复数运算的常用规律和几何意义

1、复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i(a+bi)+(a-bi)=2a(a3bR)(a+bi)(a-bi)二a2+b2(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,bR)222(a-bi)=a-b-2abi(a,bR)等4k4k+14k+24k+32.i=1,i=i,i=-1,i=-i(bN)3. Z+z=2ReZZ-z=2(lmZ)i(其中Re乙ImZ分别表示复数Z的实部和虚部)24. ZZ=IZI则w,=1,1+w+w2

2、=0,6. Z1 Z2Z1 22Z27. I Z 乙 I 二 I Z8. Z=Z ZR9. Z=- z Z4R)(k=Z nOi)10. ri (cos 0 1+is /2 (cosk+isin 0 k)=r.r k cos( 0 1+ 02+ 02+ 0Ok)=IZ1峋Zi久I2石工0)乙=乙22工0)0 2+isin 0 2) rk(cos 03+. +0k)+isin( 0 1+ 03+ +1仝5. 设W=-2+2i复数的几何意义加法的几何意义：设。乙，。Z2各与复数乙，乙对应，以。乙，0Z2为边的平行四边形的对角线OZ就与乙+乙对应。减法的几何意义：设。乙，。Z2各与复数ZI,Z2对应

3、，则图中向量乙乙所对应的复数就是乙-乙。I乙ZI的几何意义是分别与乙，乙对应的两点间的距离。乘法的几何意义：设AB表示复数r(cos0+isin0)(r>0)，把AB绕A点按逆时针方向旋转a角，旋转后再把所得向量的长度变为原来的k倍(k>0)得至(Jac,则ac对应的复数是"(cos0+isin0)k(cosa+isina)，如果寸巴AB绕A点按顺时针方向进行同样方式的旋转和伸缩，那么所得向量对应的复数是r(cos0+isin0)k(cosa-isina)除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，乙一±Z2=Zi(Z2)因此除法运算的几何意义与乘法运算的几何

4、意义实质相同。复数方根的几何意义：设OZ对应的复数是乙Z的n次方根(n2,nN)对应于从原点出发且在原点处n等分圆周角的n个向量，这n个向量的模都是z,其中一个向量的辐角是复数z的辐角的n分之一，图中画出了模为8的向量oz所对应的复数的三次方根。乙严2,%其中。乙的辐角取oz辐角的三分之一 °由复数的几何意义推导的结论Z1. 乙，Z2l0,贝，Z+ZzI=I乙-Z2122=入i(入R且入工0)对应的向量oziJL吟2. 设P点对应的复数为乙，点Q对应的复数为Z2,贝y向量PQ对应的复数是乙-乙3. 向量。绕点P顺时针方向旋转角0(0>0)所得到的向量对应的复数应是(Z2Z)：c

5、os(-0)+isin(-(H1而旋转之后点Q对应的复数应是(Z2-ZJ：cos(-0)+isin(-0门+Z4. IZ-乙I=IZ-Z2I表示以复数乙、乙在复平面内对应的点为端点的线段垂直平分线的方程。5. IZ-Zol=r表示以乙为复平面内对应的点Z。为圆心，半径是r的圆的方程。6. IZ-ZI+IZ-Z2I=2a(2a>|ZZI)表示以乙、乙在复平面内对应的点Z1、乙为焦点，长轴是2a的椭圆方程。7. IZ-ZI-IZZI=2a(2avlZZI)表示以乙、乙在复平面内对应点乙、乙为焦点，实轴长是2a的双曲线方程，在复数集上的方程主要有三个问题：复数集上方程的求解；根据方程解的情况讨论参数的取值范围；与复数集上方程有关的计算或证明。求解复数集上的方程主要有以下四种解法：设Z=x+yi(x,yR)从而转化为关于实数x,y的方程。若是复数集上的二次方