2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)和答案

1、2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标出）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. （5分）已知集合 A = 1, 0, 1, 2, B = x|x2Wl,则 AAB =（）A. - 1, 0, 1B. 0, 1 C. -1, 1D 0， 1， 22. （5分）若 z （1+i） =2i,则 z=（）A. - 1 - i B. - 1+i C. 1-i D. 1+i3. （ 5 分） 西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100

2、 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A0.5B0.6C0.7D0.84. （5分）（1+2x2） （1+x） 4的展开式中x3的系数为（）A12B16C20D245. （5分）已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则 a3=（）A 16B 8C 4D 2第 1 页（共23页）6. （5分）已知曲线y = aex+xlnx在点（1, ae）处的切线方程为y =2x+b,贝 U （）A. a = e, b=

3、 1B. a=e, b= 1 C. a=e 1, b =D. a= e 1, b= - 17. （5分）函数y=3_在-6, 6的图象大致为（第5页（共23页）8. （5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，zECD为正三角形,平面ECD，平面ABCD , M是线段ED的中点，则（A . BM = EN ,且直线 B. BM ? EN ,且直线 C. BM =EN,且直线 D. BM ?EN,且直线BM , EN是相交直线BM , EN是相交直线BM , EN是异面直线BM , EN是异面直线第2页（共23页）9. （5分）执行如图的程序框图，如果输入的 ？为0.01,则输出s的值等于（A .

4、 2 24B.10.（5分）双曲线C：号C. 2-2sD.21的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则APFO的面积为（）A.B.平11. （5分）设f （x）是定义域为R的偶函数，且在（0,+）单调递减，则（A.(lOg3二)f(2 2)f2(2万)B.(l0g3-)（2片）fC.(2 2) f (2 3) f(log.)(log+)D. f （2一T） f （2一万）f12. （5分）设函数f （x） =sin （冰卡上）（30）,已知f （x）在0, 52才有且仅有5个零点.下述四个结论：f （x）在（0, 2兀）有且仅有3个极大值点f （x）在（0,

5、 2兀）有且仅有2个极小值点f （x）在（0, 白单调递增的取值范围是孕，察）510其中所有正确结论的编号是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. （ 5分）已知db为单位向量，且ai?b=0,若u=2a-J公，则COS =.14. （5分）记Sn为等差数列an的前n项和.若ai#0, a2= 3ai,则 泮15. （5分）设Fi, F2为椭圆C: WW=1的两个焦点，M为C上 一点且在第一象限.若 MF1F2为等腰三角形，则 M的坐标 为.16. （5分）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图， 该模型为长方体ABCD - A1B1C1D1

6、挖去四棱锥O-EFGH后所得 的几何体，其中O为长方体的中心，E, F, G, H分别为所在棱 的中点，AB = BC = 6cm, AA=4cm.3D打印所用原料密度为第4页（共23页）0.9g/cm3.不考虑打印 损耗，制作该模型所需原料的质 量为g.第7页(共23页)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选 考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠 给服甲离子溶液，B组小鼠

7、给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶 液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测 算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图 直方图：f频率/组距+颉率，组读I0301一050 5?7-11 O0.0.0.0. ON。0.15b 十一十一LII帜0而卜-1| I .1-5 2 5 3.5 4.5 5.S 6.S 7 5百分比 O 2 5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 百分比甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中 a,

8、b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据 用该组区间的中点值为代表).18. AABC的内角A、B、C的对边分别为a, b, c.已知asiM= bsinA .(1)求 B;(2)若AABC为锐角三角形，且c=1,求AABC面积的取值范 围.19. 图1是由矩形ADEB、RtAABC和菱形BFGC组成的一个平面 图形，其中 AB = 1, BE = BF = 2, /FBC = 60 .将其沿 AB, BC折起使得BE与BF重合，连结DG,如图2.(1)证明：图2中的A, C, G, D四点共面，且平面 ABC，平面 BCGE;(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小

9、.20. 已知函数 f (x) =2x3 ax2+b.(1)讨论f (x)的单调性；(2)是否存在a, b,使得f (x)在区间0, 1的最小值为-1且 最大值为1?若存在，求出a, b的所有值；若不存在，说明理由.2121 .已知曲线C: y=j D为直线y=-工上的动点，过D作C的 2二两条切线，切点分别为 A, B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E （0, 1）为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE的面积.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选彳4-4:坐标系与参数方程（10 分）22 .

10、如图，在极坐标系Ox中，A （2, 0）, B （,：）, C （丑，斗）， D （2,兀），弧益,前，面所在圆的圆心分别是（1, 0）, （1,全）， （1,兀），曲线M1是弧标，曲线M2是弧正，曲线乂3是弧乐.（1）分别写出M1, M2, M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1, M2, M3构成，若点P在M上，且|OP|=, 求P的极坐标.选修4-5:不等式选讲(10分)23 .设 x, y, z6R,且 x+y+z=1.(1)求(x-1) 2+ (y+1) 2+ (z+1) 2 的最小值；(2)若(x-2) 2+ (y-1) 2+ (z-a) 2n成立，证明：a - 32019年全国统一

11、高考数学试卷（理科）（新课标出）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .【分析】解求出B中的不等式，找出A与B的交集即可.【解答】解：因为 A = 1, 0, 1, 2, B=x|x21 = x| - 1 0),根据条件可得解方程即可.【解答】解：设等比数列an的公比为q (q0),贝U由前4项和为15,且a5=3a3+4ai,有23叼+&产+aq =15 f a =1q =3a q +4a q=2:a3 = 22 = d故选：C .6 .【分析】求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae+1+0=2,

12、可得a,进而得到切点，代入切线方程可得b的值.【解答】解：y = aex+xlnx的导数为v = aex+lnx+1 ,由在点（1, ae）处的切线方程为y=2x+b,可得 ae+1+0= 2,解得 a=e 1,又切点为（1, 1）,可得1 = 2+b,即b=- 1,7 .【分析】由y =，2的解析式知该函数为奇函数可排除 C,然后计算x = 4时的函数值，根据其值即可排除 A, D.【解答】解：由y = f （x）f ( - x)2-x+2x.f （x）是-6, 6上的奇函数，因此排除 C一川 一又f（4）因此排除A, D.23+1故选：B.8.【分析】推导出 BM 是4BDE中DE边上的中

13、线，EN是 BDE中BD边上的中线，从而直线 BM , EN是相交直线，设DE = a, 则 BD=ha, BE=J.亭从而 BM?EN.【解答】解：.点N为正方形ABCD的中心，AECD为正三角形,平面ECD，平面ABCD , M是线段ED的中点， .BM?平面 BDE, EN?平面 BDE ,: BM 是 BDE中DE边上的中线，EN是 BDE中BD边上的中线， 直线BM , EN是相交直线，设DE = a,则BD=&a, BE = ,弓鼻工（/=6也 , .BM =2Za, EN =巨/2/ = a,24 7 .BM ?EN,故选：B.第13页（共23页）9 .【分析】由已知中的程序框图

14、可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：第一次执行循环体后，s= 1, x=,不满足退出循环的条件XC0.01；再次执行循环体后,0.01;再次执行循环体后,s= 吗，x=十，不满足退出循环的条件xs= 1x=7,不满足退出循环的条件 2Jx0.01,而上0.01,可得：xlog33= 1,。2 22 3 结合 f (x) 的奇偶和单调性即可判断.【解答】解：f(x)是定义域为R的偶函数，.代1口目名)二六1。叼4)， 三 _2 log34log33= 1, 0 2 2 2 3式1 吕故选：C .12.【分析

15、】根据f (x)在0, 2才有且仅有5个零点，可得5兀W2兀（+?6，解出 口 然后判断是否正确即可得到答案.【解答】解：当xqo, 2兀时，3x+?Lq工，2兀金, 555. f （x）在0, 2 T有且仅有5个零点,二 5 兀W 2 兀（+JL6n ,5.卫1公世，故正确，5101因此由选项可知只需判断 是否正确即可得到答案，F面判断是否正确,当x (0,卷)时,a”q一10,第15页（共23页）若f （x）在（0,左）单调递增,则0+2兀 马即33 102 ?.上1公里，故正确.510二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.【分析】根据向量数量积的应用，求出相应的长度和数量积

16、即可得到结论.【解答】解：a亡=二脸=2丁 - J，b = 2,，2=（2&-诋E）故答案为:=4：2 4/13匕+5*=9,旧=14.【分析】根据a2= 3ai,可得公差d=2ai,然后利用等差数列的前，. .C0S0,求得椭圆的a, b, c, e,由 于M为C上一点且在第一象限，可得|MFi|MF2|, MF 1F2为等腰三角形，可能|MFi| = 2c或|MF2| = 2c,运用椭圆的 焦半径公式，可得所求点的坐标.【解答】解：设M （m, n）, m, n0,椭圆C: += 1的a 36 20=6, b= 2i/s, c= 4,由于M为C上一点且在第一象限，可得|MFi|MF2|,

17、MF 1F2为等腰三角形，可能|MFi| = 2c或|MF2| = 2c, 即有 6+1m = 8,即 m = 3, n=V15;6二m=8,即 m= 31且1+a2- a+1 a2,求得a的范围，由三角形的面积 公式，可得所求范围.【解答】解：(1) asin= bsinA ,即为 asiny = aco- = bsinA , 可得 sinAcos1-= sinBsinA =2sin|-cos|-sinA ,. sinA 0,第17页(共23页)兀，k Z不成立,若 cosL = 0 可得 B= (2k+1)2-. sin 2由0V B1且1+a2-a+1a2,且 1+a2a2-a+1,解得

18、六a0,函数f (x)在R上单调递增.a 0时，函数f (x)在在(0,包)上单调递减.a 0时，函数f (x)在0,卓上单调递减.3A1,即a43时，函数f (x)在0, 1上单调递减.则f (0) =b=1, f (1) = 2 - a+b= - 1,解得 b = 1, a=4,满足条件.1,即0a3，矛盾，舍去.若：-务+b = 1，2 - a+b= 1,解得 a= 土 3/3,或 0,矛盾，舍 去.综上可得：存在a, b,使得f (x)在区间0, 1的最小值为-1且 最大值为1.a, b的所有值为：尸口 ,或尸、(b=-l lb=l第21页(共23页)21.【分析】（1）求得丫=号_的

19、导数，可得切线的斜率，可得切线DA, DB的方程，求得交点D的坐标，可得AB的方程，化简可得AB 恒过定点；（2）设直线AB的方程为y=kx+,由（1）可得Xi+X2 = 2k, X1X2 =-1,求得AB中点H （k, k2+l）,由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH|,求得k,再由四边形ADBE的面积为Smbe+SABD,运用点到直线的距离公式和弦长公式，计算可得所求值.2【解答】解：（1）证明：y=券的导数为V, =x,22设切点 A（X1, y1）, B（X2, y2）,即有 丫1=三一,丫2=今一，2切线DA的方程为y-y1 = x1 （x-X1）,即为y=X1X-；,切线DB

20、的方程为y = X2X-4一，联立两切线方程可得X=y（X1+X2）,可得 y=77X1x2=-即 X1X2= - 1,直线AB的方程为y-=1（X-X1）, 2 町一七即为 y A=（X1+X2）（x X1）,可化为 y=-r（X1+X2） x+y,可得AB恒过定点（0,g）；（2）法一：设直线AB的方程为y=kx+冻，由（1）可得 x+x2= 2k, x1x2= - 1,AB 中点 H (k, k2+l),由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH| ,可得土二=历二承，解得k=0或k= 1,即有直线AB的方程为y=工或y=x+二， 22由y=!可得|AB|=2,四边形 ADBE的面积为

21、Sabe +Saabd =A x 2x (1+2) =3;由 y= 土 x+，可得 |AB| = 1十1?74+4 = 4,此时D ( 1, - 1)到直线AB的距离为=6；2V2|AA |E (0, -|)到直线AB的距离为岩一叵则四边形 ADBE 的面积为 Saabe +Saabd =- X 4X (6+正)=4/2 ；法二：(2)由(1)得直线AB的方程为y = tx+5.J 二十日 2 。, C由 2 ，可得 X2 2tx 1=0.于是 x1+x2 = 2t, x1x2= - 1, y+y2= t (x1+x2)+1 = 2t2+1,|AB| = Jht，I 工-町 I(置i +叼)一

22、40叮=2(t2+1)设d1, d2分别为点D, E到直线AB的距离，则&=五引，d2 =因此，四边形 ADBE 的面积 S=-|AB| (d1+d2)= (t2+3) 7Al .设M为线段AB的中点，则M （t, t2+l）.由于而_L或，而而二（3 -2），忘与向量（1, t）平行，所以t+ （t2-2） t = 0.解得 1 = 0或1=1.当 t=0 时，S= 3;当1=1 时，S=4/2.综上，四边形ADBE的面积为3或 哂.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选彳4-4:坐标系与参数方程（10 分）22.【分析】（1）根据弧嬴 画 面所