2013年高考真题——理科数学(新课标I卷)解析版

1、2013年高考理科数学试题解析(课标I )1至2页，第n卷3本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。第I卷 至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。第I卷 1至3页，第n卷3至5页。2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4 .考试结束，将本试题和答题卡一并交回。第I卷一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1、已知集合 A= x2-2x>0, B= x| #vxv3

2、，则 ()A、AAB=B、AU B=R C B? AD、A? B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【解析】A=(- ,0)U(2,+ 工.AUB=R)选 B.2、若复数z满足(34i)z=|4+3i| ,则z的虚部为(),、4-、4A、一 4(B) -(C) 4(D)-5 5【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题【解析】由题知z = |4 3i|=A43 (3 4i) =3 4i故z的虚部为4 ,故选D.3 4i (3 4i)(3 4i)5 553、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事

3、 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力 情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样 方法是按学段分层抽样，故选 C.224、已知双曲线C ： I 4a b1 (a 0,b 0)的离心率为1A. y x B . y41-x 3C.yD.y【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题【解析】由题知,C的渐近线方c . 55 c2a2b2b2 1 b

4、1a 万，即丁/.丁4' ;二25、运行如下程序框图，如果输入的 t 1,3,则输出s属于A.-3,4 B .-5,2 C .-4,3 D .-2,5【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题【解析】有题意知，当t 1,1)时，s 3t 3,3),当t 1,3时，s4t t2 3,4,，输出s属于-3,4,故选A.6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为A、甯cm33B、咪cm331372 兀 3C、一-cm33D、2048 兀8cm,7【命题意图】本题

5、主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R-2,则R2 (R2)2 42,解得R=5, 球的体积为500兀3 注工一cm ,故选A.37、设等差数列an的前n项和为Sn, Sm12, Sm =0,Sm 1=3,贝U m=()A、3【命题意图】B、4C、5D、6本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式， 考查方程思想，是容易题.【解析】有题意知 Sm = m(a1 am)=0,a1=_ am = _ ( Sm-Sm1) =-2,2am 1一Sm1-Sm =3，公差 d = am 1m=5,故选 C.8

6、、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.16 8 B .8 8C.16 16 D.8 16【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边放一个长为 4宽为2高为2长方体，故其体积为12-22 4 4 2 2 =16 8 ,故选 A.9、设m为正整数，(x y)2 m展开式的二项式系数的最大值为a ,(x y)2m 1展开式的二项式F(3,0),过点F的直线交椭圆于 A、B两点。若 AB()x2 y2c X2 y2 ”c、27+w=1D、w+9 = 1是中档题 【解析】设A(xh y) Bd

7、, y2),贝U X1 x2 =2 , yi y2 =-2,2222过江1至在12222a ba b得(Xi X2)(Xi %) (y1 丫2)(必 y2) a2b20,yX1yl =X2b2(x1x2)b2°0112!2L 二 又 k 二 =_2 / = 2，人 kAB = ) = c，a (My?)a312/=；,又 9=c2=a2222X得b =9, a =18, 椭圆万程为 一182y- 1 ,故选D. 9x 2x,x11、已知函数f (x) =ln(x 1),x0 ,若| f (x) | > ax ,则a的取值范围是0系数的最大值为b ,若13 a =7b ,则m =

8、()A、5B、6C、7D、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题【解析】由题知 a=C2mm, b=C2m11,13C2im=7Cmm11,即13 (2m),=7 (2m 1),m!m! (m 1)!m!解得m=6,故选B.x2 y210、已知椭圆 1+b2= 1(a>b>0)的右焦点为的中点坐标为(1, 1),则E的方程为A、余。1B、亲=145 3636 27【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,A.(,0 B.(,1 C.-2,1 D .-2,0【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。【解析】| f(x

9、)|=x2 2x, x ln(x 1),x0，由 | f (x) | > ax 得, 0x 0X2 2x且axx 0ln(x 1) ax,x 0_由 2可得a x 2 ,则a >-2,排除A, B ,x 2x ax当a=1时，易证ln(x 1) x对x 0恒成立，故a=1不适合，排除 C,故选D.12、设 AnBnCn的三边长分别为 an,bn,Cn, AnBnCn的面积为 Sn , n=1,2,3，右 b1 >C1, b1+c1 = 2a1, an+1 = an, bn+1 =Cn + anbn+ an2, ci+1 =2，则()A、&为递减数列B、&为递增

10、数列C、S2n-1为递增数列，Sn为递减数列D、&n-1为递减数列，&n为递增数列【命题意图】【解析】B第II卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题，每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题，考生根据要求作答。二.填空题：本大题共四小题，每小题5分。13、已知两个单位向量 a, b的夹角为60°, c= ta+(1t)b,若bc=0,则t=.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题2 11. 一【解析】bgc=b?ta (1 t)b=ta?b (1 t)b2=-t 1 t=1 1=0,解得 t = 2.222 11

11、4、若数列an的前n项和为Sn= - an -,则数列an的通项公式是an=.3 3【命题意图】 本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n项与其前n项和的关系，是容易题.2 1【斛析】当n=1时，a1 = S1 =-a1 一，解得a1=1,3 3八 212122-当 n>2 时，玛=&Sn1=；7 an-(-an 1")=_ an鼻an 1 ,即 an =2an1 ,333333，an是首项为1,公比为一2的等比数列，an=( 2)n1.15、设当x=0时，函数f(x)=sinx 2cosx取得最大值，则 cos 0 =【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、

12、诱导公式、及简单三角函数的最值问题, 是难题.【解析】: f(x) = sinx 2cosx=2,5、sin x cosx)5令cos2.5贝U f (x) =、5(sin xcossin cosx) = . 5sin(x),=2k, k z,即 x =2k 一22,k z时，f (x)取最大值，此时-)=sin =全 25=2k ,k z, cos =cos(2k22216、若函数f (x)=(1 x )(x ax b)的图像关于直线 x=2对称，则f(x)的最大值是【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题【解析】由f(x)图像关于直线x = 2对称，则0=f( 1)

13、 f( 3)=1 ( 3)2( 3)2 3a b,0=f(1) f( 5)=1 ( 5)2( 5)2 5a b,解得 a=8, b=15,f(x) = (1 x2)(x2 8x 15),2232 f (x)= 2x(x 8x 15) (1 x )(2 x 8)= 4(x 6x 7x 2)=4(x 2)( x 2.5)(x 2 J5)当 xe(8, 2 75)U( 2,2 8)时，f (x) >0,当 xC( 2 75, -2) U( 2 痣,+ 8)时，f (x)<0, f(x)在(8,2 J5)单调递增，在(2 J5,2)单调递减，在(2, 2 J5)单调递增，在(2 J5, +

14、8)单调递减，故当x= 2 J5和x= 2 J5时取极大值，f( 2.5) = f( 25)=16.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、(本小题满分12分)如图，在 ABC, / ABC= 90°, AB=/3 , BC=1, 曲 AB®一点，/ BPC= 90°.1若PB=£,求PA；(2)若/APB= 150 °,求 tan/PBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易 题.【解析】(I)由已知得， / PBC=60o ,PBA=3CO,在 PBA中，由余弦定理得01-1 c 7

15、_7PA2 = 3 - 2 V3 cos30o =,，PA=-；4242(n )设/ pba= ,由已知得，pb= sin ，在 pba中，由正弦定理得，, 3sin150o一吗，化简得，73 cossin(30 )4sin18、tan =3 ,tan PBA=344(本小题满分12分)如图，三棱柱 ABC-ABiCi 中，CA=CB AB=A Ai , /BAAi =60°.(I )证明 ABXAiC；（n）若平面 ABC，平面AAiBiB, AB=CB=2求直线 【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题 .【

16、解析】（I ）取A即点E,连结CE A1B , A1E ,. AB=AA,BAA,=60°,BAA,是正三角形，AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值。l A1E XAB, CA=CBCE±AB,. CE A1E=E,AEJ±面 CEA1, -AB± AC ；(n)由(I )知 EC!AB, EA1 1AB,又面 ABCL面 ABB1A，面 AB6 面 ABB1A =AB)EC±面 ABB1A1 , EC± EA1,urnuuuEA, EC, EA两两相互垂直，以 E为坐标原点,EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示

17、空间直角坐标系O xyz,有题设知 A(1,0,0),Ai (0,V3 ,0),C(0,0,uuiuV3 ),B( 1,0,0), 则 BC = ( 1,0 ,6）,能=款=（-1,0, 73）,uuirAC=(0, J3, V3),设n=（x, y,z）是平面CBB1C1的法向量,uiurn?BC 0 H x . 3z 0则 uuur ，即,可取 n = (y3 ,1,-1n?BB1 0 x V3y 0uuur cos n, ACuuir一n?AC V10uuur,|n|AC| 5，直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为,10512分19、（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，

18、检验方案是：先从这批产品中任取4件作检3这4件产品中优质品的件数记为 no如果n=3,再从这批产品中任取 4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4,再从这批产品中任取 1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否 为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需白费用记为 X(单位：元)，求X的分布列及数学期望。【命题意图】【解析】设第一次取出的 4件产品中恰有3件优质品为事

19、件 A,第一次取出的4件产品中全 为优质品为事件 B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件 C,第二次取出的1件产品是优质 品为事件D,这批产品通过检验为事件 E,根据题意有E=(AB)U(CD)且AB与CD互斥，3.6分641 1一=，2 43 1 211 41 4 1 .P(E)=P(AB)+P(CD尸P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)C；(q)2 - (-)4 + (-)4 -(n) X的可能取值为 400,500,800 ,并且3, 1 x 3 11 x 4 1113/1、3P(X=400)=1-C4 () () = , P(X=500)= , P(X=800)=C4 ()X的

20、分布列为X 400500800P1116J1(1)410分EX=400X 11+500 X +800X 1 =506.2512 分16164(20)(本小题满分12分)已知圆M : (x 1)2 y2 1,圆N:(x 1)2 y2 9 ,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(I )求C的方程；(n) l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A, B两点，当圆P的 半径最长时，求|AB|.【命题意图】【解析】由已知得圆 M的圆心为M (-1 , 0),半径n=1,圆N的圆心为N (1,0),半径r2 =3.设动圆P的圆心为P (x, y),半径为R.(I) 圆 P 与圆

21、M 外切且与圆 N 内切，|PM|+|PN|= (R r1) (r2 R) = r1 r2 =4,由椭圆的定义可知，曲线C是以M,皿左右焦点，场半轴长为2,短半轴长为73的22椭圆(左顶点除外)，其方程为上 工1(x2).43(n)对于曲线 Ch 任意一点 P (x, y),由于 |PM|-|PN|= 2R 2<2, /. R< 2, 当且仅当圆P的圆心、为(2, 0)时，R=2.当圆P的半径最长时,其方程为(x 2)2 y2 4,当l的倾斜角为900时，则l与y轴重合，可得|AB|= 273.IQPI R当l的倾斜角不为900时，由产 收口 l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q,则

22、1Q'=-,|QM | ri可求得Q (-4, 0) , .设l ： y k(x 4),由l于圆Mf目切得3kL 1,解得k . ,1 k2422当k =时，将y x yF2代入y 1(x2)并整理得7x2 8x 8 0 ,解4443得42 二 4 76正,/. |AB|= 1TIXi 18 x2l=y当k = 2时，由图形的对称性可知4|AB|二187综上，|AB|= 18 或|AB|= 2 3. 7(21)(本小题满分共12分)已知函数f(x) = x2 ax b , g(x)=ex(cx d),若曲线y f(x)和曲线y g(x)都过点P(0, 2),且在点P处有相同的切线 y

23、4x 2(I)求 a , b, c , d 的值(n)若x> 2时，f (x) < kg(x),求k的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、 函数最值，考查运算求解能力及应用意识，是中档题.【解析】(I)由已知得 f(0) 2,g(0) 2, f (0) 4,g (0) 4,而 f (x)=2x b , g (x) = ex(cx d c), . a=4, b=2, c=2, d =2；4 分(n)由(l)知，f (x) x2 4x 2, g(x) 2ex(x 1),设函数 F(x) = kg(x) f(x)=2kex(x 1)

24、x2 4x 2 (x 2),F(x) = 2kex(x 2) 2x 4 = 2(x 2)(kex 1),有题设可得F(0) >0,即k 1 ,(1)若1 k e2 ,则一2Vxi w 0, .当 x令 F (x) =0 得，x1= ink, x2 = -2,(2,x1)时，F(x)v0,当 x (x,)时，F(x)>0,即F(x)在(2,x1)单调递减，在(x1，)单调递增，故F(x)在x = x1取最小值F(x1),一 一 一一22一一而 F (%) = 2必2x14x12=x1(x12) >0, .当 x 2 时，F(x) >0,即 f (x) & kg(x

25、)恒成立,22x 2(2)右 k e ,则 F (x) =2e (x 2)(e e ), .当 x 2 时，F (x) >0, F(x)在(一2,+ 8)单调递增，而 F( 2) =0,当 x>2 时，F(x) > 0,即 f (x) w kg(x)恒成立,若 k e2,贝U F( 2)= 2ke2 2= 2e2(k e2) <0, .当x > 2时，f (x) & kg(x)不可能恒成立,综上所述，k的取值范围为1,e2.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B

26、铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。(22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲 如图直线AB为圆的切线，切点为 B,点C在圆上，/ ABC的角平4线BE交圆于点 E, DB垂直BE交圆于 D。(I)证明：DB=DQ BCF外接圆的半径。(n)设圆的半径为 1, BCV3 ,延长CE交AB于点F,【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题 【解析】(I)连结DE,交BCI点G.由弦切角定理得，/ ABF=Z BCE ',/ ABE=Z CBE ，/ CBE4 BCE, BE=CE又 DB, BE,D既直径，/ DCE=90°,由勾股定理可得 DB=DC.3(n)由(I)知，/ CDE之 BDE, BD=DQ 故 DG> BC勺中垂线，BG=一2设D计点为 O,连结 BO,贝U/ BOG=60o , / ABE=Z BCE=Z CBE=30o ,.