【100所名校】2020学年北京八中第一学期高三期中考试数学(理科)试题(含解析版)

1、20192020学年北京八中第一学期高三期中考试数学（理科）试题数学注意事项：MW囹i.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 .非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。4 .考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1 .已知集合 A = 2, log?”?,集合 8 =?, ,若 AC5 =0,则?+ =A. 0 B.

2、 1 C. 7 D. 82 .已知抛物线C：好=8%的焦点为F,准线与X轴的交点为K,点>1在C上且|/K| =6|人尸|,则A4FK的而枳为A. 4 B. 8 C. 16 D. 323 . “x>0”是a + sinx>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4 .函数f（X）=（X ：） cosx （-7T < X < 7T且 W 0）的图象可能为初中资料群：338473890,高中资料群：1026047318,5 .在“8。中,m是8。的中点,从知=3,点尸在AM上，且满足刀=2丽，则PA - (PB + 元)的值为

3、A. 4 B. 2 C. -2 D. -46 .如图，点。为坐标原点，点力(1,1),若函数y = a* (a > 0,且aWl)及y = log>" (b >0,且bWl)的图象与线段04分别交于点M, N,且M, N恰好是线段0月的两个三等分点，则a, b 满足A. a < b < 1 B. b < a < 1 C. b > a > 1 D. a > b > 17 .已知f(%)= ：一1"一 L若函出(%) = /(%)-2X + 2只有一个零点，则Z的取值范围是 nxf 0 < x < 1

4、,A. (8,1) u (1,+8) B. (1,1) C. 0,1 D. (-co, -1 u 0,18 .设f(x) = asin2x + bcos2%,其中a,b R, ab H 0,若f(x) < If(乂)I对一切 W R恒成立，6则下列结论正确的是“等) = 0；函数y = f(x)既不是奇函数也不是偶函数：f(x)的单调递增区间是阿+ 3时+穹(A6Z)：存在经过点(a, b)的直线与函数f (幻的图象不相交.A. ®(2) B. C. D.二、填空题9. 在极坐标系中，圆。=2的圆心到直线pcos6 +psin6 = 2上的动点的距离的最小值为10. 若双曲线/

5、+亡=1的一条渐近线的倾斜角为60。，则m=. m11. 已知直线4：ax + (a + 2)y + 1 = 0, l2：x + ay + 2 = 0.若。,%，则实数a的值是,(x + y - 3<012. 若直线y = 2%上存在点(y)满足约束条件卜-2y-3 <0>则实数m的取值范 x >m国.大学资料群：868430820,13. 如图，线段48 = 2,点力，8分别在%轴和y轴的非负半轴上运动，以48为一边，在第一象 限内作矩形48CD, BC = 1.设。为原点，则而的取值范围是.14. 对于函数y = f(x),若在其定义域内存在%。，使得xof(xo)

6、=l成立，则称函数f(x)具有性 质P.(1)下列函数中具有性质P的有.f (幻=-2x + 2V2®/(x) = sinx(x G 0,2h)f (x) - x + ：, (x (0, +00)f (“)=ln(x + 1)(2)若函数f(x) = alnx具有性质P,则实数a的取值范围是.三、解答题15. 某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一(1) 班选取3名同学，其它各班各选取1名同学.现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年 中心参加“尊老爱老''活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学来自不同班级

7、的概率；(2)设X为选出同学中高一(1)班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.16. 函数f(x)=cos(7rx+(p)(0 <(p< 9的部分图象如图所示.(1)求中及图中xO的值；(2)设g(x)=f(x)+f(x + 3,求函数g(x)在区间卜局上的最大值和最小值.17. 已知抛物线C： y2=4x,其焦点为F,直线过点P(-2, 0)(1)若直线1与抛物线C有且仅有一个公共点，求1的方程；（2）若直线1与抛物线交于不同的两点A、B,求IFAI+IFBI的取值范围.18. 已知函数.fa）= xeT（xwR）（I）求函数/（X）的单调区间和极值；（II）若x e （

8、0, 1）,求证:f（2-x）>f（x）;（III）若.w （0, l）,x2e（l,+oo）,且 /（xi） =/（x2）,求证:由+必>2.19. 已知椭圆。5+= l（a>b>0）上的点到它的两个焦的距离之和为4,以椭圆。的短轴为 直径的圆。经过这两个焦点，点/，8分别是椭圆C的左、右顶点.（1）求圆。和椭圆C的方程.（2）已知P, Q分别是椭圆C和圆。上的动点（P, Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直 线0P, 8P分别与y轴交于点M, N.求证：AWQN为定值.20. 将所有平而向量组成的集合记作片，f是从r2到夫2的映射，记作歹=f（i）或（yi，%

9、）= f（%l，%2），其中血,切,九尸2都是实数定义映射f的模为:在反| = 1的条件下|引的最大值，记做|力|. 若存在非零向量2WR2,及实姒使得f（力=2五则称;I为f的一个特征值.（I）=（91，g），求llfll；（H）如果= （#1+X2，%-42），计算f的特征值,并求相应的工；（III）试找出一个映射f,满足以下两个条件：有唯一的特征值九|口 = |川.（不需证明）好教育云平台名校精编卷 第4页（共4页）20182019学年北京八中第一学期高三期中考试数学(理科)试题数学答案参考答案21. B【解析】【分析】根据ADB=0,得出log7m=0,求出m的值，从而得出n的值，再求

10、出m+n的值.【详解】根据 A=2, log7m, B=m, n,且 AflB=0,得 log7m=0,解得 m=l： n=0,/. m+n= 1+0=1.故选：B.【点睛】本题考查了集合交集的定义与应用问题，是基础题目.22. B【解析】试题分析：解：F (2, 0) K (-2, 0),过 A 作 AM_L准线，则IAMHAFI, AIAK1=V2IAMI, .AFK 的高等于IAMI,设 A (m2, 2VIm) (m>0)则AAFK 的面积=4x26m4=4V5m 又由 IAKI=x/2IAH,过A作准线的垂线，垂足为P,三角形APK为等腰直角三角形，所以】“=口. AFK的面积

11、=4x2扬114=8故答案为B考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握.23. C【解析】令f(x) = x + sinx,贝= 1 + cosx > 0,.f(x)单调递增，且f(0) = 0，:> 0"是“% + sinx > 0”的必要条件.故选C.24. A【解析】=-f(x)，由 f (_%) = (-% + 1)cos(-X)= _(x 1)cosx所以函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，故排除CD： 当X = 7T时，f(7F)=(7T >COS7T = = -7T V

12、 0,排除 B,故选 A.25. D【解析】【分析】由平行四边形法则，可得P8 + PC=2PM,又力P = 2PM,可得力P=|力M, PM = "M.代入 易(M +尾)即可得出.【详解】由平行四边形法则，可得而+左=2嬴=G,21：.AP=-AM, PM =-AM. 33VAM=3,：.PA (PB + PC)= - -AM 33=-AM2= - -x32= - 4. 99故选：D.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题.26. A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以 0 VaVl, OVbVl,.点

13、。为坐标原点，点力(1,1)，直线。4为y = x,Vy = a”经过点M,则它的反函数y = log/也经过点M，又？ = 108/(b>0,且bWO)的图象经过点N,根据对数函数的图象和性质可知：a V b,/.a < b < 1.故选A.27. D【解析】试题分析：函为(x)=f(x)丘+ k只有一个零点，,y=fa)与y =-只有一个交点，图象如图所示，k的取值范围是(-8,-i)u0,l.考点：函数零点问题.28. A【解析】试题分析：/(%) = asin2x + bcos2x = >Ja2 + b2sin(2x + 6),其中角。满足cos6=sin.=,

14、：,va-+b-va-+b-V/(x) < |f(?|对一切x G R恒成立，6G)=右2 + b2或一,。2 + b2 ,得2 X ?+6 =三+Ztt, k W Z,因此6=+%7T, k E Z,/(%) = !a2 + b2s in (2x + 看 + kn) = a2 + b2sin(2x + file- /a2 + b2s in (2 % + ,),对于，Vsin(2 X -) = sin27r = 0,(上0 = + >/a2 + b2sin(2 X + -) = 0» 故正 12612126确：对于，根据函数的表达式，得/(x)W±f(x)，故丁

15、 = /(外既不是奇函数也不是偶函数，故 正确：f(x)= 一业? +5, sin(2x+)对于，函数的表达式f(x)=4a2 + /sinQx +乡或6 ,表达6式不确定，故出万+ £水兀+ 丁不一定是增区间，故不正确： 63对于，采用反证法，设经过点(a,b)的一条直线与函数y = f(x)的图象不相交，则此直线与x 轴平行方程为y = b,且网,庐，平方得川> 02 +川矛盾，故假设不成立，所以经过点 (。,5)的所有直线均与函数、=/(")的图象相交，故不正确.考点：三角函数的图象变换、两角和与差的正弦函数.29. C.【解析】解：在极坐标系中，圆0=2 =工

16、2+ y2 = 4的圆心(0,0)到直线pcos。+psin8 = 2即为x+y=2的距离为J30. -3【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y = ±审久，.其中一条渐近线的倾斜是60。，Ayj-m = V5,故m = -3.31. 0 或一3【解析】试题分析：由题意得：a-g_2)=0na = 0或a = -3.考点：直线位置关系32. (-co,l【解析】试题分析：由题意，由;=0,可求得交点坐标为(1,2)，要使直线y= 2%上存在点(x + y- 3<0,(%y)满足约束:条件卜一 2y - 3 40,如图所示，可得加工1,则实数m的取值范围(一8,1. (x>

17、;mf考点：线性规划.33. 1,3【解析】第12页(共12页)解:如图牝0AB = 6,成/二AB = 2 我0A=2cos6, OB = 2sin6,物/版DAX = 6, BC = 1,声依d = 2cos0 + cos ( 0 ) = 2cos0 + sin0, 22 九yD = sin <0 ) = cos02援OB = 62cos0 + sin。，cos6 )同理可求得 C <sm0 , cos0 + 2sm0 ) , /OC = (sin6, cos0 + 2siii0 ), OBOC = fcos0 + 2sin6, cos0 ) <sin6, 2cos0 +

18、 sin。)=2 + sin20 , OBOC = fcos0 + 2sin6, cos0 ) rsin6, 2cos0 + sin。)=2 + sin26 ,oWod的最大值是3,最小值是1,故答案是:1，3.34. (1)(2) a >0 她 K 一。【解析】试题分析：(1)在xM时，f (x) 2有解，即函数具有性质P, x令-2x+2夜=:,即-2/ + 2/2% -1 = 0VA=8-8=O,故方程有一个非0实根，故f(X)=-2x+2夜具有性质P：f (x) =sinx (x£0, 2旬)的图象与丫乏有交点，故 sinx=：有解，故 f (x) =sinx (x&#

19、163;0, 2n)具有性质 P；令x/上,此方程无解， X X故 f(X)=X+±, (x (0, +oo)不具有性质 P： X综上所述，具有性质P的函数有：，(2) f(X)=alnx具有性质P,显然a翔,方程xlnx，有根， aVg (x) =xlnx 的值域一：，+oc) a e解之可得：a>0或a<-e.考点：本题考查方程和函数的综合点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的 根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大.15 .捺详见解析. 60【解析】试题分析：（1）求得所有基本事件的种数以及符合题意的基

20、本事件种数，利用古典概型从而 求解；（2）求得X = 0, 1, 3时的概率，得到分布列后即可求解期望.试题解析： 设“选出的3名同学来自不同班级”为事件则P（4）=）君G/ =黄，选Go6°出的3名同学来自班级的概率为短；（2）随机变量X的所有可能值为0, 1, 2, 3,则 60P（X = 0）=萼=（丫 = 1）=等=急 p（x = 2） =等=汆 U1O匕 QU1O UJo QUP（X = 3）= 簧=*，随机变量X的分布列是X0123p72421407401 120随机变量X的数学期望721719E (X) = 0 X F1X F 2 X F 3 X =一. ,244940

21、12010考点：1.随机变量的概率分布及其期望：2.古典概型.16 . ( 1) w = g," (2)见解析63【解析】试题分析： 将点(0,今代入，由已给条件可求得3竹 由cos (mo+ 9 =?并结合图象可求得"0 ="(2)由(1)可得到f(#)+<(X + J =，5cos (欢 + g),由“-士小 得一+ g可得在欣+ ： = 0和欣+ £ =时，函数g(x)分别取得最大值和最小值。试题解析：(I ) 图象过点(0,告)，.cos” = ?,+，)=噂，得与=2Z典o =-： +2k, k E z.又0 V w V 三，:.(P =

22、二， 26由 COS(7T40又/(%)的周期为2,结合图象知0 V & V 2,1(II )由题意可得f (" + /) = cos(tt(x + 3 + = cos(jtx + g) = -sin欣,/./(%) + f (4 += cos (nx + 9) sinirx = costixcos 看sinnxsin : sinnxV31V33=costtx - -sinTtx sirurx =cosiix sinztx2222第10页（共12页）=於 C0S(7tX +Vxe _pj, X j K j 2 万 < nx + - < -t 633,当欣+ g =

23、 0,即X =-:时，f (%)取得最大值百，当7TX + : = g，即4 =轲，9(%)取得最小值-里.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从 而正确使用公式：(2)而看“函数名称''看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.17. )，=0 或 x士何+ 2 = 0(2) (6,+oo)【解析】【分析】(1)当直线1的斜率为。时，直线1的方程为y=0：当直线1的斜率不为0时，设直线方

24、程为 y=k (x+2),联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0求得k 值，则直线方程可求.(2)联立联立=N”：2),得k?x2+ (4k2-4) x+4k2=0,利用判别式大于0求得k的范 (= 4%围，再由抛物线的焦半径公式及根与系数的关系可得与+ g =m.则IFAI+IFBI的取值范围可求.【详解】(1)如图，当直线1的斜率为。时，直线1的方程为y=0：当直线1的斜率不为。时，设直线方程为y=k (x+2),联立得 k?x2+ (4k2-4) x+4k2=0.FhA= (4k2 -4) 2- 16k4=- 32k2+16=0,解得 k=±.直线方

25、程为y=±? (x+2).综上，若直线1与抛物线C有且仅有一个公共点，直线1的方程为：y=0或y=+ ? (x + 2)：(2)联立联立9二(。2),得 k?x2+ (4k2-4) x+4k2=0.(y土 = 4x设 A (xi, yi) , B(X2, yz).当k何时，由=-32k2+16>0,得-"VkV史. 22工-把Vk<0或OVkV底. 22IFAI=%i + 2 =% + 1, IFBI=x2 + § = X2 + 1，4 4攵 2则 IFAI+IFBI=%X + X2 + 2 = +2 =-2 +K9：0<k2J>2,贝l-

26、2+之>6.2 k2k2.FFAI+IFBI的取值范用是(6, +oo).【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题.18. (1)在(8,1)内是增函数，在(1,+8)内是减函数.在x= 1处取得极大值f(l)且f(l)=： (2)见解析(3)见解析【解析】【分析】(I)直接利用函数的导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可求函数f (x)的单调区间 及极值：(II)令 g(X)=f(X)- f (2 - x)求出 g (x) = (x - 1) (e2V2 - 1) e”,通过 x>l,判断 g (x)在1, +oo)上是增函数，即可证明当x&g

27、t;l时，f (x) >f (2-x)：(III)因为X, X2分别在(0, 1)和(1, +oo)利用函数的关系式，证明X|+X2>2.【详解】解：尸(%)= (1 -x) e X令广(乃=0，则x=l当x变化时，f (x)的变化情况如下表：第12页(共12页)X(-8, 1 )1(1 , +8)/+0一f(X)/极大值Af (x)在(-8, 1)上是增函数，在(1, +00)上是减函数Af (x)在x=l处取得极大值3 e(II)证明：令 g(X)=f (x) -f (2-x)则 g (x) =xe x- (2 - x) ex 2Agz (x) = (x - 1) (e2x 2

28、 - 1) e x当0 V x V 1时，2x-2 < 0,从而 e2”-2-l<0 及e_” > 0所以g'(x) > 0,从而函数g(x)在(0,1)是增函数.e、>0,(x) >0, Ag (x)在1, +oo) 上是增函数又g (1) =OAO<x<l 时,g (x) <g (1) =0即当 0<x<l 时，f (x) <f (2 - x)(III)证明:TO < 1：.2-x1 > 1由(H)得:f(%) vf(2 - g)(z)=f (&)(必)V f (2 - X。,"(

29、4)在(1, +8)内是减函数.%2 > 2 -即“1 + x2 > 2【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性的判断极值的求法，考查分析问题解决问题的 能力.19. (1) /+y2 = 2： ；+。=1：(2)见解析.【解析】试题分析：(1)根据椭圆定义知2a = 4,又b = c,因此易求得a,b,得椭圆方程，从而也得到圆的方 程；（2）设出P（&,y°）, Q（%,y。），分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线AP 的方程，求出M点坐标，同理写出BP方程，求出N点坐标，再求得向量两，两，并计算数量积 丽-西，结果为0,可得乙MQN =

30、 90。.试题解析：（2a = 4（1）依题意b = c ,得a = 2, b = c = V2»（a2 =b2+c2圆方程%2 + y2=2,椭圆0方程: + T=l.（2）设Pg,%），QOqo），.£ + ¥= 1, xf + yj = 2, y0 =# 0»ZP方程y = H*（X+2）,令x=0时，M（0,当），BP方程为y =言7（”一2）,令x = 0得N（0,言），“"=（-电筌-%），QN =（F，-y。），.何.丽+ 箸=2_诏+ 1管 =0,*0 T> 0"MQN = 90°.点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种 关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为 易、化繁为简''的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：（1）设直线方程y = + b与椭圆为m/+ny2= 1的两个交点坐标为4（刈,%）,8（外,%）：（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；（3）利用韦达