【高考数学专题复习】第八章立体几何初步测试(解析版)

1、第八章立体几何初步测试一.单选题（每题 5分，共12题，共60分）1 .在四面体 ABCD中，AB BD AD CD 3, AC BC 4,用平行于 AB, CD的平面截此四 面体，得到截面四边形 EFGH ,则四边形EFGH面积的最大值为（）A. 4B. 9C. 9D. 3342【答案】B【解析】设截面分别与棱 AD, BD, BC,AC交于点E,F,G,H .由直线AB/平面EFGH ,且平面ABCI平面EFGH GH ,平面ABD 平面EFGH EF得 GH/AB, EF/AB,所以 GH/EF ,同理可证EH / FG ,所以四边形 EFGH为平行四边形，又 AB BD AD CD 3

2、, AC BC 4, 可证得AB CD ,四边形EFGH为矩形.设 BF:BD BG: BC FG :CD x, 0 x 1,21 9则 FG 3x, HG 31 x ,于是 Sefgh FG HG 9x（1 x） 9 x -,0 x 12 4.1 9当x 时，四边形EFGH的面积有最大值 一.24故选：B.2 .如图，四边形 ABCO边长为1的正方形，MD_ ABCD NBLABCD且MD= NB= 1,则下列结论中：A MCL ANDB/平面AMN平面 CMN_平面 AMN平面 DCM平面 ABN所有假命题的个数是（A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】由题画出该几何体外接的正

3、方体对，因为MC / /EB, AN EB,故MCLAN成立.故正确.对,因为DB/MN ,MN 平面AMN故DB/平面AM溅立.故正确.对，连接AC易得A MNC为正四面体.故平面CMN平面AMN成立.故错误.对，正方体中平面 DCM平面ABN别为前后两面，故正确.故选：B3 .已知互相垂直的平面， 交于直线1.若直线m n满足m/ a , n± 3 ,则A. m/ 1B. m/ nC. n± 1D. mi± n【答案】C【解析】由题意知1, 1, Q n , n 1 .故选C.4 .设，是两个不同的平面，1是一条直线，以下命题正确的是（）A.若 1, ，则 1

4、B.若 1 / /,/,则 1C.若 1, / ,则 1D,若 1 / / , ，则 1【答案】C【解析】对于 A B D均可能出现1/ ,而对于C是正确的.5 .已知正四棱柱中，则CD与平面所成角的正弦值等于（）A.B【答案】A【解析】设，面积为6 .在RtVABC中， ABC 90°, P为VABC所在平面外一点，PA 平面ABC ,则四面体P ABC中直角三角形的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】由题意，知 PA 平面ABC可得 PAC, PAB都是直角三角形，且 PA BC ,又 ABC 90°,所以VABCfe直角三角形，且 BC 平面P

5、AB ,所以BC PB,即4PBC为直角三角形.故四面体P AB6共有4个直角三角形.7 .已知直线l / ,直线a ，则l与必定（）A.平行B.异面C.相交D.无公共点【答案】D【解析】已知直线l/ ,所以直线l与平面 无公共点，又由a ,所以直线l与平面a无公共点，故选 D.8 .如图，各棱长均为a的正三棱柱 ABC A1B1C1, M、N分别为线段A1B、BQ上的动点，且MN /平面ACGA,则这样的MN有（）A. 1条B. 2条C. 3条D.无数条【答案】D【解析】由题意得 AB CB1 J2a .在BA1, CB1上分别取M,N,使BM BN,过M,N作BM BM1 B1N BN1M

6、M1AB,NN1BC ,垂足分别为M1, N1,则 MM 1PAA1,NN1PBB1,故 1,11 111 BA1BA B1CBC，一 BMB1N - BMBN由于 ，故 ，从而M1N1 PAC，可得M iNi P平面ACCiA .又MM 1 P平面ACGA ,BAi BiCBA BC可得平面MM iNiN P平面ACGA ,由于MN 平面MM iNiN ,所以MN /平面ACCiA ,从而满足条件的 MN有无数条.选D.9.正方体ABCD ABiCiDi中，直线AD与平面ABCi所成角正弦值为（）A. LB. _3C. _3D. _62233【答案】C【解析】如图所示，正方体 ABCD AB

7、iCiDi中，直线AD与BiCi平行，则直线AD与平面ABG所成角正弦值即为BiCi与平面ABG所成角正弦值.因为 AiBCi为等边三角形，则Bi在平面ABCi即为AiBCi的中心，则BiCQ为BCi与平面ABG所成角.可设正方体边长为i,显然BO =3 &二吏,33因此&0=小（雪2=«3,则sin BiCiO 且0 虫，故答案选C.i0.'3 '3BiCi3如图所示，在正方体 ABCD-ABCD中，若E是AiCi的中点，则直线 CE垂直于（）13A8A. ACB. BDC. ADD. AD【答案】B【解析】以 A为原点，AB, AD, AA所在直线

8、分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为则 A 0,0,0 , C 110 , B 1,0,0 ,D 01,0 ,A 0Q1 ， E1 1一,一,12 2uuv CEuuuvAC11,0，uuvBD1,1,0 ,uuuvAD01, 1uuuv ，AA0,0, 1uuvCEnuuv 则CEuuv 11BD02 2luilV r 八BD 即 CE BD故选B11.已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球 。的求面上,ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且SC 2,则此棱锥的体积为（B 3B. 6D.2【解析】根据题意作出图形:设球心为0,过ABC三点的小圆的圆心为Q,则00

9、,平面ABC延长CO交球于点D,则SD1平面ABC ; C0=- 吏 , 323OO1;高SD=2OG 2提,ABC是边长为1的正三角形，. SA ab声叵, 34一V三棱锥S ABCPCi ,则满足条件的点 P12.已知正方体 ABCD AiBCiDi的棱长为2, P是底面ABCD上的动点,PA构成的图形的面积等于（）如图，以AB,AD为x, y轴在平面ABCD内建立平面直角坐标系，设 P（x, y）,x2 y2'(x 2)2 (y 2)2 22 ,整理得 xy 3 0,设直线l : x y 3xPA PC1 得0与正方形 ABCD的边交于点M , N ,则p点在 CMN内部（含边界

10、）11易知 M (1,2), N(2,1) , CM CN 1 , S cmn - 1 1 -.22故选A.二.填空题（每题 5分，共20分）13.已知在直角梯形 ABCD中，AB AD , CD AD , AB 2AD 2CD 4 ,将直角梯形ABCD沿AC折叠，使平面 BAC 平面DAC ,则三棱锥D ABC外接球的体积为 .32【答案】 j3【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC如图所示，由条件可得在底面ACB中，一 一 1 一 一ACB 90 ,AC BC 2点。取 AB的中点 O, AC的中点 E,连 OC,OE 则 OA OB OC -AB 2.2. DA DC ,DE

11、AC. 平面BAC 平面DAC ,DE 平面 DAC ,DE OE.又 DE =1 AC 2,OE 1 BC 2 . 22OD 、.OE2 DE2 2 OA OB OC OD 2. 点o为三棱锥d ABC卜接球的球心，球半径为 2. 求=4 23 32。答案：32。 333Si9 Vi14.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S, S2,体积分别为 V V 若它们的侧面积相等， 且丁 =，则？7824 V2的值是,3【答案】32R 3-=-,它们的侧面积相等,r 2S 9【解析】设两个圆枉的底面半径分别为 R, r；局分别为H, h; S24空;1 ,2 rhr2h氏2(2) 315.长方体 AB

12、CD AB1C1D1 中，AB 22, BCAA 1 ,则BD与平面ABiCiDi所成的角的大小为【答案】-6【解析】根据题意画出图形如图，连结BQ BD1因为长方体 ABCD AB1CQ1中，DQ 平面ABCD垂足为D,DBD1是BD1与平面ABC的成角，面AB1C1D1 / 面 ABCDDBD即为所求.Q AB V2, BC AA 1，BD1 >/3l 2 ,sin DBD1DD11BD12DBD130BD1与平面A1B1cl D1所成角的大小为 一。6故答案为：一。6E是PC上的点，且EF± BC16.如图，在三B隹P ABC中，PA1底面 ABC / BAO 90

13、76; , F是AC的中点,则PEEC【答案】1【解析】在三棱锥 P ABC因为PA1底面ABC / BAO 90° ,所以 A9平面APC因为EF?平面PAC所以EF± AB因为 EF± BC B6 AB= B,所以EF，底面ABC所以PA/ EF,因为F是AC的中点，E是PC上的点， 一 ，一、 PE所以E是PC的中点，所以=1.EC答案：1.三.解答题（17题10分，其余12分每题，共70分）17.如图所示，在三柱 ABC AB1cl中，ZXABC与 A1B1C1都为正三角形，且AA 平面ABC , F , F1分别是AC, A1C1的中点.求证：（1）平面

14、AB1F1/平面C1BF ;（2）平面ABF 平面ACCA .【答案】（1）见解析.（2）见解析.【解析】（1）在三棱柱 ABC A1B1C1中,因为F,F1分别是AC, AG的中点，所以BF" BF, AF" GF ,根据线面平行的判定定理，可得B1F1/平面C1BF , AF1/平面C1BF又 BFi I AFi Fi,CiF I BF F ,平面 AB1F1/ 平面 C1BF .(2)在三棱柱 ABC A1B1C1中，AA 平面ABQi,所以BiFi AA ,又 BFi ACi , A1C1 I AA Ai,所以 B£ 平面 ACCA ,而BE 平面ABiF

15、i,所以平面ABiFi平面ACQA .D是BCi8.如图，在三棱锥 P ABC中，平面PAC 平面ABC , VPAC为等边三角形， AB AC , 的中点.14(i)证明：AC PD ；(2)若AB AC 2 ,求D到平面PAB的距离.【答案】(i)证明见解析(2)旦2【解析】(i)证明：取 AC中点E ,连接DE , PE.Q VPAC为等边三角形，PE AC .Q AB AC , D是BC的中点，E为AC中点，. ED AC.又 PEI ED E, AC 平面 PED.AC PD(2)方法一：取PA中点M ,连接CM.QVPAC为等边三角形，CM PA.Q 平面 PAC 平面 ABC ,

16、 AB AC ,AB 平面 PAC. AB CM .又 AB PA A, CM 平面 PAB.Q AC 2, VPAC为等边三角形，CM J3.Q D是BC的中点，D到平面PAB的距离的2倍等于C到平面PAB的距离.D到平面PAB的距离为咚.方法二：由平面 PAC 平面ABC , AB AC ,可得AB 平面PAC ,则AB PA.1'CAB AC 2, VPAC 为等边三角形，则 Sapab - PA AB 2.2一1 ACQD是BC的中点，SA ABD -AB 1.22点P到平面ABC的距离为PE J3 ,设D到平面PAB的距离为d ,18由Vd PABVP ABD1s-SA PA

17、B3-SAABD PE ,解得 d .3219.在长方体ABCDA1B1C1D1 中，AB BC 1, AA12, E 为 BB1 中点.(1)证明：AC D1E .(2)求DE与平面AD1E所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)旦.3【解析】1证明：连接BDQ ABCD ABGDi是长方体,DQ 平面ABCD又 AC 平面 ABCD,D1D AC在长方形ABCD中，AB BC, BD AC又 BD D1D D, AC 平面 BB1D1D而 D1E 平面 BB1D1D, AC D1E2如图建立空间直角坐标系D xyz,则 A 1,0,0 ,Di 0,0.2 ,E 1,1.1 ,B 1

18、,1.0 , AE 0,1,1 ,?AD1,0,2 &1,1,1AEADDE设平面ADE的法向量为n x,y,z ,则x 2z 0y z 0令 z 1,则2, 11nc2 1 12cos ,?=n de 363所以DE与平面ADE所成角的正弦值为_2AB, AB/DC , AB 1 , AD DC AP 2 ,20.如图，在四麴i P ABCD中，PA 底面ABCD , AD点E为棱PC的中点.(1)证明：BE/面 PAD;(2)证明：面PBC 面PDC ;(3)求直线PD与面PBC所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)显3【解析】(1)取PD中点M ,连接ME,

19、MA.11因为E为棱PC的中点，所以ME DC且ME/DC,又AB/DC且AB -DC , 22故AB/ME且AB ME,故四边形ABEM为平行四边形，故AM/BE,又 AM 面 PAD, BE 面PAD,故 BE/面PAD.(2)因为 AD AP ,故 AM PD ,又 PA 底面 ABCD,故面 PAD 面 ABCD ,又面 PADI 面 ABCD AD, AD AB , AB/DC ,故 DC AD,故 DC 面 PAD,故 DC AM .AM CD所以 AM PD , PD 面 PDC , DC 面 PDC，故 AM 面 PDC .面PBC,故面PBC 面PDC.CD PD D又AM / /BE ,所以BE 面PDC .又BE(3) VP bcd3 SVBCDPA又 PBPA2 AB25, BCAD2 (DC AB)25,3201PC VPD2 DC22*3.故SVPBC 2 2h3 55 31 _故D到平面PDC的距离h满足VP BCD -SVPBC h3即'-76 h ,所以 h 2 .3 33设直线PD与面PBC所成角为 ，则sinhPD2.632.2即直线PD与面PBC所成角的正弦值为21.如图，已知平面是正三角形,AE（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）取BE的中点F. A