(完整版)2018年人教版八年级数学整式的乘法与因式分解讲义

1、2018-2019学年八年级(上)数学-专属教案整式的乘法与因式分解知识点平方差公式：(a+ b)( a - b) = a2- b2类型一判断能否应用平方差公式进行计算sni下列运算中，可用平方差公式计算的是)A. (x+y)(x+y)B. (x+y)( x- y)C. (-x-y)( y- x)D. (x+ y)( x y)解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误； B中(x+y)(xy)= (x y)(xy),含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误； C中(一xy)( y x) = (x + y)( x y),含x的项符号相同，含 y的项符号相反，能用平方差公式

2、计算，正确；D中(x+y)( -x- y) = - (x+y)( x + y),含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选 C.方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项 互为相反数.类型二直接应用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算:(1)(3 x- 5)(3 x+ 5);(2)( 2ab)( b2a)；(3)( -7m 8n)( -8n-7m)；(4)( x-2)( x+2)( x2+4).解析：直接利用平方差公式进行计算即可.解：(1)(3 x 5)(3 x+ 5) = (3x)2 52=9x225;(2)( -2a-b)( b-

3、2a) =(-2a)2-b2=4a2-b2；(3)( -7mi+ 8n)( -8n-7m) = ( - 7m) 2- (8 n)2= 49mi- 64n2；(4)( x-2)( x+2)( x2+4) =(x24)( x2+4)=x416.方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式.类型三平方差公式的连续使用ffiBI 求 2(3 + 1)(3 2+ 1)(3 4+ 1)(3 8+ 1)的值.解析：根据平方

4、差公式，可把 2看成是(3-1),再根据平方差公式即可算出结果.解：2(3 + 1)(3 2+ 1)(3 4+ 1)(3 8+ 1) = (3 1)(3 + 1)(3 2+ 1)(3 4+ 1)(3 8+ 1) = (32 1)(3 2+ 1)(3 4 + 1)(3 8+ 1) =(3 4- 1)(3 4+ 1)(3 8+ 1) =(3 8- 1)(3 8+ 1) = 316 1.方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止.类型四应用平方差公式进行简便运算m利用平方差公式简算:(1)20 3X 193; (2)13.2 X12.8.解析：(1)把201X 192写成(20 +1) X (2

5、0 -1),然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2 X 12.8写3333成(13+0.2) X(130.2),然后利用平方差公式进行计算.解：(1)20 1X 192= (20 +；) X (20 - 1) =400-1= 3998； 333399(2)13.2 X 12.8= (13 +0.2) X(13 0.2) =169-0.04 = 168.96.方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键.类型五化简求值前H 先化简，再求值：(2x y)( y+2x) (2y + x)(2 y x),其中 x=1, y=2.解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把 x、y的

6、值代入进行计算即可得解.解：(2x y)( y+ 2x) (2 y+ x)(2 y-x) = 4x2-y2- (4y2-x2) = 4x2 y2 4y2+x2= 5x2 5y2.当 x= 1, y =2 时，原式=5X1 2-5X22=- 15.方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算.类型六利用平方差公式探究整式的整除性问题对于任意的正整数 n,整式(3n+1)(3 n1) (3 n)(3 + n)的值一定是10的倍数吗？解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数.解：原式=9n21 (9 n2) = 10n210= 10( n +1)( n1) , n 为正

7、整数，(n1)( n+1)为整数， 即(3 n+1)(3 n-1) (3 n)(3 + n)的值是 10 的倍数.方法总结：对于平方差中的 a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题.类型七平方差公式的实际应用1DI王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说：“我把 这块地一边减少 4米，另外一边增加 4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了 .你认为 李大妈吃亏了吗？为什么？解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可.解：李大妈吃亏了.理由：原正方形的面积为a2,

8、改变边长后面积为(a+4)( a4) =a216, a2>a2 16,，李大妈吃亏了.方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题.完全平方公式：(a士b)2= a2± 2ab+ b2；类型一直接运用完全平方公式进行计算mi利用完全平方公式计算: 2(5 a)；(2)( 3mr 4n)2； .2(3)( -3a+b).解析：直接运用完全平方公式进行计算即可.解：(1)(5 -a)2 = 25-10a+a2；2_ 22(2)( 3m-4n) =9m+24mr 16n ;(3)( -3a+b)2=9a2-6ab+b2.方法总结：完全平方公式：(a

9、7; b)2=a2±2ab+b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放【类型二】 构造完全平方式m的值.如果36x2+(m+ 1)xy+25y2是一个完全平方式，求解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值.解：.1 36x2+ ( mi+1) xy +25y2=(6x)2 +( m+ 1) xy + (5 y)2,(m+ 1)xy = ±2 6x5y,m+1 =±60,mi= 59 或61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的 2倍的符号，避免漏解.【类型三运用完全平方公式进行简便运算利用乘法公

10、式计算:(1)98 2101X99;(2)2016 2-2016X 4030+ 20152.解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果.解：(1)原式=(100 2)2(100 + 1)(100 - 1) = 1002-400+4- 1002+ 1 = 395;(2)原式=20162 2X2016X 2015+ 20152=(2016 -2015)2= 1.方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完 全平方公式的形式.类型四灵活运用完全平方公式求代数式的值(901 已知 x y=6, xy=8.(1)求x2+ y2的值；12 1.

11、(2)求代数式,(x+y + z) +2(x-y-z)( x-y + z) -z(x+ y)的值.解析：(1)由(x y) 2=x2+y2-2xy,可得 x2+ y2= (x-y)2+ 2xy,将 x-y= 6, xy=8代入即可求得2212122x +y 的值；(2)首先化间 2(x+y + z) +2(xy z)( x-y+z) -z(x+ y) =x + y ,由(1)即可求得答案.解：(1) x-y= 6, xy=8,(x-y) 2=x2+y2-2xy, . x2+y2= (x y) 2+2xy= 36 16= 20;12 1 11,2,2,212(2) - 2(x+y+z) +2(x

12、-y-z)( x-y+z) -z(x+y) =-(x +y +z + 2xy + 2xz + 2yz)+2( x-y)一21 2 . 1 2 , 1 21 21 21 22.22.2z xzyz = 2x + 2y+2z+xy + xz + yz+2x+2y xy 2z xzyz = x+y ,又.x+y = 20, -原式= 20.方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x y)2= x2+ y2 2xy, x2+ y2= (x y)2+ 2xy.【类型五】完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解

13、释 (a+b)2(ab)2=4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是()A. a2-b2 = (a+ b)( a- b)22B. (ab)( a+2b) = a + ab 2bC. (a-b)2=a2-2ab+ b2D. (a+b)2= a2+2ab+ b2解析：空白部分的面积为(ab)2,还可以表示为 故选C.a2 2ab+ b2,所以，此等式是(ab)2= a22ab+b2.9方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.探究点二：添括号后运用完全平方公式计算:.2(1)( ab+c);(2)(1 -2x+y)(1 +2x y).解析：利用整体思想将三项

14、式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括 号的符号法则.解：(1)原式=(a- b) + c 2= (a- b) 2+c2+ 2( a- b) c= a2 2ab+ b2+ c2+ 2ac- 2bc= a2+ b2+ c2- 2ab + 2ac 2bc；(2)原式=1 +(-2x+y)1 -( - 2x+y) = 12- ( -2x+ y) 2= 1 -4x2+ 4xy-y2.方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a土 b)2的形式.注意 a, b可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性.因式分解提公因式法(1) m升 mb mc= n( a+ b+ c

15、);(2) a2 b2 = (a + b)( a- b)；(3) a2 + 2ab+b2= (a+b) 2.探究点一：因式分解的概念®ni下列从左到右的变形中是因式分解的有() x2 y2 1 = (x+ y)( x y) 1; x3+ x= x(x2+ 1); (x y) 2= x2 2xy + y2; x2 9y2 = (x + 3y)( x- 3y).A. 1个B.2个C.3个D.4个解析：没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不是因式分解；把一个多项式转化成几 个整式积的形式，故是因式分解；是整式的乘法，故不是因式分解；把一个多项式转化成几个 整式积的形式，故是因式分解；故

16、选 B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形 式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.探究点二：提公因式法分解因式类型一 确公因式多项式6ab2c3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A. abc B . 3a2b2 C . 3a2b2c D . 3ab解析：系数的最大公约数是 3,相同字母的最低指数次哥是ab, 公因式为3ab.故选D.方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定” ：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式 (或相同多项式因式)；(3)定指数，即

17、各项相同字母因式 (或相同多项式因式)的指数的最低次哥.类型二用提公因式法因式分解(1)8 a3b2+12ab3c；(2)2 a(b+c)-3(b+c)；(3)( a+b)( a b) a b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果.解：(1)原式=4ab2(2 a2 + 3bc)；(2)原式=(2 a-3)( b+c)；原式=(a+b)( a-b-1).方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式.类型三利用因式分解简化运算画口计算：(1)39 X 3713X91;(2)29 X 20.16 + 72X 20.16 + 13X 20.1620.16 X 1

18、4.解析：(1)首先提取公因式13,进而求出即可；(2)首先提取公因式 20.16 ,进而求出即可. 解：(1)39 X37-13X91 = 3X 13X 3713X 91 = 13X (3 X 3791) =13X20= 260;(2)29 X 20.16 +72X 20.16 + 13X 20.16-20.16 X 14=20.16 X (29 +72+13- 14) = 2016.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便.类型四利用因式分解整体代换乎值GSUI 已知 a+b=7, ab= 4,求 a2b+ab2的值.解析：原式提取公因式变形后，将a+

19、b与ab的值代入计算即可求出值.解：a+b=7, ab=4, .原式=ab(a+ b) =4X7= 28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值.公式法 :平方差公式：a2 b2 = (a + b)(ab)类型一判定能否利用平方差公式分解因式®n下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A. a2 + ( - b)2 B . 5m220mnC. x2y2 D . x2+9解析：A中a2+( b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误； B中5m20mn两项都不是平 方项，不能用平方差公式分解因式，错误； C中一x2y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误

20、； D中一x2+9=X2+32,两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选 D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符 号相反.【类型二 利用平方差公式分解因式分解因式:41.43 24(1) a -b ； (2) xy -xy .解析：(1) a4-寻4可以写成(a2)2(4b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行分解因式，而其中有个因式a2；b2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x3y2xy4有公因式xy2,应先提公因式再进一步分解因式.21,221.221.21 .1 .斛：(1)原式=(a + 4b)( a 4b) = (a +

21、 4b)( a 2b)( a+2b);(2)原式=xy2(x2y2) =xy2(x+y)( x y).方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行 到每一个多项式都不能再分解因式为止.类型三底数为多项式或单项式时，运用平方差公式分解因式.22(1)( a+ b) 4a ；(2)9(n) 2- ( m- n) 2.解析：将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式分解因式.解：(1)原式=(a+b2a)( a+b+2a) =(b- a)(3 a+b)；(2)原式=(33n n)(33n+ m- n) = (24n)(42n) = 4(2n)(2n

22、).方法总结：在平方差公式a2- b2=(a+ b)( a b)中，a和b可以代表单项式、多项式或单独一个数.类型四利用因式分解整体代换求值例。已知 x2-y2= - 1, x+y=，求 x y 的值.解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x+ y的值代入计算即可求出 xy的值.解：. x2-y2= (x + y)( x-y) =- 1, x+y = 2, x-y = - 2.方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或 者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便.【类型五】 利用因式分解解决整除问题S时2 48

23、 1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可.解：248- 1 = (2 24 + 1)(2 24- 1) = (224 + 1)(2 12+ 1)(2 12- 1) = (2 24+ 1)(2 12+ 1)(2 6 + 1)(2 6 1) , 2 6 64,26- 1 = 63, 26+ 1 = 65, .这两个数是 65 和 63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除.【类型六】 利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算:(1)101 2 992;小、c21“21(2)572

24、X 4428X4.解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可.解：(1)101 2992 = (101 +99)(101 99)=400;_ _2 1_ 2 1 ,_2_ 2、1 一 一 1.1 (2)572 X4428 ><4=(572 428)X4=(572 +428)(572 428) X 4= 1000X 144X 4=36000.方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便.类型七在实数范围内分解因式颤!在实数范围内分解因式.(1) x2-5；(2) x3 2x.解析：(1)直接利用平方差

25、公式分解，即可求得答案；(2)首先提取公因式 x,然后利用平方差公式进行二次分解，即可求得答案.解：(1) x2-5=(x+事)(x-洞;(3) x3-2x = x(x2-2)=x(x+ /)(x- 72).方法总结：注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式.在实数范围内进行因式分解的结果可 以出现无理数.课后练习一、选择题1 .下列计算中正确的是().A. a2+b3=2a5B . a=a4C. a2 a4= a8D. (- a2)3= - a62. (xa)(x2+ax+a2)的计算结果是().A . x3+2ax2a3B, x3a3C. x3 +r2a2x a3D. x3+ 2ax2+

26、 2a2 a33 .下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有().3x3( 2x2)= 6x5； 4a3b寸2a2b)= 2a;(a3)2=a5；(一a)， a)= a2.A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个4 .若 2a 3,2b 2 ,则 2a 2b =().A.12 B. 7 C. 6D.55 .下列各式是完全平方式的是 ().D. x2+2x1c 1A . x2 x+ B.1+x2 C. x+xy+16 .把多项式ax2- ax- 2a分解因式，下列结果正确的是 ().A . a(x- 2)(x+ 1)B. a(x+2)(x1)C. a(x 1)2D. (ax2)(ax+1)7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则 m的值为().A. - 3 B. 3 C. 0 D. 18,若 3x=15,3y=5,则 3xy等于().A. 5 B. 3 C. 159.下列分解因式正确的是(A . x3 x=x(x 2-1)C . (a+4)(a 4)=a216D. 10)B , m2+m 6=(m+3)(m 2)D , x2+y 2=(x+y)(x -y)10.从边长为a的正方形中去掉一个边长为 b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪开拼成一个矩