求向量组的秩与极大无关组修改

1、求向量组的秩与最大无关组对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵定理】 矩阵的行秩等于其列秩,且等于矩阵的秩 .（ 三秩相等 ） 把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A;对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B;阶梯形B 中非零行的个数即为所求向量组的秩求下列向量组 ai =(1,2, 3, 4), a2=( 2, 3, 4, 5), a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.解1：以ai,a2,a3为列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为 2，所以向量组的秩为 2解2：以ai,a2,a3为行向量作成矩

2、阵A,用初等行变换将A化为 阶梯形矩阵后可求 .因为阶梯形矩阵的行秩为 2,所以向量组的秩为 22、求向量组的最大线性无关组的方法方法 1 逐个选录法给定一个非零向量组 A：?1, ? 2,n设?1? 0 ,则?1线性相关，保留?1加入?2，若?2与? 1线性相关，去掉？2;若?2与? 1线性无关,保留 ?1 ， ?2；依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组例 2】 求向量组： 11,2, 1 T, 22, 3,1 T , 34,1,1 T , 的最大无关组解：因为 a1 非零，故保留 a1取a2,因为ai与82线性无关，故保留 ai, a2取83，易得83=281+82，故ai，

3、 82 ， 83线性相关。所以最大无关组为 81， 82方法 2 初等变换法【定理】 矩阵A经初等行变换化为B,则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性 .证明从略 , 下面通过例子验证结论成立向量组： ?1=(1,2,3) T, ?2=(-1,2,0) T, ?3=(1,6,6) T由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：1）列向量行变换把向量组的向量作为矩阵的 列向量 组成矩阵 A； 对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组.例 3 】 求向量组 ：?1=(2,1,3,-1)T, ?2=(3,-1,2,0)T, ?3=(1,3

4、,4,-2)T, ?4=(4,-3,1,1)T 的秩和一 个最大无关组 , 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解 以?1, ?2, ?3,?4为列构造矩阵 A, 并实施初等 行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： 知 r ( A)=2, 故向量组的最大无关组含 2 个向量而两个非零行的 非零首元 分别在第 1, 2 列, 故?1,?2为向量组的一个最大无关组事实上，121000-111 知 r(?1, ?2)=2, 故 ?1, ?2 线性无关0为把?3, ?4用?1, ?2线性表示,把A变成行最简形矩阵 A100001002-100-12B00记矩阵 B=( ?1, ?2, ?3, ?4

5、), 因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向 量?1,?2,?3,?4与向量 ?1, ?2, ?3, ?4之间有相同的线性关系。因此 ?3=2?1- ?2, ?4=- ?1+2?2【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中: 解：以给定向量为 列向量作成矩阵A,用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B再利用初等行变换，将 B再化成行最简形矩阵C.Onofl Fl4 03 -7 G - GC=一假设第昌列为，该如何表示?根据行最简形矩阵C可知5，Op, 口 :是向量组的一个极大无关组，且IIII口1+? +住4 用最大线性无关组表示其它向量的方法为:初等矩阵A, B,把向量组的向量作为矩阵的列

6、向量组成矩阵A;初等变换行作对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C; 根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量.例 5 】 求向量组的秩和一个最大无关组 .解:(2) 当时，时，故向量组的秩为 3，且是一个最大无关组；(3) 当时，若，则此时向量组的秩为 2，且是一个最大无关组 .，则，此时向量组的秩为 3，且是一个最大无关组 .2）行向量列变换同理 , 也可以用向量组中各向量为 行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵） , 通过 做初等 列 变换来求向量组的最大无关组。例 6 】 求向量组的一个最大无关组 .解：以给定向量为 行向量作成矩

7、阵A,用初等列变换将A化为行最简形:行向量列变换 )由于的第 1，2，4 个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个最大无关组方法 3 线性相关法 （了解） 若非零向量组A： ?1, ? 2,? n线性无关，则A的最大无关组就是?1, ? 2,若非零向量组 A 线性相关，则 A 中必有最大无关组 二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：1、若向量组（I）可由向量组（n）线性表示，则（I）的秩不超过（n）的秩2、等价向量组有相同的秩3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关例 7 】 设向量组的秩为. 又设的秩.求向量组解 法 1 ： 由于所以,故向量组等价，从而的秩为解法 2： 将看做列向量，则有，其中可求得0，即可逆，从而可由线性表示,由已知可由线性表示， 故这两个向量组等价， 即它们有相同的秩 .和向量组（n）:【例7】设向量组（I ）:和，而的秩