奇偶性与单调性例题讲解

1、奇偶性与单调性例题讲解111ig -，故f(-)工 f (-).322f ( x )是奇函数而不是偶函数.而(A)中函数是偶函数(不是奇函数)，(B)中函数是偶函数(也是奇函数)， (C)中函数既不是奇函数，也不是偶函数，只有(D)中函数是奇函数而不是偶 函数.因此，本题应选(D).本例可看到函数按奇偶性分类的情况.还可看到，要证明f ( x ) (x F)不是偶函数，只要对 F 中某个 xo，证明 f ( xo)工 f ( xo)即可.例 2.若函数f(x) fa为定义在闭区间1,1上的奇函数，试确x bx 1定函数f ( x )的解析式.分析：确定函数 f ( x )的解析式，这里即确定

2、a、b 的值.依据方程的思 想，只要找出二个关于 a b 的制约条件，而这里的条件又只能从“ f (x )是 1，1上的奇函数”而来.解：f(x)干a在1,1上是奇函数，x bx 1 f ( x ) = f ( x )对任意 x 1，1成立.例 1.下列函数中，与函数.1 y igx -一有1x(A)y = |x+1 | + | x -1 1(B)(C)1 xy (x 1h1 x(D)分析1 x:设f (x) ig则函数 f(x3012x)的定义域为(1,1),并且此定义域内任意f ( x)1.1 x|g1 x1 1f (x)，又f( -) = lg3 , f (-)yyxx.f ( -1)

3、= - f ( 1 ), f (0 ) =0,1 a 1 a1 _1a门0 .1解得 a = 0 , b = 0这里运用奇函数定义时，还涉及到一般与特殊的关系.还应注意，一般情况下，f (0 ) =0 是 f ( X )为奇函数的既非充分条件， 又非必要条件若 x = 0 时，f (x )有意义，则 f (0 ) =0 是 f ( x )为奇函 数的必要非充分条件.例 3.利用函数单调性定义，证明函数 f ( x ) = x +丄在区间0,1上是x减函数.证明：任取 X1，X2，使 0 x1X2 1，贝1 1f(X2)f(Xj (X2) (X1(X2X1)(X2X1XX1X21)X1x2/ 0

4、 X11，0 X2 1，X1 0，X1X2 0，0 x1X21 .f ( X2) f ( X1) 0，即 f ( X2) 0，得已知函数的定义域为(一X，2)(4，+X).2又已知函数是由 u = x 6X+8 (x 4 )与y log1u( u 0 )复3合而成的复合函数由于函数y log在(0, +x)上是减函数；函数 u = x2 6x+8 (x 4 )在(x,2)上是减函数，在(4,+X)上是增函数，已知函数的单调递增区间(一, 2),单调递减区间是(4, +x).复合函数 y= f g( x)的单调区间只能是其定义域的子区间.其单调性与 u = g ( x ),y = f ( U)的

5、单调性相关，其规律可列成下表：单调性u = g ( x )/y = f ( u )/y =fg(x)/例 5.已知 f ( x )是定义在(一x,+x)上的奇函数，且 f ( x + y )=f ( x ) + f ( y )对任意 x, y R 都成立.如果当 x 0 时，f ( x ) 0 .试 判断函数 f ( x )在区间(一x,+x)上的单调性，并证明你的结论.分析：由于本题未给出具体的函数解析式，探索其单调性只能依单调性定义 进行.解：任取实数 Xi, X2,使 xi 0 . f ( X )是奇函数，故f ( Xi) = f ( Xi).又 f(x + y ) = f ( x )

6、+ f ( y ) 对任意 x, y R 都成立，f ( X2) f ( Xi) = f ( X2) + f ( Xi)=f X2+ ( Xi)=f ( X2 Xi) 0,即 f ( X2) 0，b 0，且 a + 2 b + ab = 30，那么 ab 的最大值为_ 此时 a =_，b =_.分析：本题是附条件的最值问题，关键在恰当使用条件.这里条件可用作消 元，也可把条件中 ab 表示出来，再作变换.(1)Ta + 2 b + ab = 30，a + 2 工 0，30 a故ba 2b 0，故30 a .0,又 a 0，a 2(a + 2 ) b = 30 a .0 a 3030 aa 2例

7、 6.求函数f (x)ab = a =32 a一64a 234(a 2)64a 2x )的最大值为 12.w3428 = 18(0 a 0 , b 0,ab = 30 （a + 2 b）W302.fa 2b30 2、2 . ab（ab）22 2 . ab 30W0. 0 abW3：$2.abW18 .a 2b,当且仅当、.ab 3 2,即a 6,时 ab 取最大值，为 18 .b 3a 0,b 0,消元是为了把求 ab 最大值转化为求函数的最大值 .方法（2）,把条件转化 成了关于.ab 的不等式，求解而得.但都要注意“等号是否成立”的检验 .例 8.某商品专卖店为摸清某种商品的市场行情，对为

8、期 20 天的销售情况 作了记录研究后得知，这 20 天中每件的价格 P （元）与时间 x （天）的关系用下 图（1）的一条折线表示；销售量 Q（百件）与时间 x （天）的关系用下图（2） 的半圆表示.(1)(2)求此种商品销售收入 y （元）与时间 x （天）之间的函数关系式 y =(n)这 20 天中，销售收入最高的大约是哪一天？这一天该商品每件定价是多少元(精确到一天，一元)分析：由生活经验，某种商品的销售收入为销售件数与每种价格的乘积.而销售件数、每件价格与 x 的关系，都要由图形中获取信息，得到规律.解：(I)由图(1)，P = | x-10 |(0 x20);由图(2)，Q J100 (x 10)2(0 x20).y = 100 Q - P=100 - | x 10 |. 100 (x 10)2(0 x100、2304.这 20 天中，销售收入最高的约是第 17 天和第 3 天，这一天每件商品定 价为 7 元.把函数解析式作