18第18讲等比数列及其前n项和

1、第18讲等比数列及前n项和基础梳理i. 等比数列的定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比常用字母q表示.2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为ai，公比为q,则它的通项a“= qn_1.3.等比中项：若G2= a b(ab0)那么G叫做a与b的等比中项.4等比数列的常用性质(1) 通项公式的推广：an= am qn m, (n, m N +).(2) 若an为等比数列，且 k+ 1= m + n(k, I, m, n N + )，贝U ak_ai = am_an.若an, bn(项数相同)是等比数列，则入讯

2、存0,)廿r, a2, an bn,瓷：仍是等比数 列.公比不为1的等比数列 an的前n项和为Sn,贝y Sn,翁一 Si,囱一翁仍成等比数列， 其公比为5等比数列的前 n项和公式等比数列an的公比为q(qz 0,)其前n项和为Sn,当q= 1时，詁na1； 当ql时，Sn=计=罟.6. 数列求和的常用方法1. 公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式:Sn =n a1 + ann n2= na1+2 d；等比数列的前n项和公式:na1, q = 1,Sn= a1 anq a1 qn.-=:,qz 1.1 q 1 q2.倒序相加法3.错位相减法4.裂项相消

3、法5.分组转化求和法6.并项求和法三个公式(1_)1 = 1 1nn.+.L. =nn+. 1(2)2n.12n + .1.=1.i丄 = 2 2n .1. 2n.+. 1双基自测11.已知an是等比数列，a2 = 2, a5= 4，则公比q=2. 在等比数列an中，a4= 4，贝V a? a6=.3. 设Sn为等比数列an的前n项和，8a2 + as= 0，则§ =.1 4. 等比数列an的公比q= 2， a8= 1，贝V S&=5. 设 an是公差不为0的等差数列，ai= 2且ai,出，a6成等比数列，则an的前n项和Sn= .f r !6. 等差数列an的通项公式为an

4、= 2n+ 1，其前n项的和为Sn,则数列 晋的前10项的和 为.7. 若 Sn= 1 2 + 3 4+ ( 1)n 1 n, S50=考向一 等比数列基本量的计算【例1】设等比数列an的前n项和为Sn,已知a? = 681 + a3= 30求 a*和Sn.【训练1】等比数列an满足:32a1+ a6= 11, a3 a4=9，且公比 q (0,1).(1)求数列 an的通项公式；若该数列前n项和Sn= 21,求n的值.考向二等比数列的判定或证明【例2】已知数列an满足a1 = 1, a2= 2,an+ 2 =an+ an + 1(1)令bn= an+1 an,证明：bn是等比数列；(2)求a

5、n的通项公式.【训练2】数列 玄的前n项和为sSn =2an -3n,证明：数列：an是等比数列；求数列fan?的通项公式an 。考向三等比数列的性质及应用【例3】已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和.1【训练3】在等比数列a*中，若ai = 24= 4,则公比q =；ai|+p21 + |an|=【例4】已知数列an是首项2a3成等差数列.(1)求公比考向四公式法求和a1= 4，公比q工1的等比数列，Sn是其前 n项和，且4a" a5, q 的值；(2)求 Tn= a2+ a4+ a6+ a2n 的值.【训练4】 在等比数列 a*中，a3= 9, a

6、6= 243,求数列a*的通项公式an及前n项和公式 Sn,并求a9和S3的值.考向五分组转化求和【例5】已知数列Xn的首项xi = 3，通项Xn= 2np+ nq(n N*, p, q为常数)，且Xi, X4, X5 成等差数列.求：(1)p, q的值；数列Xn前n项和Sn的公式.【训练5】求和Sn= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + +寸+ 21.考向六裂项相消法求和【例6】在数列an中，a1= 1,当n2时，其前n项和Sn满足£= a. Sn2 (1)求Sn的表达式； 设bn= 2n+ 1，求 bn的前n项和Tn.12n2【训练6】 在数列an中，an=

7、； +； + -，又bn=，求数列 bn的前nn + 1 n+ 1n + 1an an+1项和Sn.考向七错位相减法求和【例7】已知等差数列an满足a2= 0, a6 + a8=- 10.(1)求数列 an的通项公式;求数列【勺前n项和.【训练7】设数列an满足ai+ 3a2+ 3务+ 3n 1an= £，n N .(1)求数列an的通项公式；设bn= 7，求数列bn的前n项和Sn.an【强化训练】1. 在等比数列an中，a1= 1，公比|q|工若am= a1a2a3a4a5，贝V m=2. 设Sn为等比数列an的前n项和，8a2 + a5= 0，则豈=3. 已知数列an为等比数列，

8、Sn是它的前n项和.若a2 a3= 2a1,且a4与2a?的 等差中项为5,则S5 =44. 等比数列an的公比q > 0.已知a2= 1 , an + 2+ an+ 1= 6an,则 an的前4项和S4=5. 已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9& = 则数列 三的前5 项和为.6. 已知等差数列an的前n项和为Sn,a5= 5,S5= 15,则数列 W 的前100项和为.7. 已知数列an ,bn都是等差数列，a1 = 5,b = 7,且a20 +b20= 60.则an+bn的前20项的和为.&已知等比数列an的前n项和Sn= 2n-1，则a2+ a2 + a2=.9. 已知an为等差数列，且 a3=- 6, a6= 0. (1)求an的通项公式； 若等比数列bn满 足b1=- 8, b2=