初中数学常考二次函数动点问题应试技巧详解

1、初中数学常考二次函数动点问题应试技巧详解姓名:指导：日期：动点问题一直是初中热点J近几年往往考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。今天整理了动点和二次函数相结合的解题方法和典型题型，有需要的赶紧来看看吧第24页共29页函数解题思路方法总结1 .求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；2 .求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点3 .根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中跖Lc的符号，或由二次函数中ab上的符号判断图象的位置，要数形结合；4二次函数的图象关于对称轴对

2、称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标t可由对称性求出另一个交点坐标.5与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式aM+bx+c:a¥0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：a>0+抛曲线与E轴有两个交点=二次三项式的值可正、可军可负户一元二次方程有两个不相等四A=0+抛物线写上轴只二次三项式的值为非负.一次;链有两个相等的实费根，物物线与l轴无二次三项式的值恒为正,一元二次鹿无实数根.“动点问题题型方法归纳总结动态几何特点一一问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所

3、以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值a动点个数问题背景两个特殊菱形两边上移动一个两个特殊直角梯形抛物线中特殊直角梯三边上移动形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形探究等腰三角形积函数关系式菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析四边形面积的表示动三角形积函数矩形求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性性质观察图形构 造特

4、征适当割 补表示面积动点按到拐 点时间分段分 类画出矩形必 备条件的图形 探究其存在性菱形是含60°的特殊菱形；A0B是底角为30°的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度,转化相似比得出方程。利用a、t范围.运用不等式求出a、t的直角梯形是特殊的（一底角是45°）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点。、E是定点；动线段PF长度是定值,PF=0A）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）共同点：特殊四边形为背景;点动带线动得出动三角形;探究动

5、三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式);求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题C动点)1.如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是4-4。)，”(Z0),£(0,8).(1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C的解析式；(2)设抛物线q的顶点为股，抛物线g与工轴分别交于c。两点(点在点。的左侧)，顶点为w,四边形前“山的面积为、，若点/，点”同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;-3-4与此同时,点河，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点力与点Q重合为止.求出四边形的面积S与运动时6

6、-78间，之间的关系式，井写出自变量的取值范(3)当为何值时，四边形必)M4的面积S有最大值，并求出此最大值；(4)在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能,求出此时/的值；若不能，请说明理由.解(1)点用一4,0),点掰-2,0),点以0关于原点的对称点分别为Q40),设抛物线仁的解析式是V="+bx+c(a丈0),16n+4/)+c=Q贝ll4。+2方+c=0.。：=-8,解得b=&c=-8.所以所求抛物线的解析式是>'=-a2+6x-8.由可计算得点材N(3A).过点W作NHL/。，垂足为H.当运动到时刻1时，HD=2CD=82t,NH=l+2t.根据中心对

7、称的性质。4=m (fM = ON ,所以!U边形MDNA是平行四边形.所以，四边形MDNA的面积5=(8-2/)(1+2/)=-4+14/+8.因为运动至点/与点重合为止,据题意可知()Wf<4.所以，所求关系式是S=T产+I4/+8,，的取值范围是0W，<4.S=/-3+犯，(0/<4).I4,J4所以，=?时，s有最大值区.4,4提示：也可用顶点坐标公式来求，(4)在运动过程中四边形能形成矩形.由(2)知四边形是平行四边形,对角线是仙MW,所以当时U3边形AWMJ是矩形.所以O!)=ON.所以61F=ON=OH'+NH2.所以广+4-2=0.解之得/：=x/G2

8、,%=而一2(舍).所以在运动过程中四边形MQM4可以形成矩形，此时/=J6-2.点评本题以二次函数为背景，结合动态问题，存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。2,如,Z4已知抛物线箕二-F十从十c与坐标轴交于4s,r三点，点月的横坐4标为-】，过点门0,3)的直线P=-¥+3与上轴交于点0,点P是线段”上的4/一个动点，PHU力？于点丹.若PB=5t,且(1)确定方，。的值：h=(2)写出点以Qi尸的坐标(其中0,1用含/的式子表示);/"，卜0(，%，)；(3)依点的变化，是否存在，的值，使/笈方为等腰三角形？若存在，求出所有7的，若不存在,说明理由

9、.9解bJ4c=3(2)仅4,0)2(44/3/)(3)存在/的值，有以下三种情况当PQ=PB时-PHLOB,则=.”.4-4，-4fH4，1，/=一3当18二0»时得4-41=5f4,/=3当0=。月时，如图解法B：过0作。又PQ=QB=-/22又2BDQs&BOCBDHQ丽一点52'_4-4,T532t57解法二：作斜边中线OE则。E=BE,8E=K=2,22此时"!:方sXFQBBEOli丽一无55=4,4-4/5(3257解法三：在Rt/XPH。中有。孑+用户=，(84+(3/尸=(4-4f57/2-32(=0/.t=f=。(舍去)57又7。&quo

10、t;1P0B为等腰三角形.解法四:数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。代数讨论：计算出APQB三边长度，均用t表示，再讨论分析RtAPHO中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示进行分组讨论即可计算。点评此题综合性较强，涉及函数、相似性等代:、几何知识，1k 2小题不难,第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的土值与题目中的矛盾，应舍去3.如图1,已知直线¥=-L*与抛物线y=+6交于4/，两点.24(1)求儿A两点的坐标；求线段用J的垂直平分线的解析式；2

11、,与线段/A等长的一根橡皮筋，端点分别固定在4 B两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与儿B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在,求出最大面积，并指出此时，点的坐标；如果不存在，请简要说明理由.图1-3方小一42)(1)解：依题意得-(2)作的垂直平分线交工轴，J，轴于心。两点，交AR于M (如图1)由(1)可知：0A = 3 Off = 275:.AB = 5旧22过作/花，轴，E为垂足由丛BEOsocm ,得：型=也一 = ?OB OE 4同理：；,0)/)(°，一1)第26题设。的解析式为V = kx + hk

12、才0)5,0二一六+A=24，.48的垂直平分线的解析式为：y=2.r-,(3)若存在点尸使/笔的面积最大，则点P在与直线45平行且和抛物线只有一个交点的直线j，=-1i-+用上，并设该直线与x轴，轴交于G,"两点(如2).y =2T2工 + 7-6 = 047,抛物线与直线只有一个交点,25/.m=4I75在直线GH：十三中,244设。到GH的距离为人八25Or 4,Lght=L.ogoh22125Mf12525'xa=-xx242242rAli/GH.二尸到46的距离等于。到G"的距离d.另解：过P做PCy轴，PC交AB于C,当PC最大时APBA在AB边上的高h

13、最大什与PC夹角固定），则Se呻最大一问题转化为求PC最大值，设P（X.-工工，+621_2.4）,C（x,2）.从而可以表示PC长度，进行极值求取。最后，以PC为底边，分别计算基咏和Sam即可。点评这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求、第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题.4.如图，正方形/灰7）的顶点48的坐标分别为（0,10%（8,4）,顶点G4在第一象限.点从点/I出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点。从点"（4Q）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点时,R0两点同时停止运动，设运动的时间为/秒.（1

14、）求正方形月出”的边长.（2）当点尸在,43边上运动时，（/0的面积S（平方单位）与时间，（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示），求R。两点的运动速度.（3）求（2）中面积天（平方单位）与时间，（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.（4）若点心。保持（2）中的速度不变，则点尸沿着43边运动时，”的大小随着时间/的增大而增大；沿着AC边运动时，/OP0的大小随着时间，的增个.大而减小.当点，沿着这两边运动时，使NO"?=90的点P有（抛物线y =。/+尿+仁（白工0）的顶点坐标是解(1)作轴于产.,.14(0,10),凤8,4),;FR=&FA=6. /?=

15、10.(2)由图可知，点。从点/I运动到点“用了10秒.又4内=10/0+10:1.，北0两点的运动速度均为每秒1个单位.(3)方法一；作PGly轴于G,则PG卸二GAAPmGAi 二一=,eP一=.FAAB610,3CiAf.5 ,()6=10-/.一3v<7O=4+r,.S=gx°QxOG=g«+4)(lO-?).即5=2-+/+20.10519b519日193'/六TT二一,且0式一W10,2a)13133IM，当，二v时，s有最大值.3I.qiz.r.476八尸,_331此时GP=-1=OG=10t=,51555（8分）点人的坐标为(至,三.<1

16、55)方法二；当/=5时y(Ki=7,00=9,5=7°5OQ=B.设所求函数关系式为5=/+加4-20.,J抛物线过点(10,28)/5,100。+10A+20=28,6325a+5+20=，73£7=9J10人”I5'3、19”S-/h/+20i10519hV1919万一/F且owwi。，叫一高，当，=与时，帛有最大值，3此时筋="<x;=,155.,.点尸的坐标为信百).2.点评本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。5.如图，Rt川*'中，NN

17、=90,NC4/f=30.它的顶点/的坐标为(10,0),顶点A的坐标为(5.56)，/"二10,点从点月出发，沿的方向匀速运动，同时点0从点。(02)出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点。时，两点同时停止运动，设运动的时间为/秒.(1)求ZB/O的度数.(2)当点P在月6上运动时,(，尸0的面积S(平方单位)与时间/(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图)，求点一的运动速度.（3）求（2）中面积，与时间，之间的函数关系式及面积S取最大值时点。的坐标.（4）如果点P,0保持（2）中的速度不变，那么点?沿边运动时，/O尸0的大小随着时间，的增大而增大；沿着放边运动时，/

18、0P。的大小随着时间，的增大而减小，当点。沿这两边运动时，使的点P有几个？请说明理由.（第29题图）解：(1)/4/。=60”.(2)点尸的运动速度为2个单位/秒.(10-h后)(0W/W5).5 (2/+ 2)(10-/).;当，二2时，$有最大值为巴，24此时尸仅独、.;227（4）当点尸沿这两边运动时，/。/怨=90。的点，有2个.当点尸与点/重合时，ZOPQ<当点P运动到与点B重合时，的长是12单位长度.作/OPA，/=90交y轴于点作户月二1：轴于点由()/¥/s4QPM得：0M=11,5,3所以。0>aw,从而NOP0>9O0.所以当点)在4笈边上运动时

19、，/。尸。=90，的点P有1个.第29题图同理当点P在边上运动时，可算得=12+F=17.8.而构成直角时交y轴于。，=20.2>17.8,36.(本题满分14分)如图12,-1ZJA直线y =A不工+ 4与工轴交于点月,与J轴交于点所以,从而/。0:90的点也有1个e所以当点尸沿这两边运动时，20PQ=90、的点尸有2个.，已知二次函数的图象经过点,4、。和点巩1,0).(1)求该二次函数的关系式;(2)设该二次函数的图象的顶点为A九求四边形乩丸机的面积;有两动点。、少同时从点c出发，其中点/)以每秒;个单位长度的速度沿折线囚C按OT/TC的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线

20、3c按OTCT月的路线运动，当。、两点相遇时，它们都停止运动.设力、E同时从点。出发/秒时,请问/KE两点在运动过程中，是否存在。若存在，请求出此时，的值；若不存在，请说明理由;请求出S关于/的函数关系式，并写出自变量/的取值范围;设S。是中函数S的最大值，那么儿=a 12解：(1)令x=0,则y=令=0则牙=3.,1(3,0).C(0,4),二次函数的图象过点(0,4),可设二次函数的关系式为y-ax1+Ax+4又r该函数图象过点4(3,0).伙-*0),0=9a十防+4,*10="-6+4解之，得IA=J.所求二次函数的关系式为F=-士/4-X+4334R(2)*/y=x2+x+

21、4二-*5+与，顶点制的坐标为(1.g)过点用作册工轴于F'、底近*docw='他梏-1n1、161f,16t1A=x(3-nx十x4+xl=10232I3)四边形470的面积为W（3）不存在巫0C若花。6则点4F应分别在线段以，以上，此时在RtA/OC中,A（=5,设点E的坐标为（芭/）.*="，二同=吆/二 DE/（X,"I2_3.8.-I9>I-523:/=§>2,不满足3二不存在/兄（“二根据题意得4£两点相遇的时间为现分情况讨论如下:）当0</Wl时，5=-x-/.4/=3r；22ii）当I<f<2

22、时，设点£的坐标为（切乃）5-（4r-4）36-16/设点。的坐标为民，总）1336-16/122275=-x-/x=r+/22555iii）当2<，<色时，设点E的坐标为类似ii可得色|=史?必II<5c36-16/I.6/-12=-X3x-*x3k2525_3372rrI+55243807.关于'的二次函数v=-T2+肉-4江+2A-2以，轴为对称轴，且与j轴的交点在工轴上方.（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图;（2）设4是丁轴右侧抛物线上的一个动点，过点力作4月垂直于工轴于点四，再过点H作耳轴的平行线交抛物线于点。，过点。作

23、QC垂直于刀轴于点（'，得到矩形/次刀.设矩形月做7J的周长为/，点4的横坐标为W试求/关于的函数关意式;（3）当点.4在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形，若能,请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由./hAuc-h1参考资料：抛物线忏/十弱+式”0）的顶点坐标是2,竺,对称轴2a4a是直线x:-包.2d解:（D据题意得：犬-4=0.，M=±2.当足=2日寸，2k-2=2>0.当上=一2时，2-2=-6<0,又抛物线与jl轴的交点在二轴上方，；"=2.，抛物线的解析式为：丁=-/+2.函数的草图如图所示.（只要与坐标轴的三个交点的位置及图

24、象大致形状正确即可）（2）解：X2+2=0,得不0年<J2时，AQi=2工月内=-丁+2,（第26题）./=2（4民十儿认）二一2/+4.Y+4.当工"旧时5AJJ.=2a)上4、R.=(x+2)=x2.=2(AA+AM=2x2+4、-4.E»CB*，/关于.，的函数关系是：当0cx应时，/=-2/+4+4：当/伤时,I=2_r2+4x-4.(3)解法一；当0”应时,令的=4%得x2+2x-2=0.解得片=1-行(舍)，或x=1+JJ.将X=1+/代入/=+4x+4,得/=8«-8.当父6时T令4as,得.卡2犬一2=0.解得汇=1-6(舍),或工=】+后.

25、将工=1+J3代入/=2丁+4工一4,得/-834-81综上，矩形片水力能成为正方形，且当算=m-1时正方形的周长为8百-打当_丫二由十I时，正方形的周长为8月+8.解法二：当0(及时，同“解法一”可得工工1+内,，;正方形的周长/=44a=8工=8、存-8.当时，同“解法一"可得工=1+75.二正方形的周长/-4AA=8.r-gJA+8.综上，矩形能成为正方形，且当k=VJ-I时正方形的周长为久-8；当工=5+1时，正方形的周长为86+8.解法三：丁点/在y轴右侧的抛物线上，.x>0,且点力的坐标为（工,-./+2）.令力川二），则卜/+2卜2,.-+2=2八或-+2=-21

26、由解得T=-l-百（舍），或*=-1+内；由解得X=1-（舍），或X=1+4.又/=又二.当工二一1+、行时/=8、5一8;当x=l+G时/=8a+8.综上，矩形力HQ）能成为正方形，且当卜=6-1时正方形的周长为X百-8;当“wG+I时，正方形的周长为8方+8.8.已知抛物线与川轴交于48两点，与卜轴交于点C,其中点夕在*轴的正半轴上，点C在产轴的正半轴上，线段。&0c的长（取0C）是方程*-10*+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线“=-2（1）求4&C三点的坐标;（2）求此抛物线的表达式；C3）连接47、BC、若点E是线段而上的一个动点（与点4点8不重合）,过点日乍

27、序然交加于点片连接CR设布的长为%ACEF的面积为&求S与m之间的函数关系式，井写出自变量m的取值范围；C4）在（3）的基础上试说明5是否存在最大值，若存在，请求出5的最大值，并求出此时点£的坐标,判断此时破的形状；若不存在，请说明理由.8-6-4-2o21x第26题图解：（1）解方程 310*+16=0 得吊=2, %=8丁点8在乂轴的正半轴上，点C在卜轴的正半轴上，且OBVOC，点8的坐标为（2, 0）,点C的坐标为（0, 8）又抛物线产=自/+反十。的对称轴是直线*=一2二由抛物线的对称性可得点4的坐标为（一6, 0）（2） ;点6*（0, 8）在抛物线c的图象上1.c

28、=8,将，（-6, 0）、B （2, 0）代入表达式孑得4 T第26题图（批卷教师用图）,0 = 363-68+8 ：0=4 日+26+82383弟22贝共29 912，所求抛物线的表达式为y=-x2-8 , 石*+8w(3)依题意，AE=m、则应一8一向'/ 654=6.00=8, A/C=10:、4BEFSXBACEF BEAC ABEF 8-777 即行=：EF=405m-4-4过点户作广仁MH,垂足为G,则sin/K5G=sinN0IQ£oEG4440-5mFG=z8-/7?£r55411J.S=5k陵一S.=(8一刑)X81(8-/77)(8-/77)11

29、=(8/7)(88+加=5(8加)m=VBI自变量m的取值范围是0VmV8(4)存在.111理由；.S=/苏+4加=-1(/?74)248且一V0,，当m=4时，S有最大值，$工大趋=8,"7=4,二点E的坐标为(2,0)始为等腰三角形.9.(14分)如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点,(1)求抛物线的解析式.(2)已知AD=AB(D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段第23贝共29贝BC移动，经过t秒的移动，线段P0被BD垂直平分，求t的值;(3)在(2)的情况下，抛物线的对称轴上

30、是否存在一点M,使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。(注:抛物线了二4+H+C的对称轴为¥=-).2a第35页共29页(1)解法一；设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4)因为B(0,4)在抛物线上，所以4=a(0+3)(0-4)解得g-1/3111所以抛物线解析式为y=-一(工+3)(耳-4)=-F+tx+4解法二：设抛物线的解析式为,*=苏+加:+C(。声0),依题意得：c且解得I a =3h=3所以所求的抛物线的解析式为+1工+4(2)连接DQ,在RtaAOB中，4B=4AOm=、3+4，=5所以AD=AB=5,AC=AD+CD=3+4=7

31、,CD=AC-AD=7-5=2因为BD垂直平分P0,所以PD=QD,PO±BD,所以/PDB二NQDB因为AD=AB,所以/ABD=NADB,ZABD=ZQDB,所以DQAB所以/COD二NCBA。ZCDQ=ZCAB,所以CDQsACAB吆二色即丝="0=3AH CA 5 7A 7所以 AP二AD - DP = AD25 . 257S所以t的值是匚7(3)答对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为工二-二二工2a 2所以A (- 3, 0), C (4, 0)两点关于直线x对称2连接A。交直线于点M,则MQ+MC的值最小过点Q作OE，x轴，于E,所

32、以NQED二NBOA二900DQ"AB, Z BAOt/QDE,ADQE10丝=丝=竺即X =BO AB AO 45AABODE所以QEg 喈,所以。E = 0D + DE%*,所以Q*,|设直线AQ的解析式为二日+加伏亍0)20则亍”一，由此得，-3k + 用=0,8k =4124m =一41所以直线AO的解析式为y =.824x +41411X二一2824V = X + 4141由此得1x = 281? =X H41411 0只所以M（二刍）24, 2 41则：在对称轴上存在点M(L变儿使MQ+MC的值最小。24110.如9,在平面直角坐标系中,二次函数y =以+ x + c（u

33、0）的图象的顶点为D点，与v轴交于C点,与*轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3,0）,0B=0C,tanZAC0=-»3（1）求这个二次函数的表达式.（2）经过C、D两点的直线，与*轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.（3）若平行于*轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与*轴相切，求该圆半径的长度.（4）如图10,若点G（2,y）是该抛物线上一点，点、P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，4APG的面积最大？求出此时P点的坐标和aAPG的最大面积.（1）方法一：由已知得：C （0, 一3）, A （一 1, 0）1分4+c=0将A、B、C三点的坐标代入得育+勃<?=3解得；方二-2c=-3所以这个二次函数的表达式为：丁=/-21-3方法二：由已知得：C(0,一3),A(1,0)设该表达式为：y二口(x+)(«r-3)将C点的坐标代入得：a=l所以这个二次函数的表达式为：下二-