极值点偏移问题专题

1、极值点偏移问题专题0偏移新把戏拐点偏移2例1函数f x 2ln x x x ,右正实数xi,X2满足fXi+fX2=4 ,求证：x1 x22.证实：注意到 f 1 =2 , f k +f x2 =2f 1f x1 +f x2 =2f 1r 2f x = - +2x 1 0 x.2f x = 2, f 1=0,那么1,2是£乂图像的拐点,右拐点1,2也是f x想到了 “极值点偏移,想到了 “对称化构造对称中央,那么有x1 x2=2,证实x1 x2 2那么说明拐点发生了偏移,作图如下,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移,仍可用“对称化构造来处理.不妨设0 x11x2,要证x1 x22x

2、22 x11f x2f 2 x14 fxif 2 %4fxif 2 x1f x f 2 x , x 0,1 ,那么f 2 x2x 12 2 2x12 x得F x在0,1上单增,有F xF 1214,得证.2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路1、极值点偏移f %0f x1f x2x22x0 x1x x2 2x0二次函数 f x1f x2xi x2 2x02、拐点偏移 f x002x0 x,f x1 f x22f x0x1x22x0f x, f x22f x0x2x1x22x0极值点偏移问题专题1对称化构造常规套路例1 2021天津函数f xxxe1求函数f x的单调区间和极值;2函数g x的图像与

3、f x的图像关于直线 x 1对称,证实：当x 1时,(3)如果 Xi X2 ,且 f Xi f X2 ,证实:x1 x22.解：=小1-工,得幻在T1上/,在L"上,r无极小值：e2 g的圉像与,方的图像关于直线工工1对祢,贝!I门仁的解析式为J二 2 一工,构造辅助团数产工=/任-晨X=Fa-f2-工Krx=Jf x + /F2-x=l-x'|+eT-1x-l =工一 Y 当"1时,x-l0 f小.0 ,那么FA0,得产工在Lm上单骑.,FxFl=O f 即/ a浮.3由的=三1结合句的单调性可设*±1式占将三代入2中不等式得/三 J2与/又看=电,故外

4、%/2一9,又看1,2三在yd|上单塔,散的 2-巧r弱+叼2 .来源：微信公众号中学数学研讨部落点评：该题的三问由易到难,层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法一一对称化构造的全过程,直观展示如下:例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数f x xex, f xf x2 , x x2 ,证实X1X22 .再次审视解题过程,发现以下三个关键点:(1) Xi, X2 的范围 0 X 1 X2 ；(2)不等式 f x f 2 x x 1 ;3将X2代入2中不等式,结合 f X的单调性获证结论.把握以上三个关键点,就可轻松解决一些极值点偏移问题.例2 2021新课标I卷函数 f X2 ex2

5、有两个零点.1求a的取值范围;(2)设 Xi ,X2是f x的两个零点,证实:XiX22.解：1 0,(2)由(1),1上,在1,X1可设x11x2 .构造辅助函数1 ex2a2 xe2a1 时,x 1 0, ex,1,又F10,将X1代入上述不等式中得f X1f X22 x1 ,又 x2X11, f1, 上Z ,故 X12x1x22.通过以上两例,相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解.但极值点偏移问题的结论不一定总是X1X22x0,也可以是x1x22X,借鉴前面的解题经验,我们就可给出类似的过程.求证:函数fxxlnx的图像与直线ym交于不同的两点A X1,y1x1x2.

6、e证实:1In x 1,得 f x 在 0,一 e上,在工 e0； f 10;当 X 1 时,f X 0 ；当 X 0 时,fX 0 洛必达法那么；1,当x 时,f x ,于是f x的图像如下,得0 X1 x2 1 . eii构造函数F 用=刈一/,那么1 + ln-J；e xj二1+比工,一击iif i A当0父,<-时,l+lnjf<0,那么F'>0 r得Fx|在0- ；上,.有尸仪.,即力“5y.<旧. 1 %血将冏代人?.中不等式得/福</ = ,又/西=/巧,故1e为J/ ：又七 > -r - > -.工在；-.-HD |上/ r 故再 S=七茵/ft 七 e'e Je再再.来溟：微信公众号中学数学研讨部落e"小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步:stepl :求导,获彳导f x的单调性,极值情况,作出f x的图像,由f x1f x2得不,*2的取值范围数形结合；2x0 ,构造 F x f x f 2x0 x ；对结2f 区,求导,限定范围x