2020年备战中考提优训练：(加权)线段和的最值问题

1、（加权）线段和的最值问题线段和最值问题是全国各地中考的热门题型，其中表现形式主要有两种，即 a b” 型和a k b”型，其中a b ”型问题以 将军饮马问题”为主，再辅以各类变式，也有 少量的 费马点问题"（a b c”型），而a kb”型问题主要有三类： 胡不归问题”、 阿波罗尼斯圆问题、定边对定角问题.解决这类问题的方法主要有代数法和几何法.代数法的本质是：点的运动导致量的变化，建立函数模型破解.而本讲中重点介绍的 是几何法.几何构造的指导思想是 变中藏不变工找到运动过程中不变的要素是解题的 突破口，例如不变的位置、不变的形状、不变的大小、不变的关系等.具体操作方法是： 通过轴

2、对称、旋转、平移、剪拼、位似缩放等变换手段，转移线段的位置，并有机地 聚合线段。如何转移、聚合线段呢？可以通过如下流程来达成 .离散线段聚合 各种变换手段转移位置 线段 折线折化直一条线段 斜化垂垂线段两点之间线段最短垂线段最短此类问题一般能化归为一下两个基本模型.多条线段聚合成折线段，且折线两端点均为定点（或相对位置固定），则可根据 两 点之间，线段最短”将折线转化为线段求最值，如图1所示.折线化直后，该线段再一个定点与一条定直线之间，或在平行线之间，根据 垂线段最短”将斜线段转化为垂线段求最值，如图 2和图3.本讲将会通过几组例题，来具 体讨论此类问题的解题策略.类型1:将军饮马问题”及其

3、变式例1:如图，已知A (3,4), B (-1,-1）在x轴上取两点E, F,且始终保持EF=1,线段EF在x轴上平移，当四边形 ABEF周长最小时，求点E的坐标.10例2:如图，在矩形 ABCD中，AB=8, AD=4, M是AB上的动点，N是对角线AC上的动点，求MN + BN的最小值.例3:如图，在正 ABC中，AB=4, P, M, N分别是BC, CA, AB上的动点，求PM+MN的最小值.变式训练：如图，在正4ABC中，AB=4, P, M, N分别是BC、CA、AB上的动点, 求PM+MN + NP的最小值.例4:如图，在矩形ABCD中，AB=2, AD=3, E, F分别是边

4、AD, DC上的点，且EF=2,G为EF的中点，P为边BC上的一个动点，求PA+PG的最小值.变式训练1:如图，在矩形 ABCD中，AB=2, AD=3,以D为中心作边长为 血 的正方形KLMN , G为正方形边上一动点，求 PA+PG的最小值.变式训练2:如图，正方形ABCD的边长为4,且始终满足AE=BF,连接DE, DF,求DE+DF的最小值.例5:如图，矩形ABCD中，AB=10, BC=5,点E, F, G, H分别在矩形各边上，且AE=CG, BH=DF,求四边形EFGH的周长的最小值.变式训练：如图，在矩形 ABCD中，E, F, G, H分别是矩形各边上的任意动点，试 求四边形

5、EFGH周长的最小值.类型2:加权线段和例6:如图，。的半径为2, AB为直径，过OA的中点C作CDLAB交。于点D,DE为。的直径，P为。上的动点，求2PC+PE的最小值.例 7:如图，已知点 A (2,0), B (0,2), C (4,0), D (3,2), P 是4AOB 外第一象限内 的一个动点，且保持/ APB=135°,求2PD+DC的最小值.例 8:如图，C、D 两点在 4PAB 的边 AB 上，AC=BD,若/CPD=90°,且 PA2 PB2 10,求2 AB CD的最大值.补充讲解: 补充一：利用矩形的隐含性质解题两例例 1:如图，在 zABC 中，

6、/ ACB=90°, D, E 两点在 AB 上，且 AD=BE, DE=4,若 例 2:如图，在4AOB 中，OA=1, OB=2,以 AB 为边构造 RtAABC, BC=1 , / ABC=90° ,CD2 CE2 58 ,求AB的长度.求OC的最大值.补充二：a kb”型的最值问题两例例1:如图，用长为20cm的木栅栏靠墙围城矩形猪舍(AB+AD+CD=20cm),为了给猪舍装上顶棚，要先沿对角线安装支架，求矩形猪舍面积的最大值和对角线支架长度AC+BD的最/卜值.例 2:如图，在 zABC 中，/ ACB=90°, AB=8, CD，AB 于点 D,求 4AD+CD 的最大A(1.作业训练:1 .如图，点 A, B在。上，且 OA=OB=12, OA±OB, C是OA的中点，点 D在OB上，OD=10,动点P在。上，求PC2 .如图，OD,OE分别平分/ AOC, /BOC,线段MN=2,动点M, N分别在射线 OD, OE上运动，求M、N两点到直线AB的距离之和的最大值.3 .如图，正方形ABCD的边长为5,矩形EFGH的边长EH=4, EF=3,它们在直线1的同侧，且可以沿直线1滑动，直线FG交AB于点M,