解直角三角形

1、、锐角三角函数的定义根据定义求三角函数值时,一定根据题目图形来理解,严格根据三角函数的定义求解,有时需要通过辅助线来构造直角三角形.、特殊角的三角函数值asinacosatana3012旦2变345叵2红2160近212、解直角三角形1 .在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.2 .解直角三角形的常用关系：在RtAABC中,/C=90,那么：(1)三边关系：a2+b2=c2;解直角三角形正弦:sinA=2A的对边=J斜边c斜边b;正切：tanA=c邻边在RtAABC中,/C=90,AB=c,(2)两锐角

2、关系：/A+/B=90;aba(3)边与角关系：sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=;ccb(4)sin2A+cos2A=1.3.科学选择解直角三角形的方法口诀：斜边求直边,正弦、余弦很方便；直边求直边,理所当然用正切；两边求一边,勾股定理最方便；两边求一角,函数关系要记牢；锐角求锐角,互余关系不能少；直边求斜边,用除还需正余弦.四、解直角三角形的应用1.仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角.俯角：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角.2 .坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=-

3、.l坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,i=tana.坡度越大,a角越大,坡面越陡.3 .方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角叫做方向角.北北偏东 30 度西南方向南偏东50度O北偏西度4 .解直角三角形中“双直角三角形的根本模型:解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解.5 .解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题;(3)选择适宜的边角关

4、系式,使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解.考向一求三角函数的值(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可设为1),在求三角函数值的过程中约去k.(3)正确应用勾股定理求第三边长.(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.典例12sin45的值为A.-B.石C.22D.12【答案】C【解析】把sin45=代入原式彳导:原式=2X=72应选C.221.如图,在ABC中,/C=90.假设AB=3,BC=2,贝UsinA的值为磐合式25c2,、5B,C.335D.叵2考向二利用特殊角的

5、三角函数值求值锐角三角函数值与三角形三边的长短无关,只与锐角的大小有关典例2/A为锐角,且sinA=Y3,那么/A等于2A.15B.30C.45D.60【答案】D【解析】sinA=U3,A=60.应选D.22,a是锐角,sina=cos60,那么a等于A.30B.45C.60D,不能确定考向三解直角三角形的应用解此类题的一般方法：1构造直角三角形；2理清直角三角形的边角关系;数值解答问题.利用特殊角的三角函典例3某山的山顶B处有一个观光塔,该山的山坡面与水平面的夹角/BDC30,山高BC为100米,点E距山脚D处150米,在点E处测得观光塔顶端A的仰角为60,那么观光塔AB的高度是A.50米C

6、.125米【答案】A【解析】如图,作EFLAC于F,EGLDC于G,在RtADEG中,EG=1DE=752, .BF=BC-CF=BC-CE=100-75=25,EF=BFBF=2543tanBEFtan30 ./AEF=60,/A=30,EF_25_3 -AF=tanA33=75,3.AB=AF-BF=50米,故观光塔AB的高度为50米,应选A.3.如图,某湖心岛上有一亭子A,在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B,在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45方向上,测得树B在北偏东36方向上,又测得B、C之间的距离等于200米,求A、B之间的距离偿果精确到1米.参考数据：亚1.414414,

7、 ,sin360.588,cos360.809,tan360.727,cot361.376B.100米D.150米1 .如图,在ABC中,假设/C=90,那么aA.sinA=一cabC.cosA=D.cosA=baC90,B53,假设BCm,那么AB的长为2.计算J2sin451-cos602的值为B.i、3C.D.A.mcos53B.mcos53C.msin53D.mtan533.在RtAABC中,B.bsinA=一c14 .在RtABC中,/C=90,ACAB,那么cosA等于3B5 .菱形ABCD的对角线AC=10cm,BD=6cm,那么tan一为2-5C734D.12、2A.3C.27

8、2D.D.3.36.如图是边长为1sin/BAC为7 .在RtAABC中,B./C=90,B. 4.8,10C.5D.10103sinA=5C.4.6D.4的小正方形组成的网格图,其中点A,B,C均为格点,那么假设AB=10,那么斜边上的高等于8.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,ABC的三个顶点均在格点上,那么tan/ABC的值为AB的坡度是A.80mB.80mmC.40mD.40/3m9.如图,某水库堤坝横截面迎水坡40m,那么迎水坡面的是12i12.如图,在RtABC中,/C=90,BC=12,tanA=一,贝UsinB=一一113 .在4曲中,AB=275,小石,tan/B=2,

9、那么BC的长度为14 .相邻的两根电线杆AB与CD高度相同,且相距BC50m.小王为测量电线杆的高度,在两根电线杆之间某一处E架起测角仪,如下图,分别测得两根电线杆顶端的仰角为45、23,测角仪EF高1.5m,那么电线杆的高度约为m.精确到0.1m,参考数据：sin230.39,B一一A.2海里B. 2sin55海里C. 2cos55海里D.2tan55海里AB的坡度为1：2.4,AB长为3.9米,A.1.732米10.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55方向,距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处,海轮航彳T的距离AB长是11.钓鱼是一项特别锻炼心性的运动,如图

10、,小南在江边垂钓,河堤钓竿AC与水平线的夹角是60,其长为4.5米,假设钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60,那么浮漂D与河堤下端B之间的距离约为参考数据：731732cos230.92,tan230.43115 .：如图,在菱形ABCD中,AEXBC,垂足为E,对角线BD=8,tan/CBD=.2(1)求边AB的长；(2)求cos/BAE的值.16 .如图是小强洗漱时的侧面示意图,洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放,高AD=80cm,宽AB=48cm,小强的身高为166cm,其中下半身FG=100cm,洗漱时下半身与地面成80角(/FGK=80)身体前倾成125角(/EFG=125)脚与洗漱台的距

11、离GC=15cm(点D,C,G,K在同一直线上).(1)此时小强的头部点E与地面DK的距离是多少？(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点.的正上方,他应向前或后退多少？(sin800.9Os80=Q.1T/2=1.41结果精确到0.1cm)1.2021以津2sin60的值等于A.1B.,2C.,3D.212.2021?怀化/“为锐角,且sina=,那么/产2A.30B.45C.60D,903.2021宜昌如图,在5M的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,那BC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin/BAC的值为4.2021?广州如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m

12、,斜坡的倾斜角是/BAC,假设D.12m2021阴州如图,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18万m的地面上,假设测角仪的高度为1.5m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30,那么教学楼的高度是.,30站在A处看路灯顶端.的仰角为35.,再往前走3米站在C处,看路灯顶端.的仰角为65.,那么路灯顶端.到地面的距离约为(sin35=0.6,cos35=0.8,tan35=0.7,sin65=0.9,cos650.4,tan65=2.1)C.4.7米2021杭州如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边OCLOB,点A,B,C,D,O在同一平面内AB=a,AD=b,

13、/BCO=x,那么点A到OC的距离等号A.asinx+bsinxD.acosx+bsinxC.30m5.6.A.55.5mC.19.5mD.18m7.C.asinx+bcosx2021?广西小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,她的目高AB为1.5米,她先B.acosx+bcosx2021?甘肃在ABC中,/C=90,tanA=2/3,贝JcosB=32021?杭州在直角三角形ABC中,假设2AB=AC,那么cosC=.2021?天津如图,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31.,再向东继续航行30m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45.,

14、根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD结果取整数.参考数据：sin31=0.52,cos31=0.86,tan31=0.60.,.434、长.sin53一,cos53一,tan53一5538.9.10.2021?深圳如下图,某施工队要测量隧道长度BC,AD=600米,ADXBC,施工队站在点D处看向B,测得仰角为45.,再由D走到E处测量,DE/AC,ED=500米,测得仰角为53.,求隧道BC月D2021?河南数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像塑像中高者的高度.如下图,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34,再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60.,求炎帝塑像DE的高度.精确到1m.参考数据：sin34=0.56,cos34=0.83,tan34=0.67,J3=1.732021