专题二：平行四边形常用辅助线的作法

1、专题讲义平行四边形十几何辅助线的作法、知识点1 .四边形的内角和与外角和定理：(1)四边形的内角和等于360° ;(2)四边形的外角和等于360° .2 .多边形的内角和与外角和定理：(1) n边形的内角和等于(n-2)180 °(2)任意多边形的外角和等于 36003 .平行四边形的性质：性质四边形ABC北平行四边形判定(1)两组对边分别平行;(2)两组对边分别相等;(3)两组对角分别相等;(4)对角线互相平分； (5)邻角互补.4、平行四边形判定方法的选择已知条件选择的判定方法边1 一助边超等L方法，方法一组对边平行定义(方法1),方法(3)角一组对用相等.二

2、方法5时曲线方法315、和平行四边形有关的辅助线作法(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD勺对角线AC的中点，四边形OCD日平行四边形.求证：OE与AdM相平分.9代 / 亨/ 诙说明：当已知条件中涉及到平行，且要求“证的结论中和平行四边形的性质有关， 可试通过添加辅助线构造平行四边形.(2)利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在 ABC中，E、F为AB上两点,AE=BF ED 求证:ED+FG=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平 行时，可通过作平行线构造另一组 对边平行，得到平行四边形解决问(3)利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图

3、，已知 ADbABC勺中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行 四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边 形.当已知中点或中线应思考这种方法.(4)连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF ,请你以F为一和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)(5)平移对角线，把平行四边形转化为梯形C12,A、 1 m 11B 、2 m 22例5、如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,如果

4、ACBD 10, AB m,那么m的取值范围是(C、 10 m 12(6)过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例6、已知：如图，四边形 ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD 2 DA2(7)延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形例7、已知：如右上图4,在正方形ABCD中,于P点，求证：AP ABE,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交并证明你的图4二、课堂练习：1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB的中点，AC与DE相交于点F ,若平行四边形ABCD的面积为S,则图中面积为1s的三角形有()2A. 1个 B .2个 C .3

5、个D.4个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 四边形.3、如图，AD, BC垂直相交于点 O, AB/ CD BC=8 AD=q 贝U AB+CD勺长=4、已知等边三角形 ABC的边长为a, P是 ABC内一点，PD/ AB, PE/ BC PF /AC,点DE、F 分另I在 BC、AG AB上，猜想：PN PE+PF=猜想.5、平行四边形ABCM , E,G,F,H分别是四条边上的点，且 AE CF , BC DH ,试说明：EF与GH相互平分.8、如图，E是梯形ABCD要DC的中点.E6、如图，平行四边形 ABCD勺对角线AC和BD交于O, E、F分别为OB OD的中点，过O

6、任作一直线分另I交AR CD于G、H,试说明：GF/ EH7、如图，已知AB AC , B是AD的中点，E是AB的中点.试说明：CD 2CE9、已知六边形 ABCDEF勺6个内角均为120° , C52cm, BO 8cm, AB= 8cm, AF=5cm试求此六边形的周长.10、已知 ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC边上的任一点，且DE ABDF AC,CH AB ,垂足分别为 E、F、H,求证：DE DF CH11、已知：在 Rt ABC中，AB BC ;在Rt ADE中，AD DE ;连结EC ,取EC的中点M ,连结DM和BM .(1)若点D在边AC上，点E在边AB上

7、且与点B不重合，如图, 求证：BM DM 且 BM DM ;(2)如果将图8-中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图，那么(1)中的结论是否仍成立如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.AD图图-DEAO OC, DO OB AO AE OC FC 即 OE OF BF DECE , DC BE ,贝U有四边形CDBE为平行10, AE 2AB 2m22 解得1 m 11 故选ADF BC的延长线于点FBE)2 AB2 BC2 2BE BC222CF) CD BC 2BC CF2BC CF 2BC BE四边形ABCD为平行四边形AB / CD 且 AB CD , AD

8、BCABC DCFAEB DFC 900答案：例 4、(1)连结 BF(2) BF(3)证明：连结DB,DF ,设DB,AC交于点O四边形ABCD为平行四边形v AE FC四边形EBFD为平行四边形例5、解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB 四边形，.在 ACE 中，AC 12, CE BD .12 10 2m 12 10,即 2 2m例6、证明：过A,D分别作AE BC于点E , .AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC22222BD DF BF (CD CF ) (BC贝(JAC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DAABEDCF._22_222_2 AC BD AB BC CD

9、 DA例7、证明：延长CF交BA的延长线于点K二.四边形ABCD为正方形AB / CD 且 AB CD, CD AD , BAD BCDD 900 二 1 K 又' D DAK 900, DF AFCDF KAF一 1 1 AK CD AB. CE CD,DF -AD. CE DF22V BCD D 900BCE0 CDF1213 90023 900CPB 90°加 KPB 900二 AP AB二、课堂练习1、C 2、平行 3、1045、分析:形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分£ B6、分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHFF勺

10、对边，若能说明四边形EHFB平行四边形,平行四边形具有对边平行的性质可得 GF/ EH7、分析：延长CE至F,使EF= CE连结AF、BF,得四边形AFBO平行四边形，利用平行四边形的性质证明 DB3 zFBC即可。观察图形，EF与HG为四边形HEGFF勺对角线，若能说明四边形 HEG即平行四边8、分析：过点E作MN/ AB,交BC于N,交AD的延长线于M,则四边形ABN曝平行四边形, ABE与四边形ABNM底等高所以Saabe= 1 S平行四边形abnm2S梯形ABCH S平行四边形ABnMIJ可。9、延KBA、EF.交点记作G；ED*交点记作ILV , 1=130%M理，-4=_7=此 推

11、导出AHL与6CDH都是止 三角形F（.：=GA=FA=5b -06幽CD=DH=CH-，一 H7H.7 B+ H-1 的，二； G+ F=ISO0, 二 GEf<BH因此四边形"KHli是平行四功生， GBWW=- BH=BC+<H=W西边海GBH£的周长13+10）x276六的帮的周长的周归二四切序3BHF的周长-12=3，10、 证明：过D点作DGL CH于G又 DEL AB于 E, CHL AB于 H四边形 DGH时矩形. DE= GH EH/ DG. ./B= /GDC又 AB= AC./B= /ACB /GDe /ACB又/DGC /DFC 90&#

12、176;CD = DC （公共边）. .CD冬ADCF（ AAS .DE CG又 C+ CG+ GH；C+ DF+ DG （等量代换）11、能 :.AEG和AME都是母餐 .且曲ECWIT洱，/政丁政轲，灵整遥;叩湖中星。网号鹉 掰偿玫；包“ &瑞1C,二烟4KE/ /BME 是乙3冢灯的外角，.ZMBC- ZMCB=2 ZMCE,同理 2期= CMDC+MCLW 2MCD（ /心+ zijtgs） ；42* 一三蜴0加寸门、n4rL平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同 性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造

13、就线段的平行、垂直，构成三 角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常 用方法有下列几种，举例简解如下：(1)连对角线或平移对角线：(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或 中位线(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF ,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成

14、一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)连结BFBF DE证明：连结DB,DF ,设DB,AC交于点O四边形ABCD为平行四边形. AO OC, DO OBV AE FCAO AE四边形EBFD为平行四边形OC FC 即 OE OF BF DE图2第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC 12,BD 10, AB m,那么m的取值范围是()A1 m 11 B 2 m 22 C 10 m 12 D 5 m 6解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB CE , DC BE ,则有四边形CD

15、BE为平行四 边形，.在 ACE 中，AC 12, CE BD 10, AE 2AB 2m .12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2证明：过A,D分别作AE BC于点E , DFBC的延长线于点F .AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF2 (CD2CF2)(BC CF)2 CD2 BC2 2BC CF贝(JAC

16、2 BD2 AB2 BC2CD2DA2 2BC CF 2BC BE四边形ABCD为平行四边形AB / CD 且 AB CD , AD BCABCDCFAEBDFC 900ABEDCFCF2_222_2BD AB BC CD DA图4第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4:已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF 交于P点，求证：AP AB证明：延长CF交BA的延长线于点K 二.四边形ABCD为正方形AB / CDH AB CD, CD AD , BAD BCD D 90°1 K 又. D DAK 90°, DF

17、AF - CDF KAF11 . AK CD ABv CE 1CD,DF 1 AD. . CE DF22V BCD D 90°. BCE0 CDF120_013 9023 90CPB 900,WJ KPB 900 AP AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上， 适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长 AE与BC的延长线相交于 F ,则有 AEDs FEC , FAB s FEC , AED s FABAEB图5C第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例6已知：如右上图6,在平行四边形ABCD中，AN BN , BE BC ,