关于递推数列的类型及解决策略

1、1 1 / / 6 6关于”递推数列”的类型及解决策略对于递推数列的这类问题是学生学习的疑点或盲点。一方面，他们不能牢固掌握解决此类问题的一般思维方式 ：即首先利用公式j j 中消去 anan 或 SnSn 使递推式得以统一，再思考能否从简化的递推式中发现与anan 或 SnSn 相关的特殊数列，甚至是走“观察一归纳 猜想 一证明 ”的探索之路 ； 另一方面 ， 在应用公式的变化，而使求解与论证失去严谨性。在教学中要避免题型套题型，没有思想方法的主线，教学变为杂乱无章的堆砌的现象。也要避免采取灌输的方法，将这些题型和方法强加给学生的现象，这种只给结果的教学是不可能奏效的，因为没有对解法的来源的

2、任何交代，学生是无法理解的。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧。常见做法一一归纳题型，总结技巧：1 *利用冷=S总一Sp口“二辰.：讪型，分和21讨论，22时，设+ m = k(a.叨s3* ；：_： = g+ f(时型，分k=1,/(町是否可求和，y f(ri)=Gn + b9f(h)=qn(g*1.0)等辛5耳工耳工=pa + qa . p,q为常数)型；.题型套题型，没有思想方法作为主线，显得杂乱无章。例：型通项公式的教学设计数列,：中，己知兔二口，当心1时，有仇沁仇沁= =戸弧戸弧- - , ,其中卫卫为常数，且 求数列3J的通项公式，这是一个数列递推问题，一般地，抽象问题具体化，一般问题特殊

3、化是数学中采用的基本策 略。因此，先考察几个特殊的具体问题，以便从中找出思路。聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅。问题1己知*二1,g 二2乩丰1E V).求通项公式。设计意图：本题是解决整个问题的关键，取p=2p=2， q=1q=1，是因为这时比较容易观察出其结构特点，并可以采用 凑”的办法，将数列化归为等比数列。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骤東。注意，教学中应该在这里舍得花时间，放手让学生自己去做，教师不必干预过多。务=S, -S-(科2)对递推式f(j5,) = 0进行变换的过程中常忽视 n n 取值范围2 2 / / 6 6问题2已知鱼=1,=2 + 3 eN*),求通项公式。设计意图；这个问题主要

4、是为了列固一下问题1中获得的方法。思考一.由$=4心迢 二灯” +3(起? 11,得 e= 5.ct-=13. = 29.冬=61，可以看出应是扌旨数増长,猜想&=2_;-3学生可能会计算出数列的前几项，从而猜想出通项公式，这应该是学生思维的火花， 教师应该及时鼓励。思考二.由冬 T得 出=5.=13.a. =29.iX = 61j得d d _ _列列= =4,屿口：口：=&兔= 16&叭叭=32,得岀规律:S 7 =竹结合=2-3,得氐二 L -3 .能够用思考二解题的学生，己经可以通过计算岀数列的前几项，找到规律,从而得到 J-电=，再利用已知条件求出通项公式，思维

5、发展更近了一歩。思考三.由彳记=工-3得辺-：=?工.厂3,得 J -掘“=验7、又由今-工 7 故g _a 是等比数列,首项为4,公比为2,所以盘a 口= 4 - 2*-.结合 2- 3彳导罠2 ? 思考四.由 j 近 7 得 j -3=迴 T,又还亠 4故U-纠是等比数列,首项为4,公比为2,所以a *3 = 4 2,即a3 3 / / 6 6能够用思考三、 四解题的学生， 已经能够主动应用解决数列问题的基本方法, 关注数列的属性，通过利用条件、得到数列仅工是等比数列,或者利用拼凑 的方法，得到数列&T是等比数列，从而解决问题。思考五.由a.=1夂一,- -覧览覧览仝li,得a =

6、la .-3_-4J-=2(2 *3) + ? d十2宀3=-31- 2 x3 -3h% .-2:X3-2X3-3a -2:x3-2x3-31-2-2-3.当 n=1n=1 时也成立能够用思考五解题的学生，很好地利用迭代的方法解决问题。4 4 / / 6 6思考六设 -f龟-f),即 g “务得故递推公式为% +3 = 2(碣+3).令力二 6 +3 ,则$ = 口 +3二4，且务就+却=2陽.+3 务+3所以仇是以$二4为首项，二为公比的等比数列.则 =4xY- =2i,所以口严2-3 5 e V)能够用思考六辭题的学生，是用特定系数法解决问题，思维层次较高。如杲学生不能得出以上各种解法，教

7、师可以设计问题3珥=1*a -laq(neN*)求通项公式。设计意图：这是p=2时的一般性结论.变形为% +盯2匕 S 对引出汀待定系数法”很有启发。问題4已知碣=工,口=3爲+1 5頁？T),求通项公式。设计意图，这个问题不能“凑了，怎么办？待学生产生困难后，再做如下引导注意观察前几个问题的解决过程，变形后，得到等式的结构有件么共性？对解抉这个问题有什么启发？结论；者B转化为卡 2 也;+门的形式。设口曲+f二咒口：卄)，贝0 r = ,于是十+ =30：+$问题5般地，对于兔如何求通项公式？设计意图：在前面几个问题的铺垫下， 这一问题的解决已经水到渠成， 当然，因为推广了 同 类事物”，所以要注意 完备性”，要对细节、特例进行讨论。酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯。上述设计，我们不是把 待定系数法”强加给学生，而是通