x22x10得函数的定义域为一.、1x|x1,或x3.则当a1时，若x1,u3x22x1为增函数，f(x)loga(3x22x1)为增函数.1右x-,.u3x22x1为减函数.3f(x)loga(3x22x1)为减函数。当0a1时，若x1,则f(

7、x)loga(3x22x1)为减函数，若1x.，则f(x)loga(3x22x1)为增函数.【变式练习2】已知y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，求a的取值范围.解：:a0且aw1当a1时，函数t=2-ax0是减函数由y=loga(2-ax)在0,1上x的减函数，知y=logat是增函数，.a1由x0,1时，2-ax2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y=loga(2-ax)在0,1上x的减函数，知y=logat是减函数，0a0,0a1综上述，0a0,则a的取值范围为(A)5A.(0B.C.(1,+8)2D.(0,+8)3.x2 3x 2 a3.3(a1)的单减区间是_(,-

8、_；单增区间是一-,4.单减区间是；单增区间是5 .已知y=loga(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是ae(1,2).解析：a0且awl(x)=2ax是减函数，要使y=loga(2ax)是减函数，则ai,又2ax0a-(0x1)a0,得0vxv2.3(x)=2x-x2在(0,1)上单调递增，则f(x)在(0,1)上单调递减；(x)=2x-x2在(1,2)上单调递减，则f(x)在1,2)上单调递增.所以f(2xx2)的单调递减区间为(0,1).7 .已知定义域为R的偶函数f(x)在0,+8上是增函数，且f(二)2=0,则不等式f(10g4x)0的解集是x2或0vxv工.2解析：因为f(x)是偶函数，所以f(二)=f(1)=0.又f(x)22在0,+OO上是增函数，所以f(x)在(8,0)上是减函数.所以f(10g4x)010g4x或10g4xv一工.解得x2或0vxv.222三、解答题8、讨论y10ga(ax1),(a0,且a0)的单调性。答案：a1,时(0,)为增函数，1a0时，(，0)为增函数。.2.32x9.设函数f(x)=+1g,3x+53+2x(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性。3-2x,一533一解：(1)由3x+5w0且q0,解得k一且一一vxv一.取交集得3x3.22(2)令(x)=3x+5