2020-2021学年高中数学北师大版必修1学案：1.2 集合的基本关系 Word版含解析

1、§2集合的基本关系知识点一子集的有关概念 填一填1venn图通常用平面上封闭曲线的内部代表集合用venn图表示集合的优点：形象直观2子集(1)自然语言：一般地，对于两个集合a，b，如果集合a中任意一个元素都是集合b中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合a为集合b的子集(2)符号语言：记作ab(或ba)，读作“a含于b”(或“b包含a”)(3)图形语言：用venn图表示3真子集如果集合ab，但存在元素xb，且xa，我们称集合a是集合b的真子集，记作ab(ba)4集合相等如果集合a是集合b的子集(ab)，且集合b是集合a的子集(ba)，此时，集合a与集合b中的元素是一样的，因此集

2、合a和集合b相等，记作ab.答一答1若ab，则a中的元素是b中的元素的一部分，对吗？提示：不对，a中的元素是b的一部分或是b的全部2“”与“”有什么区别？提示：“”表示元素与集合之间的关系，而“”表示集合与集合之间的关系3“”与“<”一样吗？提示：不一样，“”表示集合与集合之间的关系；“<”表示代数式间的关系4如何判断两个集合是否相等？提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断；方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足ab且ba.知识点二空集 填一填不含任何元素的集合叫作空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集答一答50，0，有何区别？提示：与0与0与相同点都表示无的

3、意思都是集合都是集合不同点是集合；0是实数不含任何元素；0含一个元素0不含任何元素；含一个元素，该元素是空集关系00或知识点三子集、真子集的性质 填一填由子集、真子集和空集的概念可得：(1)空集是任何集合的子集，即a；(2)任何一个集合是它自身的子集，即aa；(3)空集只有一个子集，即它自身；(4)对于集合a，b，c，由ab，bc可得ac；(5)对于集合a，b，c，由ab，bc可得ac.答一答6对于集合a、b、c，如果ab，bc，则ac，若ab，bc呢？若ab，bc呢？提示：ac；ac.7分别写出集合a，a，b和a，b，c的所有子集，通过子集个数你能得出一个规律吗？提示：集合a的所有子集是，a

4、，共有2个子集；集合a，b的所有子集是，a，b，a，b，共有4个，即22个子集；集合a，b，c的所有子集可以分成四类：即；含一个元素的子集：a，b，c；含两个元素的子集a，b，a，c，b，c；含三个元素的子集a，b，c共有8个，即23个子集规律：集合a1，a2，a3，an的子集有2n个；真子集有(2n1)个；非空真子集有(2n2)个1对子集概念的解读(1)“a是b的子集”的含义是：集合a中任何一个元素都是集合b中的元素，即若xa，则一定有xb.(2)注意误区：不能把“ab”理解成“a是b中部分元素组成的集合”，因为a时，a中不含任何元素，但有ab；当ab时，a中含有b中的所有元素，也有ab.(

5、3)当a不是b的子集时，记作“ab(或ba)”2对真子集的理解(1)若a是b的真子集，则a一定是b的子集，且ab.(2)a是b的真子集，我们还可以理解为：a中所有元素都是b中的元素，但在b中至少存在一个元素不是a中的元素3关于空集的两点说明(1)空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素注意和是有区别的，是不含任何元素的集合，而集合中含有一个元素.(2)规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集因此遇到诸如ab或ab的问题时，务必优先考虑a是否满足题意4子集关系与其特征性质之间的关系若a是b的子集，则由集合a中元素的特征性质可以推出集合b中元素的特征性质，反之，若由集合a中元素的特征性质可

6、以推出集合b中元素的特征性质，则a是b的子集类型一集合中子集个数的求解 【例1】已知a是给定实数，那么集合ax|x23xa220，xr的子集的个数为()a1b2c4 d不确定【思路探究】先确定集合a中的元素个数，再求其子集个数【解析】方程x23xa220的根的判别式94(a22)14a2>0，所以方程有两个不相等的实数根，故集合a中有2个元素，所以集合a的子集共有224个【答案】c规律方法 1.当一个集合的元素个数较少时，可以用列举法写出它的全部子集、真子集，从而子集、真子集个数也可求出2当一个集合的元素个数较多时，它的子集、真子集的个数可以按以下结论计算：(后续可学习其推导方法)(1)

7、含有n个元素的集合有2n个子集；(2)含有n个元素的集合有(2n1)个真子集；(3)含有n个元素的集合有(2n1)个非空子集；(4)含有n个元素的集合有(2n2)个非空真子集集合1,0,1共有8个子集解析：(方法一：列举法)集合1,0,1的子集有：，1，0，1，1,0，1,1，0,1，1,0,1，共8个(方法二：公式法)集合1,0,1共有3个元素，故子集的个数为238.类型二集合相等及应用 【例2】已知集合a，b，则集合a，b之间的关系是()aabbbacabda b【思路探究】(1)若集合a，b都是非空的集合，则集合a与集合b相等所表达的意义是：集合a与集合b中的元素是完全相同的，与元素顺序

8、无关(2)若ab且ba，则ab；反之，若ab，则ab且ba.【解析】设x1a，则存在n1z，使x1(2n11)当n12k，kz时，x1(2n11)(4k1)k，所以x1b；当n12k1，kz时，x1(2n11)(4k1)k，所以x1b，所以ab.设x2b，则存在n2z，使x2n2±(4n2±1)因为4n212×2n21,4n212(2n21)1，且2n2(n2z)表示所有的偶数，2n21(n2z)表示所有的奇数，所以4n2±1(n2z)与2n1(nz)都可以表示任意奇数，故x2a，所以ba.综上所述，ab.【答案】c规律方法 本题选项基本列出了集合a和集

9、合b之间的四种关系，判断集合a与集合b具体是哪一种关系，应从集合中的元素入手如本题，应设x1a，由元素的特征得出x1b，故有ab.进一步，再判断b中的元素是否满足a中元素的特征设a，br，若集合1，ab，a，则a2 018b2 0182.解析：由1，ab，a易知a0，a1，故ab0，且b1或1.若b1，由ab0得a1，经验证，符合题意；若1，则ab，结合ab0，可知ab0，不符合题意综上知a1，b1.所以a2 018b2 018(1)2 01812 0182.类型三集合关系的判定 【例3】指出下列各集合之间的关系(1)ax|5<x<5，bx|1<x<5；(2)a(x，y

10、)|xy>0，b(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0；(3)ax|xa21，ar，bx|xa24a5，ar；(4)a不大于5的自然数，b小于6的正整数【思路探究】(1)利用数轴直接判断(2)根据集合中元素的特征或集合的几何意义进行判断(3)先化简a，b，再进行判断(4)用列举法表示出a，b，再进行判断【解】(1)a，b两个集合在数轴上表示如下：由图易知ba.(2)解法1：由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，故ab.解法2：集合a中的元素是平面直角坐

11、标系中第一、三象限内的点，集合b中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，故ab.(3)ax|xa21，arx|x1，bx|x(a2)21，arx|x1，所以ab.(4)a0,1,2,3,4,5，b1,2,3,4,5,0a，但0b，其余元素相同，所以ba.规律方法 本题考查了集合间基本关系的判断方法，同时体现了数学运算的核心素养(1)下列关系正确的是(c)a3y|yx2，xrb(a，b)(b，a)c(x，y)|x2y21(x，y)|(x2y2)21dxr|x220解析：a中，y|yx2，xry|y，3<，3y|yx2，xr，故a错误；b中，a与b不一定相等，(a，b)与(b，a)的

12、元素不一定相同，(a，b)与(b，a)不一定相等，故b错误；c中，(x，y)|(x2y2)21(x，y)|x2y21或x2y21，(x，y)|x2y21(x，y)|(x2y2)21，故c正确；d中，xr|x220，故d错误故选c.(2)设集合m，n，则集合m，n之间的关系是nm.解析：对于集合m，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；而对于集合n，其组成元素是n，分子部分表示所有的奇数由真子集的概念知nm.类型四应用集合间的关系求参数的值(或范围) 【例4】(1)已知集合ax|1x<3，bx|x<a，若ab，求实数a的取值范围；(2)已知集合ax|x<1或x>3，bx|

13、4xa<0，若ba，求实数a的取值范围【思路探究】因为a，b两个集合都是用不等式表示的数集，所以用数轴表示这两个集合，更容易发现它们之间的关系【解】(1)因为ab，所以集合a，b之间的关系可用下图表示由图可得a3，即a的取值范围是a3.(2)由题意得bx|4xa<0.因为ba，所以集合a，b之间的关系可用下图表示由图可得1，即a的取值范围是a4.规律方法 关于两个数集之间的关系问题，常借助数轴，利用数形结合的方法来求解写结果时，要特别注意不等式的等号能否取到，端点的取舍需代入验证设集合ax|a1<x<2a，ar，集合bx|1<x<6(1)当a0时，求集合a；

14、(2)当ab时，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，ax|1<x<0(2)当a12a，即a1时，a，满足ab，故a1符合题意当a1<2a，即a>1时，由ab得解得2a3.综上，实数a的取值范围为a1或2a3.易错警示系列忽视空集导致漏解【例5】已知集合ax|2x5，bx|m1x2m1，若ba，求实数m的取值范围【错解】欲使ba，只需3m3.m的取值范围是3m3.【正解】ax|2x5，又ba.(1)若b，则m1>2m1，即m<2，此时，总有ba，故m<2.(2)若b，则m12m1，即m2，集合a、b在数轴上表示如图由ba得解得2m3.综合(1)(2)可

15、知m的取值范围是(，3【错因分析】空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要对b与b两种情况分别讨论确定m的取值范围若集合ax|x2x60，bx|x2xa0，且ba，求实数a的取值范围解：根据题意得a3,2而对于集合b中的x2xa0，由于ba，故b或b3或b2或b3,2(1)当b时，14a<0，即a>时，ba成立(2)当b3时，14a0，且(3)2(3)a0，此时a不存在(3)当b2时，14a0，且222a0，此时a不存在(4)当b3,2时，14a>0，且(3)2(3)a0,222a0，解得a6.综上所述，a的取值范围为a|a>或a6一、选择题1已知集合ax|1&

16、lt;x<2，bx|0<x<1，则(c)aa>bbabcba dab解析：借助数轴，易知a包含b，即ba.故选c.2在下列各关系中错误的个数是(a)10,1,2；10,1,2；0,1,20,1,2；0,1,22,0,1a1 b2c3 d4解析：正确；应该是10,1,2；、都正确，故选a.3对于集合a，b，若ba不成立，则下列理解正确的是(d)a集合b的任何一个元素都属于ab集合b的任何一个元素都不属于ac集合b中至少有一个元素属于ad集合b中至少有一个元素不属于a解析：由于ba不成立，所以集合b中存在元素不属于a，至于有没有元素属于a不能确定二、填空题4已知集合a1,3，m，