专题07立体几何综合问题答题指导解析版

1、题型特点命题趋势从近几年的咼考试题来看，立体几何是咼考解答题的必考内容，主要考查的热点题型是线面 位置关系与体积计算、平面图形的折叠，探索开 放性问题等，题目难度中等，题型规范，方法可 循1.线、面的平行与垂直关系是考查的热点，通过空间几何体的体积计算，考查学生的空间想象能力.2 .平面图形折叠成空间几何体.3.是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成 立问题.?题型一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算（1）空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第（1）问，解答题的第 问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.

2、（2）利用向量求空间角的步骤：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：确定点的坐标；第三步：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标；第四步：计算向量的夹角（或函数值）；第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范.【例 1】（2019 河南郑州高三联考）在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是n矩形，EDL平面ABCD/ABD=，AB=2AD6（1）求证：平面BDEE1平面ADE（2）若ED= BD求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.专题 07 立体几何综合问题（答题指导）【题型解读】【答案】见解析n【解析】在厶ABD中，/AB

3、D=6,AB=2AD,由余弦定理，得BD=3AD,从而BD+AD=ABB,所以ABD为直角三角形且/ADB=90,故BDLAD因为DEL平面ABCD BD?平面ABCD所以DEL BD又ADA DE= D,所以BDL平面ADE因为BD?平面BDEF所以平面BDEL平面ADEn(2)由(1)可得，在 RtABD中,ZBAD=3,BD=3AD,又由ED= BD设AD=1，贝U BD= ED=因为DEL平面ABCD BDLADDA DB DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.所以AE=( 1,0 ,3) ,AC=( 2,3, 0).设平面AEC的法向量为n= (x,y,z)

4、,所以可以点D为坐标原点,所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为4214【素养解读】令z= 1,得n= ( 3 , 2,1)为平面AEC的一个法向量. 因为A= ( 1 ,3 , 3),nAF42A=，In| !AF|本例问题(1)证明两平面垂直，考查了逻辑推理的核心素养；问题(2)计算线面所成的角时，考查了直观想象和数学运算的核心素养.【突破训练1 (2018 北京卷)如图，在三棱柱ABOABC1中，CG丄平面ABC D E, F,G分别为AA,AC AC,BB的中点，AB= BC= 5,AC= AA= 2.(1)求证：AC丄平面BEF求二面角B-CD- C的余弦值；【解析(1)证明：在三

5、棱柱ABC- ABC中， 因为CC丄平面ABC所以四边形AACC为矩形. 又E, F分别为AC AQ的中点，所以ACL EF.因为AB= BC所以ACLBE所以ACL平面BEF由(1)知ACLEF,ACLBE EF/ CC又CC丄平面ABC所以EF丄平面ABCnAE= 0 ,则AnAC= 0 ,x+因为BE?平面ABC所以EFL BE如图建立空间直角坐称系Exyz.由题意得B(0,2,0),q1,0,0) , Q1,0,1) ,F(0,0,2),G(0,2,1)所以CD=(2,0,1) ,CB= (1,2,0),设平面BCD勺法向量为n= (a,b,c),所以2a+C=0， 令a= 2,贝U

6、b= 1,c=-4,a+ 2b= 0.证明：平面BCD的法向量为n= (2 , 1, 4)，因为 Q0,2,1) ,F(0 , 0,2)，所以GF= (0 , 2,1), 所以nG= 2,所以n与G不垂直，所以GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内 ,所以GF与平面BCD相交.?题型二平面图形折叠成空间几何体的问题1 先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是 近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形 向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向.2 (1)解决

7、与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量一般情况下，长度是不变量，而 位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.解决翻折问题的答题步骤第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；第三步：利用判定定理或性质定理进行证明.【例 2】(2018 全国卷I)如图，四边形ABCD正方形，E, F分别为AD BC的中点，以DF为折痕把厶DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF(1)证明：平面PEFL

8、平面ABFD求DP与平面ABFD所成角的正弦值.【答案】见解析所以nCD= 0,nCB= 0,所以平面BCD勺法向量n= (2 , 1, 4),又因为平面CDC的法向量为EB= (0,2,0),所以 cosn,EBnEBIn|B2121由图可得二面角B- CD- C为钝二面角，所以二面角B- CD- C的余弦值为一2121【解析】(1)证明：由已知可得，BF丄PF, BF丄EF,所以BF丄平面PEF又BF?平面ABFD所以平面PEFL平面ABFD/3333f3可得PH=2,EH=2.则 H(0,0,0) ,P0, 0,2，D- 1 , -2, 0 ,DP= 1,2,为平面ABFD的法向量.设D

9、P与平面ABFD所成角为HPDP贝Hsin0=二- |HP|DP所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为罟.【素养解读】本例在证明或计算过程中都要考虑图形翻折前后的变化，因此综合考查了逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模的核心素养.WI%一*【突破训练2】如图 1,在直角梯形ABCDK AD/ BC, /BAD=,AB= BC= 1,AD=2,E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到ABE的位置，如图 2.图1(1) 证明：CDL平面AOC(2) 若平面ABE!平面BCDE求平面ABC与平面ACD所成锐二面角的余弦值.Hxyz2,HP= o, o,2334=33 =4作PHL

10、 EF,垂足为H由(1)得，PHL平面ABFDft【答案】见解析【解析】证明：在题图 1 中，因为AB= BC= 1,nAD=2,E是AD的中点/BAD=2，所以BE!AC即在题图 2 中，BE!OA, BEL OC从而BE!平面AiOC又CD/ BE所以CDL平面AOC由已知，平面ABEL平面BCDE又由(1)知，BE!OA BE!OCn所以/AOC为二面角Ai-BE- C的平面角，所以/AiOC=2.如图，以O为原点，OB OC OA分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,因为AiB= AE=BC= ED=1，BC/ ED所以B乎，0，0，E孑，0，0，AO，0，乎，C0，宙，0，

11、得BC=22，22，0，云C0，22，22，CD= E3E=(2,0,0).设平面AiBC的个法向量ni= (xi，yi，zi)，平面ACD勺一个法向量n2= (X2，y2，Z2)，平面A BC与平面A CD的夹角为e，-niBC=0， 则-niAiC= 0，xi+yi= 0，得取ni= ( i , i , i );yizi= 0，n2CD=0， 由n2AiC= 0，X2= 0，得取n2= (0, i , i )，y2Z2= 0，从而 COSe= |cos2*65，n2|=3X2=3，即平面AiBC与平面AiCD所成锐二面角的余弦值为乎.?题型三 线、面位置关系中的探索性问题是否存在某点或某参

12、数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最 后一问的形式出现，解决这类问题的基本思路类似于反证法，即“在假设存在的前提下通过推理论证，如果能找到符合要求的点（或其他的问题），就肯定这个结论，如果在推理论证中出现矛盾，就说明假设不成 立，从而否定这个结论”.【例 3】（2018 全国卷n）如图，在三棱锥P ABC中,AB= BC=2 2 ,PA PB= PC= AC=4,O为AC的中占八、M- PA- C为 30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.【解析】证明：因为AP= CP= AC= 4,O为AC的中点，所以OPLAC且OP=2 羽.连接OB因为AB= BC=

13、AC所以ABC为等腰直角三角形，且OBL AC OB=AC=2.由OP+OB=PB知POL OB由OPL OB OPL AC知POL平面ABC则Q0,0,0),巳 2,0,0),A(0 , 2,0) ,C0,2,0),P(0,0,2 弓)，AP= (0,2,2萌)，取平面PAC的一个法向量OB= (2,0,0).设Ma,2 a,0)(0aw2),贝UAM= (a,4a,0).设平面PAM勺法向量为n= (x,y,z).可取n= ( 3(a 4),3a, a),OB勺方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz由APn= 0 ,AMn= 0 得2y+ 2 3z= 0 ,ax+ (4 a)y= 0

14、 ,（1）证明：POL平面ABC【答案】 见解析833,学-4.又PC=(0,2, 2、3),2 3(a 4)2：3(a 4) + 3a+a2 由已知得 |cosOB,2 3|a4|所以 2 3(a-4 几 3a2+a?2 .解得a= 4(舍去)，a= 3.所以n=所以 cosn(2)若直线AC与平面ABC所成的角为，请问在线段AQ上是否存在点E,使得二面角ABE- C的大小为2n2请说明理由.所以/ACD是直线AC与平面ABC所成的角,即/ACD=n，又AD=2，所以AC=2 2,Axyz,设AiE=入 AiC(0w入w1),则巳2,2, 0) ,B( 2,2, 2),由A(0,0,2) , q0,2 羽,0),得E(0,22入，2-2入),设平面EABF个法向量m=