2020年高考_理科数学模拟试卷(含答案和解析)

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL。2.选择题的作答：每小题选出答案后用2B铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的

2、非答麴区域均无效.5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=<i为虚数单位八则|片十2| = £ 1A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二衣|2炉一9父+4t0,则ADC rB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I) D. (1,14-710)2 .已知集合A=3 .已知向量:%。则“E| ="是口一2川=12。一加”的A.充分不必要条件C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙

3、子算经中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归少女三日一归.问三女何n相会之意思是一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后至少再隔多少天三人可以再次在娘家相会？：三人再次在娘家相会则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为B. 180 天IX 390 天B.2 020*2 0192Q21 '2 020n 2 020I I - 2 021【高仿咫卷理科数学 笫1页（共4页）】76 .已知等差数列。力的前项和为S,若小+例=慧，S3=3,则数列为的通项公

4、式为A,猴=3-5C. an=nlD. a” = 2-3【高仿密卷理科数学 第5页（共4页）】7 .已知 a£（0,g） ,sin a-cos 0=亳，则 tan+手）=A,B.C. 3D.2Z ,zW。，8 .已知函数fM=若qVAVc,且满足f(a)=f()=/(c),则abc的取值范围为,I log2x| 910,A. (8,0B. (oo, lC. 2,0D.4,09 .已知抛物线C：y=4x的焦点为F,过点F的宜线与抛物线C相交于A ,6两点，则/WT + /|BF| 的最小值为A.、/IB.痣C. 272D. 310 .已知函数/(z)=|cos/|+cos|k|,则下列

5、说法正确的是A.函数八幻是最小正周期为式的偶函数B.函数/Q)的图象关于直线父=接对称乙C.函数/(力的最小值为一2D.函数/在区间(一冷,0)上单调递增11 .若不等式心+ ln心lnCr+l) + l恒成立，则正数/的取值范围为A.(l,十8)B.GW,+oo)C.(e,十8)D. (7e e)12 .如图，在三棱锥A-BCD中,ZiAbC为边长为2的正三角形,AD=CD=CD与平面ABC所成角的正弦值为等，则三棱锥A-BCD外接球的半径为A.底B.白0C.戏D.亨二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .若函数/Cr)是定义在R上的奇函数，且/(x-2) = "/

6、(x),则/(-6) =.14 . 6个人排成一排，其中甲、乙恰好相邻，且丙与甲和乙都不相邻的概率为.15 .已知数列%的前项和为S“，r=1,当GN时,awf=3",则Sz”=.16 .已知(一八0)*21，0)(，0)分别是双曲线。：,一%=1(心0,尻0)的左、右焦点,过尸2作1轴的垂线，与双曲线C交于A,B两点，点M为AB6外接圆的圆心，点M到直线的距离为名, 则双曲线C的离心率为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。（一）必考题:共60分。17 .（本小题满分

7、12分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a ,b,c,且。sir?予+4/畀小篝万.（1）求角A的大小；（2）若,求稗=审的取值范围.18 .（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD-A】BGD1中，人3 = 2,%:=1,4%=3,乂为八41的中点，N为C）的中点.（1）证明:MN 平面ABCD；（2）求平面MCD与平面MGR所成二面角的正弦值.19 .（本小题满分12分）2020年4月9日起,使用青岛地铁APP钱包支付扫码乘车可享受乘坐地铁阶梯折扣优惠、公交乘车 优惠与换乘优惠政策，青岛地铁APP将在原有微信、支付宝、银联三种支付方式的基础上，新增钱包 支付方式,乘车累计优惠最高

8、到7折.根据相关优惠政策，同一乘车码或同一 NFC-HCE乘坐地铁, 一个自然月内，从第一笔消费开始享受单程票价9折优惠；累计消费满100元及以上,每笔消费享受 单程票价8折优惠;累计消费满200元及以上,每笔消费享受单程票价7折优惠；累计消费达到300 元及以上.恢复9折优惠，月底清零,下一自然月重新累计.其中，补交超时费、更新及APP自助补出 站等涉及的金额不参加累计.（1）若甲乘客2020年3月份乘坐地铁上下班的总费用为200元,请估计2020年5月份甲乘客乘坐地 铁上下班的总费用（结果精确到0.01）；（2）乘坐青岛地铁的购票方式一般有三种方式，一是通过自动售票机购票，二是购买专用的乘

9、车卡支 付，三是使用青岛地铁APP钱包支付扫码.现随机调查了 100名乘客，得到如下列联表：使用青岛地铁APP乘车使用自动售票机购票或购买专用的乘车卡支付青年人4010中老年人3020试判断能否有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关?（3）在（2）的条件下,利用分层抽样的方法从青年人中随机抽取10人,再从这10人中随机抽取3人, 记这3人中使用青岛地铁APP乘车的人数为X,求X分布列和数学期望.附:器捍E，其中P(K2)0.0500.0100. 001k3 8416. 63510. 828 220 .（本小题满分12分）已知椭圆C：，+Al（0>9°）的左、右焦点分

10、别为储（-1,0）,巳（1,0）,点P为椭圆C上一点，使得NRPF2 = 60，ZPBF2的面积为喙.（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线Z,与椭圆C相交于A.B两点，直线1.2与椭圆C相交于D,E两点.且A,B.O,E四点的横坐 标均不相同,若直线A与直线12的斜率互为相反数，求证:直线AD和直线BE的斜率互为相 反数.21 .（本小题满分12分）已知函数/（J7）=x+ae, （In4一工）.（1）若曲线）=/（工）在点（1,/（D）处的切线过点（一1, 1e）,求实数a的值;（2）若函数/（外仅有两个零点，求实数a的取值范围.（二）选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答

11、。如果多做，则按所做的第一题计分。22 .（本小题满分10分）选修4 -4：坐标系与参数方程r=cos在平面直角坐标系nOy中，曲线G的参数方程为X, （Z为参数）.以坐标原点。为极点,j=2+sin I1轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为/cos 20=1.（1）求曲线G和。2的直角坐标方程；（2）若点P在曲线G上，点Q在曲线。2，求IPQI的最小值.23 .（本小题满分10分）选修4 - 5 ：不等式选讲已知Q,入c为正数,证明：上e+/+！）>3；（2）鱼抖+负土支+«±比'12.2020年普通高等学校招生全国统一考

12、试高仿密卷理科数学参考答案题号123456789101112答案BACBDBCACDAD【答案提示】1. B因为之=密,所以/=篙3y=:=力所以I/+2I = 12+11=75.故选B.2. A 由 A =(8=川2,，一 97+4<0=(1,4),所以 A Pl( C 口出=(1,4) .故选A3. C 由 |。-2" = |2。一川，则(0 26)2 = (20 。)2,所以|4|2+4|6|2 = 4|0|2 + |2,有|。| = |6|,故"|。| = |""是 ”|a2b| = |2a-W”的充要条件.故选C.4.B |11 5X4X

13、3=60可知,耍隔的天数为60的正整数倍.故选B.5 D S=H+ -H=(1-L) + (JL)+(11) = 11=2_2?P 故选 du 0 1X2 2X32 020X2 0212 >23)2 020 2 021/ 1 2 021 2 021.以磔以6.B设公差为乩则&=驹铲2=3阪=3,得何=1.有(ld)2 + (l+d)=J,解得,所以a=1+孑(-2)=4a乙乙7. C 由 1 -sin 为=卷，得 sin 2a，可知 sin a+cos a= Jl +sin 2a = Jl +' =与工与 sin acos。=巧联立，得sma=等,cosa/,所以E=2,

14、所以tan(a+才)=七=港=-3.故选C.8. A由函数八外的图象（如右图），可知由|log2| = |log2c|得一10g”=10g2C,所以机=1，所以。加=。6（一8,0.故选儿9. C 点尸的坐标为（1,0）,设点A,B的坐标分别为（5，y ）,（孙，北 ）,直线八6的 J=4n,方程为工=7”+1（6610,联立方程，消去工后整理为y24。，-411=肛y+1,=0,所以yi +3 = 4m，w = -45+4=加+X)+2=462+2闭4=(JjTl + 1 + x/4 + 1 )2 =1+才2 + 2 + 2 J(N + 1)(也 + 1)=4 +/2 + 2 + 2 J工

15、+nz+2,由力+力2)2 J工1工2 =2（当且仅当© =彳2 = 1时取等号），所以（4W十JW）222十2+2 = 8,可得vWT+JTW的最小值为 272.故选C.10. D 由 /（X）= |cos（ a-）| +cos| x |cos xl+cos |/| =/（彳）,可知函数 /G）为由函数，由 /（0） = 2,/（k） = 0 可【高仿密卷理科数学 参考答案 第1页（共6页）】知芯不是函数/1)的周期；由/(0) = 2,/(» = 0可知，函数/Cr)的图象不关于直线对称:由/Cz)|cos川一1一1,可知一2不是函数八外的最小值；当一£<

16、;rVO时,/(» = cosi+cos(i) = 2cosw此时函数 八彳)单调递 地.故选D.11. A 不等式可化为外2 +ln +£>ln(jr+l) + (：r+l)有"出 + 1水2)>m(1+1) + (t+1),令/(#)=/+In 2,则原 不等式化为/(e)>/Cr+D,乂函数/Cr)在(0,+8)上单调递增.所以破>+1>0,所以切>守，令/幻= 号(父一1),有g'Cr)= 一千，令g'>0,得一 lOV0,g'Cr)V0,得，0,所以函数gCr)的增区间为(一 1,0),臧

17、 区间为(0,+8)小")皿=仪0) = 1,故有切>1.故选A12. D如图，取AC的中点E,连3E,DE.过点D作直线3E的垂线，垂足为H,设三棱锥人A-BCD 外接圆的半径为K. rtl AO=CD,AB=BC,AE=CE,可得 BEJ_AC,DE_LAC,有/f：AC_L平面 BDE,可得 DHJ_AC,乂由 DH1»BE,可得 DH_L平面 ABC.ZDCH 为直线/太! r _ r(:¥二1CD与平面ABC所成的角，可得sin/DCH =呼,cosNDC = Jl=条。"=ABCDsinZDCH=72=等,CH=CDcos/DCH=&a

18、mp; X*=挈，在中,4 + BH2 4BHX§ = 解得:BH= 挈或孽.当8挈时，BD=C目一反此时三棱推ABCD为正三棱推，有代一等+ (gR)1解得R=当当3"=孽时.3D=7停工=痣，此时由AB?+3=4 + 2 = 6 = BDMr得AB± AD,同理可得BCJ_CD，此时BD的中点为三棱锥A -BCD外接球的球心，得R=辱由上可知三棱锥A-BCD外接 乙球的半径为等.故选D.13.0因为/(n)为R上的奇函数，所以八0) = 0,乂由/(4+t) = -/Cr+2) = /Cr),可得函数八工)的周期为4,所以 /(-6)=/(-2) = -/(0

19、)=0.14. y 6个人排成一排,其中甲、乙恰好相邻，且丙与甲和乙都不相邻的推法数为2A1A： = 144.所求概率为党=舞 1一 515.2X3" -2由4-卜|=3”，7 =1,得%=3,则姐=色小虫"=啰=3,所以色4=丝&坦=舄 =3,5= a21rClZnU 2n+|3。2”一1 。2e一13(4 +& + +。2”7)+(。2 +&+。1)=11二 +3(：_)=2(3”-1)=2乂342.16 .、6 把代入双曲线C的方程可求得y=±f,可知点A的坐标为(c,9)，点B的坐标为(c, - f ) ,山双曲线的 对称可知点M在

20、t轴上，设点M的坐标为5,0),所以直线 g 的斜率为若：=£直线码 的方程为产聂口十。，【高仿密卷理科数学 参考答案 第4页(共6页)】，又有 l?+c| =q (r/：c)2+7A-1，平方后解得惫，代人得lr /宏I盘+。J1+自V4a V=等，化简得3/ /4uV+=8aV>3Z/ /4« + (<2-«2)2 = 8a26 3/+a2) = 8aV,3(r2-a2)(? +a2) = &?t3d -8aV -3/=0.(3。2+°2)(/-36)=0,可得犬=3笳，所以6=遍.17.解：(1)由加W -y+csin2B =6

21、(1-cos C) Ml-cos B) =6+c 6cosc+rcosB2 2+2 一"I 厂。2+/ Y 2+d 一 tb+c 2a2a 3+c a b+ca22222 '" 所以吐.可得q+c)2 = 3"即8+ =仪.4分L L(b+c-a>由余弦定理得cosA=/写二尤=奈=皆,又AG(0,3所以A=全 6分sinA+sinB 号+sin(专一C)哼+gcos C+in C *l+cosC) 一班cos?孝 sinCsinCsinCsinC 2 一 0 C C 十 2Zsin -y cos 亏6cos 予 1 _ 四 t 1 短孽-an卢9分

22、因为c>a,所以 O?乂 +C=筝所以W<C<当,所以管V亨奇,得§Vtan专V6，所以§Vtan彳所以 1Vz<2. 12分18.证明:如图1,取CD的中点E.连接AE,EN.?&ztI/： '、 /：DE= EC,CN= DlN.工NEDD 且 NE=；DD】. 2分.(K、/ /441=2八,",4八。口"八乂可£,人儿!=,可£,，四边形八£,2同为平行四边形，“1可八工： 4分传泮力又TAEU平面 ABCD,MNU平面 ABCD,，MN平面 ABCD 5分 A-“(2)解:以

23、点D为原点，向量凉，虎,曲方向分别为北了,之轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则 D(0.0,0),C(0,2,0),DN0,0,3),G(023).M(l,0,?)9工皮=(020),荡=(1,0 4),5 = (0,2,0) 丽=(-1,0,4).设平面MCD的一个法向量为小=包,y,n),取工=3,得2=一2,"=(3,0, 2以设平面MGA的一个法向量为图2b=0.联立方程AX消去"后整理为川+。，则y=kx+nt.Akm2A2 + 1'2 加2-2为田=诬干'fDiG n=2b=Q,取 a = 3,得 u=2,可得 =(3,0,2). 9分

24、C丁。9则有1q解得<MDi a+/c0,由 m n=94=5, |m| = /13f n = /13 ,/*cos<m,it>=, 1J故平面MCO与平面MCQ所成二面角的正弦值为Jl 一信）'=1|. 12分19.解：（1）2020年5月份甲乘客乘坐地铁上下班的总费用估计为100+（200揩）XO. 8=171.11元. 3分冰山 100X（40X2030X10）2（2）由一一50X50X70X30* 762>3, 841,故有95%的把握认为乘坐青岛地铁的购票方式与年龄有关. 7分（3）这10人中使用青岛地铁APP乘车的击年人数为8人，使用自动售票机购票或

25、购买专用的乘车卡支付的行年人数为2人，则X的取值为1,2,3,所以P<X=D=爱T，P<X=2>=警=高尸。=3）=3=卷所以随机变员X的分布列为，X123P171571510分故 E(X) = 1X上+2xA+3X = g 12 分151515520. (1)解:设椭国C的焦距为2c，由题意有c=l.由PKB的面积为喙，即?储I |PB|Xsin60°=卑，所以IPBI |PF2I=4- 2分J 乙JJ因为|PFJ + |PFzl=2a,所以 |P6|2+|PF2|2 = (|PFJ + |P6|)2-2|PFJ 田氏户府一等在PHFz 中,4d=|PB |2+|

26、PFz|2一|PFiI IPB | =4 以? 一号一告=必 -4,又=1,所以 1 = 2, J J所以护=/一（,2=2一1=1.故椭圆c的标准方程为写+y=i. 5分（2）证明：设点A,b,D,E的坐标分别为（© ,1）,（12，2），（4，33），（£，,。，直线43的方程为了=1+加,宜线DE的方程为丁=一日十 9【高仿密卷理科数学 参考答案 第5页（共6页”=2/2因为512,4,为互不相等,故有：直线AD的斜率为"=岭"=0?业= 一任号也十上三蛆X3 X113 473 XfJ*3 X10分12分直线BE的斜率为人=江=及处±&#

27、39;力一«红2土加）=_2但山口+上二里X4 -32力一心工4 X2X4 -X2则人+媪 = T(皓+S)+(lM(春+春)=2火用力24见）+（刀一加）（13+无）一（4 +12）（/3-15 X2 ）2 222、 （ _ k / 477 . 4km 伙（*"） 娱（/一:） 阿以干一数百"十"LM 次中十次阡I ）十 /+ （处1】）（4 -#2 （X3 -的）（X 一曲）故直线AD和直线BE的斜率互为相反数.21,解:由 /(l) = l-ae,/(jr) = l+fleT (in 1一上+上- 1),则 /(l) = l-ae, . 丁可得曲线

28、 y=/Q、)在点(1，/)处的切线为 y(1ae) = (lae)Q,1),即y=(1aeXr.又切线过点（一1，一1一0）,所以一l c= l+ac,解得。=一1, 故实数。的值为一14分（2）因为 /（*）=色r+a（ln N-力）.令g（x）=p-+«（ln一），则函数gCr）与函数/（*具有相同的零点. 5分当=0时屋£）=亭H6（09+8）,此时函数十外没有零点； 6分当。0时，令/1a） = ln一为则/（/）=工-1 = 匕工令，（1）0,有OVrVL可得函数ACr）的增区间为（0,1）, 1工减区间为（l,+oo）.由ACr）&A（l） = - l ,可得a （In q一1）0,所以Cr）O.此时函数4（/）没有零点；由函数4彳）的定义域为（O,+83/Gr）= 与+。（=一。=（1 一/（占+号）， c/ e JC /当a0时，有三十00,令/（力0,可得OVrVl;Cr）VO.得£1,所以函数g的增区间为（0,1）,减区间为（1,+8）,若此时函数8Gr）有两个零点，必有&=一。0,可得 Y卷 9分下面证当0卷时,函数屋力有两个零点：（I ）当 0zVa 时,有。1,可得 OVVl.OV手 Vz,又由得 In 1一”4一1,可得 adn 7 1）一。,贝4 gQ）V彳一aVO,所以取©W（O,a）时g5