导数用于单调性和极值问题

1、实用文案标准专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一利用导数判断函数的单调性上单调递减.sin xn1.证明：函数f(x)=在区间 -,nx2题型二利用导数求函数的单调区间2.求下列函数的单调区间.(1)f(x)= x3 X； (2)y = ex x+ 1.3.求函数y = x2 In x2的单调区间.题型三已知函数单调性求参数的取值范围a4.已知函数f(x) = x2 + (X丸,常数a R).若函数f(x)在 x 2 , +s)上是单调递增的， 求ax的取值范围.5. (1)已知函数f(x)=X3+ bx2+ cx + d的单调减区间为1,2，求b, c的值.(2)设f(x)= ax3 +

2、 x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围.题型四用单调性与导数关系证不等式16. 当x >0时，证明不等式In(x+ 1) >x-2x2n17. 当 0<x<2时，求证：X Sin x<6x3.题型五、函数的极值问题8下列函数存在极值的是()B.y = x2f '(X0)= 0是xo为函数y = f(x)的极值点的C. y= 3x 129 .设函数 f(x)= -+lnx,则()x1x = 2为f(x)的极大值点1x =；为f(x)的极小值点 x = 2为f(x)的极大值点x = 2为f(x)的极小值点10 若函数y = f(x)是定义在 R上的可导函数

3、，则A 充分不必要条件B 必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件11 .函数y = x ex的最小值为xVs12 若函数f(x)= 一(a>0)在1 ,+s 上的最大值为一，则a的值为 X2+ a3题型六、利用极值求参数范围n3 n13.已知函数f(x)= asinx bcosx在x = 一时取得极值，则函数y = f( x)是()44A 偶函数且图象关于点(n, 0)对称3 nB 偶函数且图象关于点(,0)对称23 nC 奇函数且图象关于点(丁, 0)对称D 奇函数且图象关于点(n, 0)对称14 .已知函数f(x)= x3 + ax2 + bx + C, f(x)在x =

4、0处取得极值，并且在区间0,2和4,5上具有相反的单调性.(1)求实数b的值;(2)求实数a的取值范围.15 .用边长为题型七、导数用于解决实际问题48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()B. 8C. 10D . 1216 .一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量).设每年每台的库存费为 C1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床台，一年中库存费

5、和生产准备费之和最小.题型八、图像问题17. 二次函数y= f(x)的图象过原点且它的导函数y= f '(X)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在()A .第I象限B.第n象限C .第川象限D.第W象限18. 设函数f(x)在定义域内可导，y = f(x)的图象如下图所示， 则导函数y= f '(x)的图象可能是1'(x)>；，则满足 2f(x)< x + 1 的 x巩固练习:19. 定义域为R的函数f(x)满足f(1) = 1，且f(x)的导函数的集合为()B. x|x<1A . x| - 1<x<1C. x|x<

6、 1 或 x>1D . x|x>17t120 .函数 f(x)= sinx+ 2xf'(3), f'(x)为 f(x)的导函数，令 a = ；, b = log 32，则下列关系正确的是()A. f(a)> f(b)B. f(a)<f(b)C. f(a) = f(b)D . f(|a|)< f(b)21.若关于x的方程x3 3x+ m = 0在0,2上有根，则实数 m的取值范围是()A . 2,2B. 0,2C. 2,0D . ( 3 2) U (2 ,+8 )1 122.已知函数f(x)=3ax3+产22ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a

7、的取值范围是23.已知函数f(x)= x3 3x，若过点 A(1 , m)(m工一2)可作曲线y = f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为三、解答题24 .求证：x>0 时，1 + 2x<e 2x.x 125.设函数f(x)= alnx +，其中a为常数.x +1(1)若a = 0,求曲线y= f(x)在点(1 , f(1)处的切线方程;讨论函数f(x)的单调性.26 已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y= 4 x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长.xa327.已知函数f(x) = 4+ 一一 Inx -，其中a R，且曲线y = f(x)在点(1

8、, f(i)处的切线垂直于4 x2求a的值;求函数f(x)的单调区间与极值.28 .设函数 f(x)= ex- ax 2.(1)求f(x)的单调区间;若a = 1 , k为整数，且当x>0时，(x k)f '(X)+ x + 1>0，求k的最大值.专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案xcos x sin xn1.证明f'(x)=2，又 x ,nx22贝U cos x<0 ,.xcos x sin x<0 ,nf(X)<0 ,.f(x)在-,n上是减函数.2.解 (1)f'(x) = 3x2 1 = (/x + 1)(V3x 1),3贝

9、y x 亠亠.33令 f 'x)>0 ,令 f '(x)<0 , f (x) = x3x的单调增区间为3，+O，oo也+o,单调减区间为3(2)y '毛X 1，令 y>0，即 则 x (0 ,+s)；令 y 伙0 , y = ex x +1的单调增区间ex 1>0 ,即 ex 1<0，贝U x ( s, 0),(0 ,+s ),单调减区间为(s, 0).23.解函数 y = f(x) = X2 ln x2 的定义域为(s, 0) u (0 ,+s )，又 f '(x) = 2x _ =X2X2 12 X 1 X+ 1f(x), f(

10、x)的取值变化情况如下表:X( s, 1)1(1,0)(0,1)1(1 ,+s )f'(x)一0+一0+f(x)11由上表可知，函数 f(x) = X2 In X2在区间(1,0) , (1，+s)上单调递增；在区间( s, 1), (0,1)上单调递减.a 2x即 b = _, c= 6.2f'(x) = 3ax2 + 1，且f(x)有三个单调区间, 方程f'(X)= 3ax2 + 1 = 0有两个不等的实根, .= 02 4 X1 X3a>0，a<0. a4.解 f (x) = 2x -7 =2 .X2X2要使f(x)在2 ,+s )上是单调递增的，则f

11、'(x) X)在X 2，+s)时恒成立,2x3 a即 2 X0在X 2 ,+s )时恒成立.X2-x2>0 , 2x3 a0,aw2x3 在 x 2 ,+s)上恒成立. aW(2 X3)min .X 2 ,+s), (2X3)min = 16 ,y = 2X3是单调递增的，aw16.2x3 16当 a= 16 时，f'(x) =2 X0(x 2 ,+s)有且只有 f '(2) = 0，a 的取值范围是(一X2s, 16.5.解 (1) 函数f(x)的导函数f'(x) = 3x2 + 2bx + c,由题设知1< x<2是不等式3x2 + 2bx

12、 + c<0的解集.1,2是方程3x2 + 2bx + c= 0的两个实根，2c1 + 2 =尹,(1) X2 = 3,a的取值范围为(一8, 0).16.审题指导 利用导数证明不等式，首先要构造函数f(x) = ln(x+ 1) x+-X112f '(X)=匸+一 = 一(1 一) = 0 可得 x = 2.,证明f(x)在(0,2+ S )上单调增，由f(x)>f(0) = 0证得.1规范解答令 f(x) = ln(x + 1) x + x2, (4 分)1 x2则f(x)=-1+x=7 .(6 分)当 x (0,+s)时，f '(x) > 0,f(x)在

13、(0,+s)上是增函数.(8分)于是当 x >0 时，f(x) > f(0) = 0,当x>0时，不等式ln(x+ 1) >1X x2 成立.(12 分)17.证明 设 g(x) = x sin xxx2xxx当 0<x<2 时，f '(x)<0 , f(x)递减，当 x>2 时f'(x)>0 , f(x)单调递增.所以x= 2为极小值点.对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域., x61g'(x)= 1cos X 一x2= 2 sin27t/x 0 ,z-O < sin x<x,2,.g'

14、;(x)< 0,x/sin 2<2n2上单调递减,/.g (x)< g(0) = 0 ,.x sin xx3.8.答案D解析画出图像即可知 y= x2存在极值f(0) = 0.9.答案D解析本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题.10.答案解析如y = x3, y '=3x1 2, y很=o = 0，但x = 0不是函数y = x3的极值点.11.答案解析y'#x + i)ex= 0, x=- 1.当 x< 1 时，y '<0，当 x> 1 时 y >01ymin = f( 1)=-e12.答案酝1x2 + a 2x2 a x

15、2解析f'(x) =x2 + a 2x2 + a2.当 X>a时 f'(X)<0 , f(x)在(£,+8)上是递减的，当一寸a<x<pa时，f'(x)>0, f(x)在(a，寸a)上是递增的.当 x=a时，f(a)2a可不合题意2解析f(x)的图象关于nx =对称,4 .f (0) = f(2)，-b = a,f(x) = asi n X b cos x = as in x + acos x=寸2 asi n( x+ ；),x)= J2asin( 7 x+ ；) = /2asin( nx) = 2asinx.3 n显然f( x)

16、是奇函数且关于点(n, 0)对称，故选D.414. 解析 由导数公式表和求导法则得，f'(x) = 3x13. 答案D + 2ax + b ,因为f(x)在X = 0处取得极值，所以f'(0) = 0,即得b = 0.令f '(x)= 0,即卩3x2 + 2ax= 0，解得X = 0或x = "a.依题意有一7a>0.33因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性,2所以应有 2 <-a<4，解得6<a<3.315. 答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为 Vcm3,由题意，得 V= x(482x)2(0&

17、lt; x<24) , V '2(24 x)(8 x).令 V =0,则在(0,24)内有 x = 8，故当 x = 8 时，V有最大值.解析C2N16.答案Ci设每批生产X台，则一年生产;批.一年中库存费和生产准备费之和y = Cix +C2N厂(0< x<N).C2Ny '毛1 由 y' =0 及 0< x< N，解得X(台).根据问题的实际意义，y的最小值是存在的，且y'=0有唯一解.故台是使费用最小的每批生产台数.17. 答案A解析设 f(x) = ax2 + bx + C, 二次函数y = f(x)的图象过原点，二 C =

18、 0,.丁 '(x) = 2axb4ac b2b2一 47°,4a+ b，由 y = f '(X)的图象可知，2a<0 , b>0 , a<0 , b>0 ,>0 ,2 a故选A.18. 答案A解析f(x)在(S, 0)上为增函数，在(0,+ )上变化规律是减7增7减，因此f '(X)的图象在(一8, 0)上，f (x)>0，在(0,+s)上 f '(X)的符号变化规律是负7正7负，故选A.19. 答案B1解析令 g(x) = 2f(x) x 1 , vf '(X)>2,g'(x)= 2f &#

19、39;(X)1>0 ,.g(x)为单调增函数,f(1) = 1 , g(1) = 2f(1) 1 1 = 0,当 x<1 时，g (x)<0，即 2f(x)<x + 1，故选 B.20. 答案解析f(x)= cosx + 2f '(nn=COS' + 2f '(3),n 1 即f '(3)=2/.f(x) = si n X x.又 f '(x) = cosx 1 <0,故f(x)在R上递减.1又一一<log 32 ,21f( 2)>f(log 32),21. 答案A解析 令 f(x) = x3 3x+ m，则 f

20、 '(x)= 3x2 3 = 3(x + 1)(x 1)，显然当 x< 1 或 x>1 时，f '(x)>0 , f(x)单调递增，当一1< x<1 时，f '(x)<0 , f(x)单调递减，在 x = 1 时，f(x) 取极大值f( 1) = m + 2，在x= 1时，f(x)取极小值f(1) = m 2.f 1<0 ,f(x) = 0 在0,2上有解，f 2>0 ,m 2 wo.2 + m >0,622. 答案(-5解析f '(x)= ax2 + ax 2a = a(x 1)(x + 2),由f(x)的

21、图象经过四个象限知，若a>0，则f 2 >0 ,此时无解；若f 2<0 ,f 1<0 ,a<0，则f 1>0 ,6365<a<石，综上知，5<a<31623. 答案(3， 2)解析f '(x)= 3x2 3，设切点为P(xo,y0)，则切线方程为y (x3 3X0)= (3x2 3)(xX0) ,切线经过点A(1 , m),.m (x0 3x0)= (3x0 3)(1 X0),m = 2x3 + 3x0 3 , m ' =-6x0 + 6x0, 当0< X0<1时，此函数单调递增，当X0<0或X0&g

22、t;1时，此函数单调递减, 当X0 = 0时，m = 3，当X0 = 1时，m = 2，当一3< m< 2时，直线 y = m 与函数 y=2x3 + 3x0 3的图象有三个不同交点，从而X0有三个不同实数根，故过点 A(1 , m)可作 三条不同切线， m的取值范围是(一3, 2).24. 分析禾U用函数的单调性证明不等式是常用的方法之一，而函数的单调性，可利用其导函数的符号确定.解析设 f(x) = 1 + 2X e2x则 f'(x) = 2 2e2x= 2(1 e2x).当 x>0 时，e2x>1 , f'(x) = 2(1 e2x)<0 ,

23、所以函数f(x) = 1 + 2x e2x在(0,+s )上是减函数.即当 x>0 时，1 + 2x e2x<0，即 1 + 2x<e 2x.25. 解析(1)f(x)的定义域为(0,+)a x + 1 x 1f'(x) = x+ax+12= x+ x+ 12a= 0，f '(X)=1所求切线方程为1y=2(x1),即 x 2y 1 = 0.2 + 2x ax2 + 2 a+ 1 x + a f '(x)=0 时，f 1 2，根据导数的几何意义，所求切线的斜率k = f(1)=-, I I2而 f(1) = 0.>0 ,令 g(x) = ax2

24、+ 2(a + 1)x + aA= 4( a + 1)2 4a2 = 8a+ 42 °当a>0 时，A>0 ,此时g(x) = 0的两根xia+ 1寸 2a+ 1X2 =/a>0 , xi<0 , X2<0.g(x)>0 , vxC (0,+s ),.f'(x)>0故f(x)在(0,+s)递增.13 ° 当a<0 时，A= 8a + 4 W0,g卩 a<；时，g(x)切，.行'(x)w0.故f(x)在(0,+s)递减.1当 A>0，即一一<a<0 时,2a+ 1 +寸 2a+ 1X1 =

25、*>0 ,aa+ 1yl 2a+ 1X2=*>0a令 f'(x)>0 , x (xi , X2),f'(x)<0 , X (0 , xi) U (X2,+s) f(X)在(xi, X2)递增，在(0 , xi)和(X2 ,+s)上递减.综上所述：当aX)时，f(x)在(0,+s)递增.1当-产<0时，f(x)在(X1, X2)递增, a+1在(0 ,X1)和(X2, +s)递减(其中X1 =+ Q2a+ 1 a + 1-冷 2a + 1,X2=).a1当 aw2 时，f(x)在(0,+s )递减.26. 分析如图，设出AD的长，进而求出|AB|表示

26、出面积S,然后利用导数求最值.解析设矩形边长为 AD = 2X，则|AB| = y = 4 x2，则矩形面积S= 2x(4 x2)(0< x<2),即 S= 8x 2x3 ,.S'=8 6x2,2令S' =0，解得X1 =尸，X2=尸(舍去)寸3#3当 0< x<2 2时，S >0 ;当一尸< x<2 时，S <0 ,申32/82当x=时，S取得最大值，此时，S最大=",y=.寸393即矩形的边长分别为 也、8时，矩形的面积最大.33点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长.27.解析函数f(x)的定义域为(0,+),1 a 1f'(x)= 一一：一 一，由导数的几何意义，且切线与4 x2 x1汁2x垂直.1得