完整版精选习题一阶微分方程的初等解法

1、第二章一阶微分方程的初等解法2-1f (x) f (t)dt 1, x 0,试求函数f (x)的一般表达式.0x解 对方程f(x) f (t)dt 1 ,两边关于x求导得xf (x) f (t)dt f 2(x) 0 ,即r 1 r 2 f (x) f (x) 0, f (x)别离变量,可求得r1f (x)2(x C)1代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x)一二.2x评注：此题中常数确实定不能直接通过所给积分方程得到,而是需将通解代回原方程来确定.x(t) x(s)2-2求具有性质x(t S)一(一的函数x(t),x(0)存在.1 x(t)x(s)解由导数的定义可得x(t

2、 s) x(t) x (t) lim Ls 0s2 x(s) x (t)x(s) lim s 0 1 x(t)x(s)slimL 纹 s 01 x(t)x(s) s显然可得x(0) 0 ,故x(t) 1 x2(t) lim x(s) x(0) x(0) 1 x2(t) s 0别离变量,再积分可得x(t) tanx (0)t C,再由 x(0) 0,知 C 0,从而 x(t) tanx(0)t.评注：此题是函数方程的求解问题,利用导数定义建立微分关系,转化为求解常微分方 程的初值问题.2-3 假设 M (x, y)x N (x, y)y 0 ,证实齐次方程 M (x, y)dx N (x, y)

3、dy 0 有积分因子 xM (x,y) yN(x, y)°证 方法1用凑微分法求积分因子.我们有恒等式M (x, y)dx N (x, y)dy1(M(x,y)x N(x,y)y)(巫 主)(M (x, y)x N(x,y)y)(业 里)2x yx y而dx dyd ln( xy),x ydxdy, xd ln ,xy y所以原方程变为1( M (x, y)x N(x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N(x, y)y)d ln 0.2y用(x, y):乘上式两边,得M(x,y)x N(x,y)y1 1 M (x, y)x N (x, y)y , xd ln(xy)&

4、#39; ,y" d ln 0 ,2 2 M(x,y)x N(x,y)y y由于M (x,y)x N(x, y)y为零次齐次函数,故它可表成W的某一函数,记为 濯), M (x,y)x N(x, y)yyyM(x,y)x N(x,y)y fH) f(e%F("),M(x,y)x N(x,y)y yy原方程进一步可改写成1 一d ln xy 21 xx-F(ln -)d In - 0,2 yy它为一个恰当方程,说明(x, y) :为齐次方程的积分因子.M(x,y)x N(x,y)y方法2化为别离变量方程求积分因子.设M (x, y), N (x, y)是m次齐次函数,那么令

5、ydy xdu udx,有M (x, y) M (x, xu)xmM (1,u), N (x, y)N(x,xu) xmN(1,u),将其代入原方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0中,得xm( M (1,u) N(1,u)udx xN(1,u)du0,可以看出上方程为可别离变量的方程,只要给上式乘以积分因子(x, y) 1,x M (1,u) uN(1,u) xM (x, y) yN(x, y)方程就可变量别离,即化为恰当方程,因此,齐次方程的积分因子是(x,y)xM (x,y) yN(x,y)方法3用定义求积分因子.由积分因子的定义,只需证实二元函数(x, y):满足xM(x,

6、y) yN(x,y)a 3即可.为此,我们计算(M)y(土)y2 (xM (xM yN) yyN)NyM NM ,y显然(N)N2 (xM (xM yN) x1(xM(M)yyN)(xM yN)NxM yN)2(N)xxN 卫 NM,xx(NMxMNx)(xMy(NMy MNy) y由于*M (x, y),、,、小' n为齐次方程,N(x, y)因而评注:gx(-)xgy(-)x(M)yyg1 _g x1N(MxN NxM),1FMyN MNy),N2N)xy 2 y N g N - g xx2(xM gN)N2座、)g xgN)2x (xM是齐次方程的积分因子.注意求积分因子方法的正

7、确运用,对于齐次方程M (x,y)dxN(x,y)dy 0,除了可以化为变量可别离方程以外,我们还可以采用本例中所得到的结果,很快寻找出一个积分因子(x, y),将其转化为恰当方程来求解.xM(x,y) yN(x, y)2-4解方程dy dx1 3 3 ° xy x y解由题得dx3 3了 xy x y ,dy这是以x为未知函数和以y为自变量的迫努利方程,那么有3 dxx dy稀dz而dydzdy2yz 2y32yz的解为z Ce y采用常数变易法,令zC(y)ey2dz一一 3代入2zy 2y中得dyC(y)2 y2y ey从而原方程的解为x2( y2 1 Ce y2) 1 .评注

8、：在微分方程中,变量x与y具有同等的地位,对同一个方程,既可以就y求解,也可以就x进行求解,如果方程 虫 f (x,y)就y求解比较困难,可以尝试将原方程变化 dx参见典型习题 2-15, 4),dx 1为 ,然后就x进行求解,有时会取碍怠想不到的效果,dy f(x,y)和 2-16, 4 ).2-5试导出方程 M (x, y)dx N(x,y)dy 0分别具有形为(x y)和(xy)的积分因子的充要条件.解 根据判别准那么(定理 2.1 ), (x y)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy 0的积分因 子的充要条件是试x y)M(x, y)认x y)N(x, y)那么有心 y)(M

9、 史)N±M M&,y xxy即心 y)(卫占)Nd"X y) Md*X y),y x d(x y) d(x y)因此方程具有形如1_ d(x y) (x y)(xy)f (x y),(x y)的积分因子的充要条件是f (x y).(xy)是方程 M (x, y)dxN(x, y)dy 0的积分因子的充要条件是(4xy)M) ( xy)N)M N (xy) (xy)3)(一 一) N M y xxy(xy)(N) (yN xM)b, xd(xy)M Ny xyN xMd (xy) 1 d(xy) (xy)g(xy),因此方程具有形如(xy)的积分因子的充要条件是M

10、Ng(xy).y xyN xM评注：利用对称形式的微分方程的系数容易判断方程是否具有特殊形式的积分因子,从而给出求积分因子的思路.2-6设f (x, y)及连续,试证方程dy f (x, y)dx 0为线性方程的充要条件是它有 y仅依赖于x的积分因子.证 必要性.假设方程dy f(x, y)dx 0为线性方程,那么方程可写为dy (P(x)y Q(x)dx 0,令M (P(x)y Q(x) ,N 1,M N由题有曳连续,旦-P(x),yN由定理2-2的结论1方程有积分因子 e P(x)dx,仅依赖于x.充分性.设方程dy f (x, y)dx 0有仅依赖于x的积分因子(x),即(x)dy (x

11、)f (x, y)dx 0为恰当方程,有(x)f(x, y)d (x)ydx(x)-f(x,y)d (x)ydxf(x, y)1d (x)y(x)dx上式右端仅为x的函数,令其为 P(x),积分上式,得f (x, y) P(x)y Q(x),故该方程为线性方程.评注：一阶线性方程一般用常数变易法求解,此例给出了线性方程的又一种求解方法, 即积分因子法.2-7 设函数 f(u),g(u)连续、可微且 f(u) g(u),试证方程 yf (xy)dx xg(xy)dy 有积分因子 (xy f (xy) g (xy) 1.证 方法1用积分因子定义证实.令 M yf (xy), Nxg(xy)(M p

12、)yf (f g)(f g )fg(f g) (f g )g(f g)20,故该方程有积分因子,、r、1(xy f (xy) g(xy).方法2利用变量代换方法证实.令 u xy , du ydx xdy,代入方程消掉一个变量x,有f (u)(du Udy) yu-g(u)dy 0, yf (u)du (f (u)yg(u)dy 0,这是别离变量方程,只要给两端乘以因子-1 、u( f (u) g(u)就可别离变重,从而变为恰当方程.所以原方程的积分因子为xy( f (xy)ig(xy).评注：求积分因子时,注意整体变量代换.2-8假设方程M(x,y)dxN(x, y)dy 0中的函数满足关系

13、 yN Nf (x) Mg(y),其中 xf(x), g(y)分别为x和y的连续函数,试证方程M (x, y)dxN(x, y)dy 0有积分因子exp( f (x)dx g(y)dy).证由于(M )y(N )xf (x)dx g(y)dyM yef (x)dx g( y)dyMg(y)ef (x)dx g(y)dyNxef (x) dx g (y)dye(M yf (x)dx g(y)dyNf (x)eNx Mg(y) Nf(x) 0故 exp( f (x)dxg(y)dy)是方程 M (x, y)dx N(x, y)dy 0 的积分因子.评注：给出了积分因子的一种构造方法.2-9设Qx,

14、 y)是方程M (x,y)dx N(x, y)dy 0的积分因子,从而可得可微函数 U(x,y),使得dU M(Mdx Ndy).试证(x, y)也是方程的积分因子的充要条件是 (x, y)少(U ),其中彬)是t的可微函数.证 必要性.假设(x, y)也是方程的积分因子,那么存在可微函数U(x, y),使得dU(Mdx Ndy),即有11IIdU "Mdx Ndy) - Mdx Ndy) -dU ,(1 (1.那么u鸟u,即侦是u的函数,当然 也也是u的函数,且记为 竺hu),由于积从dUdU分因子的可微性,(KU)是可微函数.由dU-dU,那么 Z(x,y)k (U).充分性.证

15、实(x, y)k (U )是积分因子.为此将其乘以方程两端得从(U )(Mdx Ndy) 0,(KU ) M(Mdx Ndy) 0,(KU )dU0 ,d (|(U)dU 0.即存在二元可微函数 U (x, y)MU )dU,使得Hx, y)(Mdx Ndy) dU 0 ,故Hx, y) 少(U )是方程的积分因子.2-5和例评注：这个结论告诉我们,方程的积分因子之间的关系.假设知道一个积分因子,那么可构 造该方程积分因子的通式.在寻找方程的积分因子时,常用到此结论,可参见例2-9 设 i(x, y),- 常数,求证2(x, y)是方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0的两个积分因

16、子,且证由于i(x, y),2(x, y)是方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0的两个积分因子,由定理2.2有NxMNi(一)(i 1,2).yx同时,假设2常数,贝U d(一2d(_) 2(x, y)一(-x1 M)2 (22My NxyNM -凶) M2(N-M2M -2 ( NxyxMN)由应(MN2 L H 2(yxyx0,只要证实这个全微分沿方程的解恒为零即可,即有)idx1)dx 0N庄1N庄M2一)Midxy12C 是方程 M (x,y)dx N(x, y)dy 0的通解.故 C是方程M (x, y)dx N (x, y)dy 0的通解.2xM yN 0时,试2-1

17、0假设齐次方程 M(x, y)dx N(x, y)dy 0是恰当方程,当证它的通解可表示为xM (x, y)dx yN (x, y)dy C.证令U(x,y)xM (x, y) yN(x, y).要证实U (x, y)C为方程的通解,就是要证实全微分 dU (x, y)沿方程的解恒为零即可.为此,计算xM x那么有 dU (x,y)UdxyNyUdyxM y,(已UM.)dx.y N即要证实M xM x yNxMyNyNxM y即可.由于所给方程为恰当方程,有M故有M xM x yNxMN yNyNxMyxMxN yNxN yNyM xMyMMNx(MxN NxM) y(M yN NyM)MN

18、再由dydxM为齐次方程,故令N显然gx(u)gy(u)ygux1gux1苛12(MyN NyM )N2 y(M xN NxM )xMxMyNxN yNyNKM yx(N2ggu)xMNy(N2xgu)故有 xM (x, y)dxyN(x, y)dy C为原方程的通解.评注：以上两道题都是证实某二元函数U(x, y)为方程的通解(或通积分)的问题.这就是要证实全微分 dU(x, y)沿该方程的解恒为零,即证实dU (x, y)U dx xU dy yU ( xUM0成UUM0即可.y)dxN0 ,或xyN2-11求解以下隐式方程1)2 x2y 1,2)y2(y1) (2 y)2223)dy x

19、 -1曳4)dy x 2y 虫 4x 0dxdxdxdx5)y2 12也1dx解1)令y p cost,代入方程,得x sint ,由dy costdx ,积分得y costdsint C -21 -sin2t C, 4方程参数形式的通解为xsintyt 1 .一 一sin2t2 4C2) 令2 y yt,那么有t2,ydxdy y1)dt ,方程参数形式的通解为t23)令yxp_2 p ,由于dyy dx12dp积分上式得In1 2p故方程参数形式的通解为p 1 2pln p C4)令 y p ,得 xp2yp4x将y解出得(1)1 xp 2给1式两边关于x求导,得dp2 p 2x x也dx

20、2 dx(p24)x dp2p2 dx 2p由 22p2x dpdx21p 0dppdx, x代入1得又由p2pcx ,1 cx2-,即得方程的通解为2ycc 22_ x o0 ,得2cp 2 ,故得yIn| p | In | x | In c,y42x也是方程的解.5)令y sint ,那么有由于1sin t评注:(1sin21) 1 ,sect ,1sect tantdt sinttan t C1,dtcos21tant C1 sect,消去参数t得原方程的通积分为y2 x c2 1.根据方程的特点,通过引入适当的变换,可以求得原方程的参数形式的通解,寻找适当变换是求解的关键. 这类不显含

21、x 或y 的方程,如果从方程中能解出 y或y 或x的关系,方程将转化为显式方程或将 y 或x 解出的方程,从而根据相应的方法求解.否那么,我们就要引入变换,其目的在于通过这个便量代换,将方程中的 方程中解出,用新的参变量表示,然后再求方程的解.2-12解以下方程1) x 业 y 2x2y(y2 x2) dx2)dx3_3_4x3 2xy3 2x225-2y 6y 3y3x解1)解法1 降次法方程可化为y dyx dxy222 2y (y xx2),令y2从而得dy2dx22y c 2 , 2 2y (y xx2),2、 一 .、 一x q万程可化为以下迫努利万程dudq2u2,1 C、u( 2

22、q),qd1 u dq11一(2q ), uqdzdqz(2q1一)2, q此方程的通解为z (eq2故原方程的通积分为1 Cex42x2,另外还有 yy0也是方程的解.解法2 x y 2x2yy2 x2给方程两端同乘以 dxdx /曰下得xdy 2炒 2y(y2 x2)dx, x y d x令yx2y(y2x2)dx,y xu ,方程可化为别离变量方程别离变量,再积分得du3 , 22x u(u1)dx2u2uCex4,22 一 2 x4故原方程的通积分为y x Cy e ,另外还有y 0也是万程的解.2解法1 降次法原方程可化为也 4x2 2寸2或 xdx3x2 6y3 3dy3 2x2

23、y3 1dx2 x2 2y3 1 '令y3 u ,x2 q方程化为以下可转化为齐次方程的方程du 2q u 1dq q 2u 1解此方程得其通解为u u2 q q2 qu C ,因此,原方程的通解为如果不是,再尝试用其它方法求解.2-13解以下方程2,1) ydx xdy x ydy2)xy 1 ydx xdy 0223) x y dx 2xydy 04) ydx 1 x y2 dy5) y x(x , 2y dx xdy2 dx 0,xy2 )dx xdy 01解1)容易观察方程有积分因子 土,乘以方程两端得 xydx xdy ,21 ydy,xy 12d - dy ,x 2故原方程

24、的通积分为1 y2y C.2 x2原方程各项重新组合得2xy dx ydx xdy 0,1_ 容易观察方程有积分因子2 ,乘以方程两端得y, ydx xdy 一xdx 2 0 ,y1 . 2. xdxd 0,2 y,一、r,一 , x2 x -故原方程的通积分为-C,还有解 y 0.2 y3) 原方程各项重新组合得(y2dx 2xydy) x2dx 0,22、2 ,(y dx xdy ) x dx 0 , _1_ 容易观察方程有积分因子 土,乘以方程两端得x2即dx d 0,x故原方程的通积分为x匕 C ,即x故原方程的通积分为arctan K C.y 2评注：注意利用微分式yX d(x),d

25、(2) ,d(ln'),yy xx xyy y2 Cx.x4原方程各项重新组合得2 ,ydx xdy y dy dy 0.容易观察方程有积分因子.12 y,乘以方程两端得ydx xdy12dy 2 dy 0,yy一x1 一即d dy d0 ,yy x1-.一 故原方程的通积分为一一y C,即x 1 y Cy； 商解y 0.y y5原方程各项重新组合得ydx. 2 2 .xdy x x y dx1容易观察方程有积分因子2 1 2 ,乘以方程两端得x yydxxdyxdx22xux ?x yx1 . 2d arctan-dx ,y2ydx xdyx、2d(arctg ),xyyydx xd

26、yydx xdyF d(l" y, x y2-14解以下方程1)dydx2x 3y 44x 6y 52)2x2ydxx y 2 dy 03)主1 dxx xe令2x3y别离变量得积分得dzdxdx故原方程的通积分为还有解2)别离变量得积分得z2z7z222z 57z22 ,29 ,22 _-zln z Ci ,74972 2xc9 ,-八3y ln 2x 3y7492232x3y 竺 14 3y -x72220.7dy2 x y 1dxx y 22z 5xxC2x 3y原方程变形为9ln227dz dx dz dxC1dx2zz12dzdx,z 3lnz 1 x C1 ,的.即得故原

27、方程的通积分为3)原方程变形为令x y u,那么In zdydxdudxe udu故原方程的通积分为13x xedydxz C1.Ce2x y.y,评注：在解一阶常微分方程时,经常利用整体代换的思想化简方程,从而到达求解的目2-151)3)解以下方程dy :一 edxxyxye1)y2 dx2)(1xx1ye )dx ex -dy 0 ye Ududx一,xln |x|故原方程的通积分为em dx那么一dyduy -dyxx2eydy 04)dydxu uedux一dxInlxlduydy,代入方程有u1 eududye uy积分得In | euu|Inuy(eu)C,x故原方程的通积分为ye

28、y3原方程变形为2xdy yydx xxeyy|xCi,dux dxdxeulnxC,x即得原方程的通积分为eylnxdxxx4方程可化为,dyy 'y积分得1Co人x令一ym dx,那么dyduy,代入上方程得dy两边积分得du ydy1duuIn y业,y2ln即得原方程的通积分为ln|y22；另外还有解y 0.评注：齐次方程是利用整体代换将原方程化简为可别离变量的方程来求解的.2-16解以下方程1)4e y sin x 1 dx2) x 1 也 1 2e ydx3)(x y2 )dx y(1 x)dy 0y 3x4 dy 0 y给方程两端同乘以ey eey dye dx4sin

29、xdeydxdxCey4 sin x ,dx4 sin xe dx4 sin xexdxx .,e sin x cosx42Ce2 sinx cosx即得原方程的通积分为eyCe x2 sin x cosx.ey2给方程两端同乘以eey2dxx 1x 1dey2得xdx11xx1由公式得ey1 dx x 11 dxx 1 dxx 1即得原方程的通积分为C 2x(x 1)ey 2x C3)原方程变形为dy _dx 1给上方程两端同乘以2ydX dx22 2xy ,1 x 1 xdy2dx22 2x一 y由公式得_ x .2x (1 x)2 C厂建e 11 x(1dx(1 x)2 C1 x (1

30、x)C(1 x)2 2x 1即得原方程的通积分为y2 C(1 x)2 2x 14)解法1原方程变形为dx 3 y 1 一 x x , dy 2y 2给上方程两端同乘以 2x,得dx2dy由公式得3史x2 e y Cye3我ydy3 yCy -13 yC- y2 xCy32 y .L6-x4 yx1. 2dx y2 xd 3 y2d 3 yd - y0,2 xCy32 y .即得原方程的通积分为法来求解,原方程变形为积分可得原方程的通积分为Ay1. cdy 0 , y M解法2 由于y32Cy y ,所以方程为恰当方程.这样我们可用凑微分评注：转换为线性方程的求解问题.,所以积分因子为2yMy)

31、 e上dy 2y1)4x2y2dx2(x3y1)dy 0(设y2)2xy x23y虹3dx x2y2 dy解以下方程2-170)0MN方程两端同乘以积分因子得34x2y2dx12x3y2dy2y42 . 3-y dx4 3上x dy33314.3 2匚d x y4dy'33314dyZ 0 ,0 ,31x3y 3 3y 13xy 3y 3y2 C ,1即原方程的通积分为(x3y 3)yW C o32) 2xy x2y dx x2 y2 dy 0解解法1由于y 1 ,所以积分因子为1dxN/x)方程两端同乘以积分因子得ex 2xy原方程的通积分为xex 2xy03y_3dxy2dyc,2

32、 x 13 xx ye -ye33 y3即得3x2y y3 ex 3C.解法2原方程变形为2 ,2 ,2xydx x dy y dy】y3 dx30,dx2y d ly33213x y - y dx3213213d x y y x y y dx 0 ,3 3,213_x In x y - yC1,3x2y 3y3 C2ex,原方程的通积分为 c 23 x3x y ye C.评注：利用公式寻找积分因子.dydx1 xy32-18解以下方程21) y (xdx ydy) x( ydx xdy) 021 .解1 )解法1给原方程两端同乘以里y ,方程化为y199乂-d(x y ) xd() 0.令

33、x cos , y sin那么有1 . 2. cos-d cos d 0 ,2 sin积分得 1 sin 1 *C,即C , sinsin回代变量,得皿C2 , y22x y而y 0也是原方程的解,故原方程的全体解为(y 1)2(x2 y2) Cy2 (C 0)和 y 0.1、,解法2给原方程两端同乘以 ,方程化为y；d(x2 y2) xd(-) 0, 2y观察其形式,可令u x2 y2 , v 4 ,从中解得x vjE yv 1可化为别离变量方程2du别离变量,再整理得1 du、u-dv2 0,1积分得其通解为.u . v2 1C,C 0.回代变量,整理得原方程的全体解为(y 1)2(x2y

34、2) Cy2 (C 0)和 y 0. 1解法3 给原方程两端同乘以 一2,原万程化为xyxdx ydyx进而化为, V , x -dx dy d 0.x y人x令一yudyydu ,将上方程化为udy ydu1dy udu0,即得到别离变量的方程Jyu(y1)du解之得(y 1)2(u2 1) c,故原方程的通解为 (y 1)2(x222y2) Cy2 (C 0),另外y 0也是方程的解.332)将方程化为对称形式dx dy xy dx x ydy 0,d(x y) xy(y2dx x2dy) 0,1 风给其两喘同乘以,得33x yd(x y) dkdy 0x3y3x2y2W d(1 * 0, x y x y华T必d J 0.x y xy此时,令u x y,v xy,得du , ud, v v解此方程,得其通解为 u cjv2 1.原方程的通解为(x y) cjx2y2 1,另外xy 1也是方程的解.故原方程的全体解为(x y) Cx2y2 1； xy 1.评注：通过变量变换,降低了方程的求解难度,但是究竟采用怎样的变换,一般而言,很难直接得到适当的变换.从这里我们体会到, 有时可将方程变形, 在这个过程中观察其