用不动点法求数列通项公式

1、精品-可编辑-用不动点法求递推数列t>2+" 0）的通项储炳南（安徽省岳西中学246600 ）1 .通项的求法,a tn b为了求出递推数列tn 1-的通项，我们先给出如下两个定义：c tn d定义1 ：若数列t-满足t-1 f（t-），则称f（X）为数列t-的特征函数.定义2：方程f（X）=X称为函数f（X）的不动点方程，其根称为函数f （x）的不动F面分两种情况给出递推数列t- 13 J ；通项的求解通法.c tn d由 kX+C=X X=,贝 U tn 1 k tn1 k数列tnC 是公比为k的等比数列,1 kCC n 1C4(t1) kn 1tn1 k 1 k1 kCt

2、n(t1cc1厂kk(tnC)汽)kn1a tn bab由tn 1t n 1tnC tn ddd，记.b k,c ,则有tn 1k tnc(1)当 c=0,时,d d(k切数列tn的特征函数为f （X） =kX+C,当C工0时,数列J的特征函数为:a x b f(X) =由3bc x dcx2 (da)x b 0设方程ex2(da)x b0的两根为X1,X2,则有:2CXi(da)Xib 0, cxf(d a)X2 b 0'b2CXi(da)Xi (i)2CX2(da)x2 (2)又设tn i tn iX2Xitn Xi tn X2（其中,n N*,k为待定常数）.atnbXit n

3、iXik tnXictndk tnXit n iX2tnX2atnbX2tnX2ctndatnbcXitndxik tnXiatnbcX2tndx2tnX2由（2）式代入式得:ex： cx/n axiatnatn ex；cx2tn ax2(aCXi)(tnXi)(aCX2)(tnX2)数列叱Xi是公比为X2k 5XitnX2tnXiI,acxitnX2kacx2acXi (易证acxi0）的等比数列acx2acx2kn 1tnXitn X2ti捲tiX2a cx1a cx2tiXiX1x2ti X2a cx1a cx2tiX2a cxia CX22 .应用举例例i :已知数列an中,ai=2

4、, an解：因为an的特征函数为：f (x)x x i,2 an i i -(an i)由 f (x)2x i-，an i2an i经】，求an的通项。32x i丁，332数列an-i是公比为2的等比数列, an-i= (aan=i+ (2)ni3例2已知数列an中，ai=3 , a. i4an 2an i,求an的通项。解：因为an的特征函数为:f(x)4x 2x i4x 2由f(x)竺二xx ix2 3x 20i*anan 24an2ianik an ani4 an222aniXi3a n 32an 4an ian 23 (a. i)2 (an 2)an ian 2an i i2 an i

5、 23 ani2 an23是公比为-2的等比数列.an 1an 2aa1-ai =3, an 1an 2an例3已知数列an中，ai=2an岂，求an的通项。an解：因为an的特征函数为:f(x)由 f(X) 1 XXii, X2ananan1 an1 an1 anan ian i1 an1 an ianianian(an i)(an i)an ian ik J即1 i an 1 ian an i数列 jan i是公比为的等比数列.an i an ia1ia1ia=2, an一anian ian ian1 2i2 i (2 沪(2 i)in1 2例4已知数列an的前n项和为Sn ,印 -,Snnn 1 n(n 1)an n(n 1)，求an的通项。解： Snn2an n(n 1) Sni (n 1) an 1(n 1)n-得：an 1 (n 1)2an1 n2a. (n 1)n n(n 1)(n 2)an 1 nan 2因为an的特征函数为：由 f(x) n x n 2 n 2an 1f(x)x x=1.将代入得：bn1 n 112(bn 1