完整版等差数列的概念教学设计

1、6.2.1等差数列的概念【教学目标】1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念.2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.3. 通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的水平,渗透由特殊到一般的思想.【教学重点】等差数列的概念及其通项公式.【教学难点】等差数列通项公式的灵活运用.【教学方法】本节课主要采用自主探究式教学方法.充分利用现实情景,尽可能地增加教学过程的趣味性、实践 性.在教师的启发指导下,强调学生的主动参与,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得 出的结论,从而到达使学生既获得知识又开展智能的目的.【教学过程】环节教学内容师生互动设计

2、意图导入问题某工厂的仓库里堆放一批钢管参见教材图 6-1,共堆放了 7层, 试从上到以下出每层钢管的数量.教师出示引例,并提出问 题.学生探究、解答.希望学生能通过 对日常生活中的实际 问题的分析比照,建 立等差数列模型,进 行探究、解答问题, 体验数学发现和创造 的过程.新课从上例中,我们得到一个数列,每 层钢管数为4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.1 .等差数列的定义一般地,如果一个数列从第二项 起,每一项与它前一项的差等于问一个 常数,这个数列就叫做等差数列,这个 常数就叫做等差数列的公差常用字母d 表小.师：请同学们仔细观察, 看看这个数列有什么特点学生观察、答复.教师总结特征

3、：从第二项起,每一项与它 前面一项的差等于问一个常数 即等差.我们给具有这种特征的数 列一个名字一一等差数列.教师板书定义.师：等差数列的例子,在 生活中有很多,谁能再举几 个由特殊到一般, 发挥学生的自主性, 培养学生的归纳能 力.在学生自主探 究的根底上得出定 义和公式,更有利于 学生理解和运用.练习一抢答：卜列数列是否为等差数列1, 2, 4, 6, 8, 10, 12,；0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,；3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,；2, 4,乙 11, 16,；一8, -6, - 4, 0, 2, 4,；3, 0, - 3, 6, 9, 注意：求公差 d ,定要用

4、后项减前 项,而/、能用前项减后项.教师出示题目.学生思考、抢答.师：你能说出练习一中,各等差数列的公差吗学生说出各题的公差 d.教师订正并强调求公差应 注意的问题.新课2. 常数列特别地,数列3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, -也是等差数列,它的公差为0.公差为0的数列叫做常数列.3. 等差数列的通项公式首项正a,公差是d的等差数列an 的通项公式可以表示为an= a1 + (n- 1)d.师：一个等差数列an的首项是a,公差是d,如何求出它的任意项 an呢学生分组探究,填空,归纳总结通项公式a2 = a1 + d,a3= + d = + d=a1 + d,a4= + d = + d

5、=a1 + _ d,4.通项公式的应用根据这个通项公式,只要首项an = a1 + d.师：一个等差数列的各项, _和_就可以确定下来师：等差数列的通项公式a和公差d,便可求得等差数列的任息项an.中共有几个变重事头上,等差数列的通项公式中共 有四个变量,知道其中二个,便可求出引导学生观察、 归纳、猜想,培养学 生合理的推理水平.学生在分组合 作探究过程中,可能 会找到多种不同的 解决方法,教师要逐 一点评,并及时肯 定、赞扬学生善于动 脑、勇于创新的品 质,激发学生的创造 意识.第四个.例1求等差数列8, 5, 2, -的通教师引导学生分析此题,项公式和第20项.什么求什么怎么求解 由于 a

6、i= 8, d = 5-8= 3,所学生思考、说出、所以这个数列的通项公式是求,代入通项公式.an = 8+( n-1) x (-3),强调：通项公式是用含有即 an = 3n + 11 .所以n 的式子表小an .a20= 3X 20 + 11 = -49.学生尝试解答后,师生共同板书解题过程.例2 等差数列一5, 9, 13, -仿照例1,教师引导、点的第多少项是一401?拨.解由于a1= 5,而且学生解答.d = 一 9一 (一 5)= 一 4,多媒体出示解题过程.an = 401,学生核对、订正.所以401= 5+ (n 1) X (-4).教师强调解题过程要规解得n=100.范、严谨

7、.新即这个数列的第100项是一401 .课练习二(1) 求等差数列 3,乙11, 4, 7, 10 项.(2) 求等差数列10, 8, 6, - 20项.练习三在等差数列an 中：,八,1一,、(1) d = 3 , a7= 8,求 a1;(2) a1= 12 , a6= 27,求 d.例3在3与7之间插入一个数 使3, A, 7成等差数列,求A.解 由于3, A, 7成等差数列, 以A-3 = 7 A, 2A = 3 + 7 .的第的第A,所学生练习.请学生在黑板上做题.教师巡视指导.师生共同订正.教师出例如题.学生同桌之间合作探究.学生分析解题思路.教师出示答案,订正.师：在a与b之间插入

8、一鼓励学生自主解答,培养学生运算 水平.通过例题,强化 学生对等差数列通 项公式的理解,强化 学生学以致用的意 识.由特殊到一般, 发挥学生的自主性, 培养学生的归纳能 力.解得A=5.5.等差中项的定义一般地,如果a, A, b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.6.等差中项公式如果A是a与b的等差中项,那么这就说明,两个数的等差中项就是它们的算术平均数.7. 一个结论在等差数列 ai, a2, a3,an,-中,a2 =a1 + a32,a3 =a2 + a42,an1 + an+1an =这就是说,在一个等差数列中,从第2项起,每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差

9、中项.练习四求以下各组数的等差中项:(1) 732 与136;(2) 49 与 42.例4一个等差数列的第 3项是5,第8项是20,求它的第25项.个数A,使a, A, b成等差数 列.你能用a, b来表示A吗学生探究、答复.教师订正学生的答复,给 出等差中项的定义和公式.师：你能用文字描述一下这个式子的含义吗师：在等差数列1, 3, 5,7, 9, 11, 13,中,每相邻 的三项,满足等差中项的关系 吗学生分组合作探究,得出 结论.师：能将这个结论推广到一般的等差数列中吗学生继续分组合作探究.教师总结学生的答复,给 出结论.学生做练习.学生答复各题结果,统 订正答案.教师出例如题.学生分组

10、合作探究.在学生自主探 究的根底上得出定 义和公式,更有利于 学生理解和运用.引导学生观察、 归纳、猜想,培养学 生合理的推理水平.通过两道直接 套用公式的练习题, 强化学生对中项公 式的掌握.学生在分组合 作探究过程中,可能新课解 由于a 3 = 5, a 8 = 20,根据通项 公式得ai+(3 1)d = 5ai+(8 - 1)d = 20整理,得ai+2d = 5ai+7d = 20解此方程组,得ai = 1, d = 3.所以a25= i+(25 - i) X 3 = 7i.强调：首项 ai和公差d,便可 求得等差数列的任意项an.练习五(1) 等差数列an 中,ai = 3, an

11、 = 2i , d = 2,求 n.(2) 等差数列an中,a4= i0, a5= 6,求 a8 和 d.例5 梯子的最局一级是 33 cm, 最彳G级是89 cm ,中间还有7级,各级 的宽度成等差数列,求中间各级的宽度.解 用an 表示题中的等差数 列. ai= 33, an = 89 , n = 9, 那么 a9= 33+(9 - i)d ,即89 = 33 + 8d, 解得d = 7.于是a2 = 33 + 7 = 40 , a3 = 40 + 7 = 47 , a4 = 47 + 7 = 54 , a5 = 54 + 7 = 6i , a6 = 6i + 7 = 68 , a7 =

12、68 + 7 = 75 , a8 = 75 + 7 = 82 .教师点拨、引导：(i)例题给出了哪些量 如何用数列付V表示(2)例题中的所求量是什 么需要知道哪些条件教师总结学生思路,给出 解题过程.学生自主练习.教师巡视指导.请个别学生在黑板上做题 后,师生共同订正.教师出例如题.引导学生将题中的和 未知转化为用数列付V表示.学生解答.教师巡视指导.教师出示解题过程,强调 解题步骤要标准、严谨,表达 要简明、完整.会找到多种不同的 解决方法,教帅要逐 一点评,并及时肯 定、赞扬学生善于动 脑、勇于创新的品 质,激发学生的创造 意识.鼓励学生自主 解答,培养学生运算 水平.通过例题,强化 学生

13、对等差数列通 项公式的理解,强化 学生学以致用的意 识.新课即梯子中间各级的宽从上到下依次是 40 cm, 47 cm , 54 cm , 61 cm, 68 cm ,75 cm, 82 cm .例6 一个直角三角形的三条边的长度成等差数列.求证：它们的比是 3 ： 4 ： 5.证实 设这个直角三角形的三边长分别为a d, a, a+d.根据勾股定理,得(a- d)2 + a2 =(a+d)2.解得a = 4d .于是这个直角三角形的三边长是3d, 4d, 5d,即这个直角三角形的三边 长的比是3 ： 4 ： 5.教师出例如题,提示点拨： 当三个数成等差数列时, 可将这三个数表示为ad, a, a+d,其中d是公差.由于这样具有 对称性,运算时往往容易化简.学生根据教师的提示,分 组探究.请学生在黑板上做题.教师引导学生订正解题过 程,标准解题步骤.在例题的教学 中,教帅要注重引导 学生分析题意,教会 学生思考问题、解决 问题的思路与方法； 在解