对数平均不等式链高考压轴题中的研究

1、、对数平塩値的酬念中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学时指 出，其压轴题的理论背景是：a+b a-b-2 lna-lnba-b其中lna-lnb被称之为对数平均值对数平均值在现行高中教材没有出现，但其蕴含着高等数学的 背景，近几年的高考压轴题中，频频出现。安扳平老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的有关不 等式，难度较大，为此，本文作了一些探讨，以期对高考复习 迎考有所启发。二.对数平均值加不筈狀犍设ba0,ab,则三.不等式德加证朋下面以凹b_a为例加以证明。2nb-na思路1：由于a,助两个独立的变量，如果能够变形为一个整 体，那么就可以构造两个变量的比值（或差值）通过换

2、元转 化为一元变量，再利用导数这个工具证明此不等式.设a,b0, abb土nb-na 4ab 证法1：设ba0 心 b、则不等式等价于(d + b)(h】b Ina) 2(b a) 0aIn 2aa设函数/(x)= (1 +x)lnx-2(x-lj(x 1),则z, x +1 rxnx-x + f(x)= lnx +- 2 =- .XX令g(x) = xlnx-x + l(xl)?则gr(x) = lnx 0,所以g(x)在(1,+)单调递增，g(x) g(l)= 0,所以/(X)O,/(X)在(1,+8 )单调递增,/(A*) /(1)= 0,故待证不等式成立。思路2:因为要证的不等式中含有

3、两个变量，地位均衡.如果 我们辩证的看到它们，将其中某一个变量作为主元，另外的 一个变量视作为常量来处理，那么往往问题就可破解.证法2:iZba0,ab,则不等式等价于bb (b(d + b)(lnb lna) 2(b a) O + 1 In 2- 1匕丿a匕 设函教(x) = (a +x)(lnx lna) 2(x a)(xa),则.,/、.a .xlnx-(lna + l)x + ahx)= lnx + lna-l =-L-,令(x ) = x In x - (n a +1) x + a (x a),丽z/r(x)=lnx + l- (lna + l) = lnx-lna0,所以(x)在(

4、Q,+co)单调递增,(*)(a) = 0,所以h(x) 0,力(x)在(a,+oo)单调递增，/?(x) h(a)=0,评注：证法1是先将不等式逆推分析，进行等价转化，使得其中的 两个变量的特征、规律更明朗，然后将两个变量的比值（或和、 或差、或积）替换为新的一元变量，便于构造出新的一元函数再 通过对新的一元函数求导，判断其单调性、确定极值（或最值）， 达到解决问题的目的，可归结为“化归换元” 广求导证法2将 地位均衡的两个变量之一作为主元，另外的一个变量视为常量来 处理，构造出一元函数，可归结为“化归主元构造求导”对B平均值的几何解释反比例函数/(x) = l(x0)的图象，所以f丄dx

5、= nb-lna(2)S曲边榻形= j 屈*=B 石T- In a= -(nb-na) = -S辺悌形初姑%5 =話+召阿).1b-a_ 2X4ab 2如图可知：s曲边梯形45 梯形/1BFfia0时,即2(b-a)vliib Ina,In 0 In aD令a =W,Z)=H4-1,则ln(/7 4-l)-lnH,力+1所以一In 2 - In 1 = In 2, - ln3-ln2,-n-/(/7).评注本题是高考试题的压轴题，难度较大.为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论， 用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如 此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对

6、数平 均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、 掌握.例2 (2012天津)设函数/(;v) = x-ln(x + a)(a 0)的最小值为0(1) (2)(略)并2(3)证明：工7777一5(2 + 1)2(*).讨2 -2 222解析：(3)易求4 = 1，待证不等式等价于- + - +y + - + a(M,b ：，即：(b-a)Vlnb-lna,nb-na b2 2令a = 2n-l,b = 2n + l,则2(” + )二=2*+ 111(2n + l)_ln(2n_l),因此？ V In3 In 1,? V In 5 In3,? V In 7 In 5,，3572(-

7、10(21)-10(2.-!),将以上各不等式左右两边分别相加得：22222( “门357 2w-l 2w + l 7丄22gn y-ln(2n + l)2-耗小。)的应用师设数列的通项为讣丽冷，其前项的和为S”,“+尸 b_a即lnb-lna#T?2In b InaJaT+Zr证明5nQ0时,ln(n + l) lnnJ/T +(n + l)2j2”+2n + 血：+2n +易证S” vln(n + l).b alnb Ina(ba0的应用例4 (2015广州三模)记函数H(x)的图象为曲线C.设/(比,必),3(卞,必) 为曲线C上的不同两点。如果在曲线C上存在点M(xJo),使得：(2)

8、曲线C在点M处的切线平行于直线则称函数日(兀)存在“中 值相依切线”.试问函数/(x) = In+(a-l)x(aG7?,a0)是否存在“中值 相依切线”，请说明理由。2解析：假设函数/(刃存在“中值相依切线”，则5=广(),即lnx, -lnx 1 z、/ 八2x.-X 2x-, +x化简可得：皿厂In 2X2XlX2+Xl由1门兀2_也兀In x2- In _2与 _斗 v +旺x2-xx2+ xlnx2-ln2矛盾,故不存在G在M处的切线与C在N处的切线平行。例6设数列 匕抽勺通项为6=1+丄+丄+丄， 证明：d”vln(2n+ l). a+ b2b-a20 a)解析：因为ba0时，-

9、, 即Inb-lna-,2 In In aa + b令 & =2n+l,a = 2w-l,则ln(2n + l)-ln(2/?-lj丄易证an0)的图象在点(1,/(1)A证明：】+*+*+叫”+1)+為(心)解析：(1)b-a-yc-2a例7 (2010湖北)已知函数 处的切线方程为尸X-1.(1)用a表示Sc ；(2)(略)(3)因为b a21(1)nb-naTL9即胞-12击+訓),ab1(11)11令b因此In2 In 10/(A.)0时，1血-lna1,b .令心”+1卫,则ln(n + l)-lnx寸即nb-na 1(1 1-1-2nn + lj1 1_ +-n+1所以ln

10、(w-Fl) In n - H-2nH+ 12,ln(w4-2)-ln(n + l)|2(n + l n + 2丿1 1-1-922n 2n，-,ln2H ln(2n 1) 将以上各ln2-ln(2n + l).4x1* -1 4x2-打4沪-14x-14解析：(2)当ba0时，, 廡,艮卩lnb lnav2令b = 2n+ La= 2川一1,贝0 In(2w+ 1) In(2/7 1) tV4H2-1变形可得:lln(2n+l)-ln(2n-l)-=7-7-T，lln(2；7 + l)-ln(2/7-l)f,将以上不等式相加即可得证.1令r评注：本题提供标准答案是借助于第一问的Q的最小值a

11、= -M, -21n(x+l)+ +3x-l0,即占+3x-l21n(x+l),结合待证不等式X+1入十丄2 122的特征，令x = -(keN)9得一+ *茹一121(丙 +1),2k整理得:恭口25莎亍 即恭口辽臥2斤+1)-血(21),借此作为放缩的途径达到证明的冃的.你能注意到两种方決的区别吗？A不等式链的播弈以对教平均数的不等式链为落点的压轴试题层出不穷，是近几年数学竞 赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的重要的理论背景之一.罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的 数学机智。这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质 的理解，而对问题本质的发现还在于

12、我们对问题信息的审视和挖掘.探究 1：取。=计=乙，则由知:七订土计于是，可编制如下试题：21已矢？*2西0求证：lnx,-ln.* .探究 2：取d=xx + l,则由知丽击五 v 峯上r + *于是，可编制如下试题：y 4-1*7已知x0,求证Inx 2x+l示例1:(2012湖北文科)设函数/(X)二or(l-x) + b(x0),/?为正整数,a,b为常数，曲线/(对在(1,/(1)处的切线方程为x + y=l.(1)求“的值；(2)求函数/(x)的敢大值；证明：/何丄ne分析：（1） Q = 1上=0（2）分析：(1)只需证(a-x)2-(a-2)(a-x)-aln(a-x)x2-(

13、a-2)x-alnx.2(a-2x)、/、(a-x)-xa-x) + x即证-。，只需证兀+兀2。 吗+兀22(X2-X1)(X2+X1+2)nn1(3)只需证明V 即证111业仏“1.只需证明丽济“乜(n + l)-Z7(n + l) + 777；-1S + 1.ln(/7 + l)-lnn 2得证。探究3：取a =x,b =c-x.于是，可编制如下试题：c-2x则由知:示例2:已知函数/（x） = x2-（7-2）x-671nx.（1）设T70,证明：当Ox02丿由念）=/ （小0,有_（吃_召）+应-叭） 即证兀+勺）变形亦即二.(2)要证/探究4:聴=1+“讣=1+打， 则由知:111

14、（1 +西2）_ Jn（l + xj）222 2 7，xf -x/xf +x +2探究5:恥=1-西=1一兀2，则由知:111（1斗）一hi（lx） 2（1一不）一（1一乙）2兀一兀2，示例 3:（2013 湖南文科）已知函数/（X）二丄二1 + JT（1）求f（x）的单调区间;（2）证明：当/（旺）=/（兀 2）（西工兀 2 ）时，召+*20分析：/（兀）在（Y）,0）上单调递增，在（0,+8）上单调递减；（2）因为f（Xj）=/（x2）（Xj,则X10 x2.即卽焉*X2_x/X,2+x22+2，ln（l_xJ_ln（l_X2）22（西+兀2）2（1一斗）一（1_兀2）2_x、_xJ“ x

15、/ +x22+2 2-（Xj+x2），（1 -兀1）-（1-七）20,+ 1.2因为斗+x22,2 1所以才+才+2十2一（斗+切故斗+兀 2 得证。探究 6:取。=坷 0 =花，则由知：芒三訂应于是，可编制如下试题：21V Y已夫口*2斗求证：5兀2一5西 探究7：恥=加（兀1）,则由知:土乜口7?于是，可编制如下试题：X探究 8:恥=心,则由知讯忑 7 云匸工 于是，可编制如下试题：X1+22 、 已知勺 西0,求证：1-玉 vln 左-In 召 v 鱼二x2*2x探究9：取4=召+1,/=兀2+1,则由知：（不 +1） +也 +1）（七 +1） -（西 +1）2ln（x2+1） - ln

16、（X +1）于是，可编制如下试题：已知兀宀W（T，XO），X工兀2，求证:（西+兀2）x,2+打 +22-(X,+X2)求证：色1,仝岂X+1lnxx-1JxXi+x + x7+1.ln(x2+l)-ln(x1+1)- J示例4:(2014绵阳三诊理科)已知函数/(x) = ln(x+d)-x有且只有一个零点。(1)求G的值；(2)(略)(3)设函数A(x) = /(x)+x,对任意的斗,七W(-l,+oo)(A；HXJ,证明：不等式負一吟J督+斗+禺+1恒成立。 凤西)一伽分析：(1)。=1； (2)(略)(3)设函数(x) = ln(x + l),不妨设斗 兀一1,易证不等式恒成立。探究1

17、1：取0=兀+1小=兀2+1,则由知： 、（斗+1）-（旺+1）2 ln（x2+1）-ln（Xj +1）+X +1 x2+1于是，可编制如下试题：已知X, x2G （-1,十）,X H吃，求证：上+1口 冷+呢+D. ln（Xj +l）-ln则由知：(兀2十1)一(斗+1) ln(x2+l)-ln(斗+1)只需弓正明（西+】 ） - （兀2 + 1）Ing 4-l）-ln（x2+ l）5/（齐 +1）区 +1），（A +1） Xj+x2+2探究 12：取Q =X-1,Z =*2-1,则由知：(西_1)+(召_1)(兀2_1)_(斗_1)2ln(x2-1) - Ing _ 1)已知 XpX26（

18、1,+00）,工七， 求证:探究 13:取。=召1 上=冬1,则由知：（兀2一1）一（xi一1）r77? r?于是，可编制如下试题:册匸歸已知召兀丘（1，+00），旺 H，求证:示例5:（2014南通二模）已知函数/（x） =ex-ax+a（aG R）,其图象与x轴交于A（斗,0）,3（七,0）两点，且西x2.（1）求a的范围；（2）证明：/（店）0分析：(1) *0,400)；(2)由已知得历-OV+a = 0,e-弧+ =0,贝ija =-=-(1X| lnax2),Xj 1勺一1两边取对数则：1117=兀-ln(jq - 1)=冷-111(七一1),于是，1门(兀2 1) ln(Xj 1)2丽手社可十耐Ro牡令+切0,要证/（彳任）0,只需证明2y/xx22111（2=齐-111（斗 -1） +兀-ln（x：-1）,即In（召 一1） +In（ _1